关于“近世代数”课堂教学的三点体会 程建康Summary：近世代数是数学专业学生一门非常重要的专业课。笔者结合自身的课堂教学实际，从相关概念和定理的名称、重要概念的本质和一一映射在
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中的应用三个方面来阐述课堂教学的体会。Keys：近世代数；集；数；一一映射G642.3：A：1674-9324（2017）05-0197-02“近世代数（或抽象代数）”是师范院校和综合性大学数学专业本科生的一门重要的专业基础课，其主要
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就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。这门课的基本概念、理论和
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，是每一位数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。“近世代数”对于学生们来说是相当抽象、学习起来相当困难的一门课程，很多概念难以理解，课本配备的用来参考的例
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不多，很多证明题难以解决。对于上这门课的高校教师来说，讲课的速度、深度是很讲究并且值得讨论的。笔者给数学专业的学生们上课用的教材是张禾瑞的《近世代数基础》[1]，参考教材是韩士安和林磊的《近世代数》[2]，在教学过程中有一些体会。一、相关概念和定理的名称教材上有很多概念和定理没有名称，其实很不方便。举个例子：在课堂上，有时候老师讲解习题时会说：“本题的证明主要用到了第69页定理2”。这种情况下，同学们肯定不容易想起来这个定理是什么，会有一种模模糊糊的感觉。而如果老师说：“本题的证明主要用到了拉格朗日定理”。很明显，课堂效果会好很多。为了方便教学，笔者在教学过程中给某些概念和定理赋予现在通用的名称。例如：在张禾瑞的《近世代数基础》第4页有如下定义：定义令A1，A2，…，An是n个集合。由一切从A1，A2，…，An里顺序取出的元素组（a1，a2，…，an）（a1∈A1）所做成的集合叫做集合A1，A2，…，An的积，记成A1×A2×…×An。笔者把这个定义称之为“笛卡尔积”。同样，在第40页有如下定理：假定G与G对于它们的乘法来说同态，那么G也是一个群。笔者把这个定义称之为“同态群定理”。在第49页有如下定理：任何一个群都同一个变换群同构。笔者把这个定义称之为“凯莱（Cayley）定理”。第59页有如下定理：假定G是一个由元a所生成的循环群。那么群G的构造完全可以由元a的阶来决定：a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；a的阶若是有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。笔者把这个定义称之为“循环群的结构定理”。第69页有如下定理：假定H是一个有限群G的一个子群。那么群H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj。笔者把这个定义称之为“拉格朗日定理”。第76页有如下定理：假定G与G是两个群，并且G与G同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/N≌G。笔者把这个定义称之为“群的同态基本定理”。二、重要概念的本质很多同学对概念不理解，很重要的一个原因就是没有搞清楚概念的本质。因此，我在教学过程中需要教会学生从一大段的描述中找出主干部分，即“主谓宾”。当然，找出了“主谓宾”也未必就直达本质，有些时候需要刨根问底。以下分三个部分来展示本质分别是“映射”“集”和“数”这三个看起来风马牛不相及的概念。1.以下概念的本质是“映射”：（1）一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算[1]。主谓宾：代数运算是映射。（2）一个A到A的映射叫做A的一个变换[1]。主谓宾：变换是映射。（3）一个A×A到D的映射R叫做A的元间的一个关系[1]。主谓宾：关系是映射。（4）一個有限集合的一个一一变换叫做一个置换[1]。主谓宾：置换是一一变换。总结：代数运算，变换，关系和置换的本质都是映射。2.以下概念的本质是“集”：（1）若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类[1]。主谓宾：类是子集；分类是类的全体，也是集。（2）假定φ是一个群G到另一个群G的一个同态满射。G的单位元e在φ之下的所有逆象所作成的G的子集叫做同态满射的核[1]。主谓宾：核是集。总结：类，分类和核的本质都是集。除此之外，其实群、环和域的本质也是集，即带有代数运算的集。3.以下概念的本质是“数”：（1）我们看群G的一个元a。能够使得am=e的最小的正整数m叫做a的阶[1]。主谓宾：阶是正整数。（2）一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数[1]。主谓宾：指数是数。（3）一个无零因子环R的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环R的特征[1]。主谓宾：特征是阶。总结：阶、指数和特征本质上都是数。三、一一映射在证明中的应用很多同学喜欢计算题远胜于证明题。同学们不喜欢证明题，恐怕最主要的一个原因是不知道如何入手，也不知道该做些什么。所以，在课堂教学中需要引导学生从一大堆的数学符号中总结一些方法技巧，着重训练学生这方面的能力。一一映射在数学中是个很重要的概念。在近世代数中的证明中，用到一一映射的情况主要有两种：1.证明两个集合的基数相等。例如：在张禾瑞的《近世代数基础》第68页定理1：一个子群H的右陪集的个数和左陪集的个数相等。它们或者都是无限大，或者都有限并且相等。第69页引理：一个子群H与H的每个右陪集Ha之间都存在一个一一映射。为了证明两个集合的基数相等，只需要构造一个定义在这两个集合上的一一映射，这种情况下两个集合间的元素是一一对应的，于是基数相等。当然，在两个集合上定义的一一映射往往并不唯一，只需要构造得合适，简单易懂即可。2.证明两个群同态、同构。例如：凯莱（Cayley）定理、循环群的结构定理和群的同态基本定理等等。为了证明两个群同态或同构，也需要构造一个合适的定义在这两个群上的一一映射，然后我们还得证明这个一一映射是同态映射。Reference：[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.[2]韩士安，林磊.近世代数[M].北京：科学出版社有限责任公司，2009. -全文完-
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