高考理科数学新课标全国卷逐题解析

Coca-colastandardizationoffice【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 理科数学新课标全国卷逐 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解析2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．eq\f(1+2i,1-2i)=()A．-eq\f(4,5)-eq\f(3,5)iB．-eq\f(4,5)+eq\f(3,5)iC．-eq\f(3,5)-eq\f(4,5)iD．-eq\f(3,5)+eq\f(4,5)i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=eq\f(ex-e-x,x2)的图像大致为()解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=eq\f(e2-e-2,4)>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y=±eq\r(2)xB．y=±eq\r(3)xC．y=±eq\f(\r(2),2)xD．y=±eq\f(\r(3),2)x解析：选Ae=eq\r(3)c2=3a2b=eq\r(2)a6．在ΔABC中，coseq\f(C,2)=eq\f(\r(5),5)，BC=1，AC=5，则AB=()A．4eq\r(2)B．eq\r(30)C．eq\r(29)D．2eq\r(5)解析：选AcosC=2cos2eq\f(C,2)-1=-eq\f(3,5)AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4eq\r(2)7．为计算S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+……+eq\f(1,99)-eq\f(1,100)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：选B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)解析：选C不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=eq\f(3,C102)=eq\f(1,15)9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(2),2)解析：选C建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4)D．π解析：选Af(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4)),依据f(x)=cosx与f(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4))的图象关系知a的最大值为eq\f(π,4)。11．已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50B．0C．2D．50解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=212．已知F1，F2是椭圆C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)解析：选DAP的方程为y=eq\f(\r(3),6)(x+a),∵ΔPF1F2为等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,过P作PH⊥x轴，则∠PF2H=600,∴|F2H|=c,|PH|=eq\r(3)c,∴P(2c,eq\r(3)c),代入AP方程得4c=a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．解析：y=2x14．若x,y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\al\co2(x+2y-5≥0,,x-2y+3≥0,,x-5≤0,)),则z=x+y的最大值为__________．解析：915．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________．解析：-eq\f(1,2)两式平方相加可得16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°，若ΔSAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为__________．解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=eq\r(2)r,又SA，SB所成角的正弦值为eq\f(\r(15),8),则eq\f(1,2)×2r2×eq\f(\r(15),8)=5eq\r(15)∴r2=40,S=π×r×eq\r(2)r=40eq\r(2)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为16.18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))=+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))=99+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由．解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为eq\o(y,\s\up6(^))=+×19=(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为eq\o(y,\s\up6(^))=99+×9=(亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线eq\o(y,\s\up6(^))=+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型eq\o(y,\s\up6(^))=99+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19．（12分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k(x-1),y2=4x))得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0，故x1+x2=eq\f(2k2+4,k2).所以|AB|=x1+x2+2=eq\f(2k2+4,k2)+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.因此l的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=-x0+5,(x0+1)2=\f((y0-x0+1)2,2)+16))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=3,y0=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=11,y0=-6))因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2eq\r(2)，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2eq\r(3).连结OB.因为AB=BC=eq\f(\r(2),2)AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=eq\f(1,2)AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2eq\r(3)),eq\o(AP,\s\up5(→))=(0,0,2eq\r(3))取平面PAC的法向量eq\o(OB,\s\up5(→))=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0=eq\f(2\r(3)(a-4),2\r(3(a-4)2+3a2+a2)).由已知得|cos<eq\o(OB,\s\up5(→)),n>|=eq\f(\r(3),2).∴eq\f(2\r(3)|(a-4)|,2\r(3(a-4)2+3a2+a2))==eq\f(\r(3),2)解得a=-4（舍去），a=eq\f(4,3).所以n=(-eq\f(8\r(3),3),eq\f(4\r(3),3),-eq\f(4,3)).又eq\o(PC,\s\up5(→))=(0,2,-2eq\r(3))，所以cos<eq\o(PC,\s\up5(→)),n>=eq\f(\r(3),4).所以PC与平面PAN所成角的正弦值为eq\f(\r(3),4).21．（12分）已知函数f(x)=ex-ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；（2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．【解析】（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0．设函数g(x)(x2+1)e-x-1，则g′(x)=-(x-1)2e-x．当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．（2）设函数h(x)=1-ax2e-x．f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点．（i）当a≤时，h(x)>0，h(x)没有零点；（ii）当a>0时，h′(x)=ax(x-2)e-x．当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)>0．所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．故h(2)=1-eq\f(4a,e2)是h(x)在[0,+∞)的最小值．①若h(2)>0，即a<eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)没有零点；②若h(2)=0，即a=eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③若h(2)<0，即a>eq\f(e2,4)，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x>0时，ex=x2，所以h(4a)=1-eq\f(16a3,(e2a)2)>1-eq\f(16a3,(2a)4)=1-eq\f(1,a)>0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点．综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=eq\f(e2,4)．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2cosθ,y=4sinθ))（θ为参数），直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1+tcosα,y=2+tsinα))（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,16)=1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．【解析】（1）当a=1时，eq\b\lc\{(\a\al\co2(2x+4x≤-1,,2-12,))可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．