中考数学专题圆的切线

中考数学专题圆的切线ThefinaleditionwasrevisedonDecember14th,2020.中考数学专题圆的切线中考数学专题圆的位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．【例2】已知：如图，⊙O为的外接圆，为⊙O的直径，作射线，使得平分，过点作于点.（1）求证：为⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径.【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）...

ThefinaleditionwasrevisedonDecember14th,2020.中考数学专题圆的切线中考数学专题圆的位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．【例2】已知：如图，⊙O为的外接圆，为⊙O的直径，作射线，使得平分，过点作于点.（1）求证：为⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径.【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交于点，且，，求⊙的半径长.【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．（1）求证：直线是⊙O的切线；（2）求的值．【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.第二部分发散思考【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低.因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。【思考2】已知：AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E.求证：AE=BD+DE．【思路分析】前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。第三部分思考题解析【思考1解析】1）证明:如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°.∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，∴∠EAB+∠BAD=90°.∴AD是⊙O的切线.（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6,AB=4,∴.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴∴∴.【思考2解析】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图3，连结OB．-∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，∴∠2=∠CBD．∵AB∥OC，∴∠2=∠A．∴∠A=∠CBD．∵OB=OC，∴，∵，∴．∴．∴∠OBD=90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解：∵∠D=∠ACB，，∴．在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，，∴，．∴．【思考3解析】OBGECMAF1231）证明：连结，则．∴．∵平分．∴．∴．∴．∴．在中，，是角平分线，∴．∴．∴．∴．∴与相切．（2）解：在中，，是角平分线，∴．∵，∴．在中，，∴．设的半径为，则．∵，∴．∴．∴．解得．∴的半径为．【思考4解析】证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．在△ACF和△BCD中，∴△ACF≌△BCD．∴CF=CD.∵CE⊥AD于E，∴EF=DE.∴.【思考5解析】证明：（1）连接OC,

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