1.4二次函数应用(3)1.如图所示,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?2.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)已知该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?答案:1.
分析
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:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+b,将(0,11)和(8,8)代入即可求出a,b;(2)令h=6,解方程(t-19)2+8=6得t1,t2,所以当h≥6时,禁止船只通行的时间为|t2-t1|.解:(1)依题意可得顶点C的坐标为(0,11),设抛物线解析式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴8=64a+11.解得a=-,抛物线解析式为y=-x2+11.(2)画出h=(t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时,h≥6,当h=6时,解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得,禁止船只通行的时间为|t2-t1|=32(小时).答:禁止船只通行的时间为32小时.点拨:(2)中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键,本题考查了二次函数在实际问题中的应用.2.分析:(1)由函数的图象可设抛物线的表达式为,依题意可知图象经过的点的坐标,由此可得的值.进而求出抛物线的表达式.(2)当时,,从而可求得他跳离地面的高度.解:(1)设抛物线的表达式为.由图象可知抛物线过点(0,3.5),(1.5,3.05),所以解得所以抛物线的表达式为.(2)当时,,所以球出手时,他跳离地面的高度是(米).