人力资源小学数学图形与几何

人力资源小学数学图形与几何 小学数学图形与几何 话题一 吴正宪(北京教育科学研究院) 王彦伟(北京东城区教师研修中心) 张 杰(北京东城区教育研修学院) 2011 版课标终于要公布了，新课标 修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。 新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有 空间观念、 几何直观、 推理能力 等 。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。 更直观的理解如下图: 几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。 案例:《打电话》 如果你是老师，有件紧急的事情要 通知 关于发布提成方案的通知关于xx通知关于成立公司筹建组的通知关于红头文件的使用公开通知关于计发全勤奖的通知 给同学，用打电话的方式，每分钟通知 1 人，给你 3 分钟的时间，能使多少人收到通知,大胆的猜测一下。 下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。 通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两 倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。 通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。 推理能力 的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成:合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。 通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。 讨论话题: 1(如何在观察、操作中“认识图形” 抽象出图形特征，发展空间观念, 2(如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测,从而发展 学生的空间观念与推理能力, 3(如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣, 4(如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力, 话题一、图形的认识——抽象图形特征，发展空间观念 问题一、新的课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 在图形的认识方面有哪些变化,有哪些新的要求呢, 这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容,有什么新的变化, 课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比: 修订前 修订后 第( 1 )通过实物和模型辨1. 能通过实物和模型辨一 认长方体、正方体、圆柱和球认长方体、正方体、圆柱和球等 学等 立体图形 。 几何体 。 段 ( 2 ) 辨认从正面、侧面、2. 能根据具体事物、照片 上面观察到的简单物体的形或直观图辨认从不同角度观察 状。 ,参见例 1 , 到的简单物体 (参见例 11 )。 ( 3 )辨认长方形、正方形、3. 能辨认长方形、正方 三角形、平行四边形、圆等简形、三角形、平行四边形、圆等 单图形。 简单图形。 ( 4 )通过观察、操作， 能4. 通过观察、操作， 初 用自己的语言描述 长方形、正步认识 长方形、正方形的特征。 方形的特征。 5. 会用长方形、正方形、 ( 5 )会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。 三角形、平行四边形或圆拼图。 6. 结合生活情境认识角， ( 6 )结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。 会辨认直角、锐角和钝角。 7. 能对简单几何体和图 ( 7 )能对简单几何体和图形形进行分类(参见例 20 )。 进行分类。 第( 1 ) 了解两点确定一1( 结合实例了解线段、二 条直线和两条相交直线确定一射线和直线。 学个点。 2(体会两点间所有连线中段 ( 2 ) 能区分直线、线段和线段最短，知道两点间的距离。 射线。 3(知道平角与周角，了解 ( 3 )体会两点间所有连线中周角、平角、钝角、直角、锐角 线段最短，知道两点间的距离。 之间的大小关系。 ( 4 )知道周角、平角的概念4(结合生活情境了解平面 及周角、平角、钝角、直角、上两条直线的平行和相交(包括 锐角之间的大小关系。 垂直)关系。 ( 5 )结合生活情境了解平面5(通过观察、操作，认识 上两条直线的平行和相交(包平行四边形、梯形和圆 ，知道 括垂直)关系。 扇形， 会用圆规画圆。 ( 6 )通过观察、操作，认识6(认识三角形，通过观察、 平行四边形、梯形和圆，会用操作，了解三角形两边之和大于 圆规画圆。 第三边、三角形内角和是 ( 7 )认识三角形，通过观察、180? 。 操作，了解三角形两边之和大7(认识等腰三角形、等边 于第三边、三角形内角和是 三角形、直角三角形、锐角三角 180 ? 。 形、钝角三角形。 ( 8 )认识等腰三角形、等边8(能辨认 从不同方向(前 三角形、直角三角形、锐角三面、侧面、上面)看到的物体的 角形、钝角三角形。 形状图 (参见例 32 )。 ( 9 )通过观察、操作，认识9(通过观察、操作，认识 长方体、正方体、圆柱和圆锥，长方体、正方体、圆柱和圆锥， 认识长方体、正方体和圆柱的 认识长方体、正方体和圆柱的展 展开图。 开图。 ( 10 )能辨认 从不同方位看 到的物体的形状和相对位置。 ,参见例 1 , 从这个表中可以看到，课表修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化，图形与几何这一模块原称空间与图形，变“空间与图形”为“图形与几何”;重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力，用词更加规范，体现了课标的严肃。 < 标准 > 的”图形与几何”第一、二学段仍分为四部分，具体表示有所变动，( 1 )图形的认识，( 2 )测量，( 3 )图形的运动(修改稿:图形与变换)，( 4 )图形与位置。图形的运动”强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。运动也是一种基本的数学思想。第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条直线确定一个点”。 “图形与几何”领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。新《标准》突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动，发展学生的空间观念和图形设计与推理(合情推理与演绎推理)的能力。 新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识，《大纲》(修订版)教材作为选学内容，《数学课程标准》中没有认识扇形的要求。 认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求，但在 “ 统计与概率 ” 部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以及学生认识扇形统计图的需要，《课标修订稿》在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。 简单说对图形认识的要求主要包括两个方面: 一是对图形自身特征的认识。 二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。 在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性:从 “ 辨认 ” 到 “ 初步认识 ” ，再从 “ 认识 ” 到 “ 探索并证明 ” 。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求 “ 辨认 ” ;第二学段要求 “ 认识 ” ;第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。 又如，对于平行四边形，第一学段要求 “ 辨认 ” ;第二学段要求 “ 认识 ” ;第三学段要求 “ 探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理 ” 。 再如，三角形内角和的例子: 关于 “ 视图 ” ，第一学段要求 “ 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体 ” ;第二学段要求 “ 能辨认从不同方向(前面、侧面、上面)看到的物体的形状图 ” ;第三学段要求 “ 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体 ” 。 这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程;也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。 对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。第一学段的 “ 了解直角、锐角和钝角 ” ;第二学段的 “ 体会两点间所有连线中线段最短 ” ; “ 了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系 ” ; “ 了 于第三边 ” ;第三学段的 “ 会比较线段的长短 ” ， “ 能比较解 三角形两边之和大 角的大小 ” 等，都是对图形大小关系的研究 。 点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系;轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。 图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、大小关系;图形的相似研究的是图形的形状之间的关系;而图形的位似则还涉及到了图形的位置关系。 在儿童的不同学段上，形象思维的发展是有层次的，荷兰范 . 希尔夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律。他们将学生的图形认知水平主要分为五级:水平 1 :直观化;水平 2 :描述 / 分析;水平 3 :抽象 / 4 :演绎 / 形式化推理;水平 5 :严密 / 元数学。一二三水平在小学体现，关联;水平 四五水平是在中学体现的。这和我们课标的要求也是一致。 图形认识的教学先明确两点: 一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是什么; 二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过你的教学达到什么阶段。 问题二、 小学阶段对于 “ 图形的认识 ” 这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系的, 第一， 现在的教材，在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。从历史发展过程上看，实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。到了上个世纪 90 年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然后又回到立体。为什么当时要改,因为当时很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，本身的识图的能力比较低，认识起来比较困难。这部分是个难点，分阶段安排可以分散难点。 第二，实际上一个人是生活在三维空间当中，一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大大楼里，所有东西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几何体，都具有直观的实物的模型的。那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。 所以一是有必要，二是有可能，再加上儿童的空间观念的形成，必然是有一个长期的反复的积累的过程，不能一次到位。所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位，先讲立体图形，要求直观认识，然后中间一段是平面图形，最后再讲立体图形。现在教材也一样，先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第二学段要求是认识。 也就是 现在教材是 “ 体,形,体 ” 的混合螺旋编排结构 问题三、 怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念, 第一、通过对实物的观察与操作认识图形 第一学段要求 “ 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 、 “ 通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征 ” ;第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系 ” 等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。 人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球 „ 都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始， “ 通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 。 “ 辨认 ” 是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。 从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。 第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系 ” 。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有 “ 直线 ” 的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有 “ 线段 ” 的实物原型。 类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。 第二、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念 新教材内容编排上增加了 “ 视图和投影、展开与折叠 ” 等内容。 视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中，增加了观察物体，这部分在课标上有两个要求。 第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，这是辨认。很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。 第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。 例如 拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转化的过程，这是过去小学没有的，现在有了，这两个阶段的目标要达到，就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。 “折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个做法现在要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程本有什么实际意义呢,这是让孩子们认识到，立体图形的结构和展开图之间的这种对应关系。怎么让他来认识这个对应关系呢, 例如，“正方体展开图”课例。 通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果;也可以不折，先想一想，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。 让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。 让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间的这样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。 “ 认识长方体、正方体和圆柱的展开图 ” ，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。 认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。 话题二、 图形的测量——渗透度量意识，掌握测量方法 一、如何以“图形的测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。 (一) 使学生体会建立统一度量单位的重要性 在教学长度单位的认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位,原来的教学中学生就是直接认识长度单位，学习度量单位有什么价值,下面以人教版教材为例谈一谈:二年级学生第一次学习长度单位，教材呈现的例 1 ，并没有上来就认识厘米，而是创设了一个活动的情境:让学生测量数学书封面，有的学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测量。这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。然后例 2 是开始学习厘米的认识。 《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。” 这种要求对面积、体积的单位也同样适用。 度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现发现不同的方法，不同单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。 例如， 海淀区中关村三小 鲍海影 老师执教的《厘米的认识》一课，学生在活动中充分体会了统一度量单位的重要性。 鲍 老师创设了一个情境，先鼓励学生采用不同的办法去测量相同的长度，有的学生用手量，有的用自己的铅笔量，还有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了不同的测量工具，所得的结论，当然是不同的了。比如说，有的同学测量的是三扎长，有的同学可能测量的是五根铅笔这么长，还有的同学测量的是 15 块橡皮那么长。 学生通过交流发现，当同学们你说你的结果，我说我的结果，彼此间就无法交流。通过这个活动让学生深刻地体会到度量单位需要统一，否则它会给生活带来不便。 这时，学生有一个共同的心里需求，即要使测量结果让大家都接受，就必须要有一个公认的标准单位。学生产生了这种需求，然后再来学习长度单位。 建立标准度量单位，有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准单位的意义有客观地认识。教材这样编排，不仅突出了统一单位的重要性，也体现了一种数学的文化内涵，揭示了度量单位是怎么发生发展，又是怎么推动社会的前进的。 《 2011 版数学课程标准》特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体长度的过程，让学生去体会建立统一度量单位的重要性。所以教师在教学实践中，应该坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好，让学生经历完整“度量单位”的从形成到产生的过程。 由此看来， 关于让学生体会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。 (二)使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟 《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。 进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解。长度(类似的，面积、体积) 单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的 实际意义。 例如，生活中哪些物体的长度大约为 1 米 ， 1 厘米 的长度可以用什么熟悉的 物体来估计，哪些物体的重量大约是 1 千克 ，哪些物体的体积大约是 1 立方米等。 对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身高为 175 ( )，应当选择 cm 而不是 mm 作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。 再如“北京到南京的铁路长约 1000 ( )”，引导学生学会选择合适的度量单位;要用实物感知度量单位的大小，如“ 一米 约相当于( )根铅笔长”，强化学生对度量单位地感知;还应关注不同维度度量单位之间的联系，例如，理解 1 平方分米 =100 平方厘米， 可以借助图形( 10 × 10 的方格，每个方格为 1 平方厘米)，也可以借助等式 1 平方分米 =1 分米× 1 分米 = 10 厘米 × 10 厘米 =100 平方厘米，避免学生死记硬背单位之间的换算关系。 总之，在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了„学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。 二、 如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法 ， 积累数学活动经验， 培养学生的空间观念 。 关于规则图形的度量公式， 《标准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式;探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题;探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。 《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物(如土豆等)体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想(如微积分的思想)。 同时，课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。 那么，在教学图形测量这部分内容时，如何渗透数学思想呢,下面结合一些具体案例来阐述。 1. 以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、 “极限”、“函数”和“积分”的数学思想。 在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。 圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，是学生第一次了解π这个无理数 , 是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等问题，因此对圆的周长以及面积的探索具有一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会 ” 转化 ” 、“极限”和“函数”的思想。 案例 1 :圆的周长公式的推导 化曲为直 -------- 转化思想 我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直径的关系呢, 老师给每组同学准备了不同的实物:有圆纸片、纸杯或硬币。 拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据(尤其是周长的数据),(讨论)为什么要绕线,为什么要滚动,(化曲为直) 活动二: 在圆的周长教学中，向学生介绍 “ 割圆术 ” ，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。 然后又化曲为直: 割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。 活动三: 测量寻找周长与直径的关系 ------- 函数思想 在测量圆的周长和直径填写数据的过程中，感受直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。 通过 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 形象直观的演示周长和直径的关系，体会函数思想。 2 :圆的面积公式的推导 案例 圆面积的探究活动 活动设计 : 学生利用手中学具，独立探究，小组合作，探索圆面积的计算方法。 核心问题:给学生提供几张圆形的纸片，小组合作探究，如何计算圆的面积, 这一活动的设计，给了学生充分的探究空间。通过对学生情况的把握，以及学生所经历的前面一系列认识和周长的教学活动，可以充分相信学生有自主探究的能力。通过 圆面积的探究活动，使学生在亲身经历中体会转化的研究方法和极限的重要数学思想。 圆转化成学过的图形 -------- 转化思想 ( 课件演示 ) 通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。同时在度量图形的过程中组织学生进行大量的操作性活动，有利于学生积累基本的数学活动经验。 掌握规则图形的周长、面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，以往我们的教学将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形周长、面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生灵活运用多种策略和方法解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，发展空间观念也是大有好处的。 学生在操作活动中，经历探索从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，在体验解决问题方法多样性的过程中创新意识也得到发展。 三、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。 估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现;不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。 估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形度量知识的掌握，以及需要具有一定的空间观念。 估测的意识和能力是在实践中发展起来的。 《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”， 并给出具体的实践任务 “测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积;测量步长，利用步长估计教室的面积”。 这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。 《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物(如土豆等)体积的测量方法等。 教材在学生积累了足够的实际测量经验后，为学生提供了先估测再实测的练习，让学生比较估测与实际测量所得结果的差别，从而修正自己的估测策略。 案例 : 测量不规则图形的面积 图中每个小方格为 1 个面积单位，试估计曲线所围成的面积。 如图一 : 教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合 , 最后累加起来 , 用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。但是这种估算不规则图形面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。充分体现该题的数学教育价值。 教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，再进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢,你能用已有的经验来解决这个问题吗,” 教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即:以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界(有 75 个这样的单位);然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界(有 113 个这样的单位)。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。 由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。 如图二: 在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。 教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗, 试一试～ ” 对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的 方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值，同时巧妙地渗透极限思想。 如图三 : 以往我们在教授“数方格”时，没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格( 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 )去教了，为了教估算而估算。上面“寻找区间”的设计则注重了学生估算意识和方法的培养，特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮 助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。 通过对 上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。 特别是通过教师引导学生将 方格等分成更小的方格，使估计值更 逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。 最后回顾一下“图形的测量”中的几个核心理念: 1. 使学生体会建立统一度量单位的重要性; 2. 使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟; 3. 在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量; 4. 重视估测及其简单应用; 5. 帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养空间观念。 话题三、图形的运动——体会研究方法，增加直观能力 一、为什么要在小学阶段增加“ 图形的运动 ” 这个内容, 《 2011 版数学课程标准》在“图形与几何” 领域仍然增加了“平移，旋转，放大与缩小这些内容”，只是把“图形与变换”改为“图形的运动”。为什么仍然保留这个内容，学习它的价值是什么, 运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种:一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化(合同运动);二是形状不变而大小变化(相似运动)。 1. 从学生角度来看 现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、地铁列车在平行移动;钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动;许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。 2(从数学发展的角度来看 1872 年，德国大数学家克莱茵发表 “爱尔兰根纲领”的演说，这个里程碑式的论断，改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。与静态地研究图形与几何的性质不同，图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与几何的性质，欣赏与设计图案。是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。 二、 第一、二学段关于“图形的运动”相关知识内容有哪些, 教学目标分别是什么, 按照《标准》的要求，小学 1-6 年级图形的运动主要涉及平移、旋转、对称及简单的图形相似这样一些内容。在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动，包括图形的平移、旋转和轴对称。 第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋 轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象，转和轴对称;并认识两个图形具有平移或 引导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验，归纳、发现各种运动的特点，是达成这个课程目标的有效途径。 《 2011 版数学课程标准》提倡我们组织学生分组收集日常生活中常见的图形(如案例 21 )——生活中的轴对称图形。 引导学生观察它们是否有对称轴，若有对称轴，数出或说出有几条对称轴。尝试画出它们的对称轴。在课堂中展示交流大家的发现，并尝试设计出一些轴对称图形。 这个活动可以鼓励学生主动观察，设法收集(如可以使用数码相机或现场素描等)。学生可以结合自己的生活环境发现、找到他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过程中丰富自己的经验。在交流大家收集到的图形的基础上，教师进一步鼓励学生自己设计轴对称图形，并交流自己图形所表达的意思。 第二学段中，图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面: ( 1 )按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补全一个轴对称图形。 图形的运动对小学生的认识来说，是比较抽象的，有一定难度。如果把抽象的空间意识转化为具体的、容易操作的教与学的过程，方格纸起到很好的作用。在第一、二 学 段，方格 纸 是 学 生 认识图形运动很好的平台，利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动，这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。 《 标 准》只要求图形沿水平或竖直方向平移、图形绕着一点旋转 90 ?。如，“在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90 ”。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建立。这也就回答了老师们的问题在“图形与几何”学习中方格纸的作用。 ( 2 ) 研究图形的相似运动 ，即将图形放大或缩小。 第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里的“放大与缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小的不同。 这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。 ( 3 ) 综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计。 学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形，这些知识技能和经验是图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计，为学生用数学的眼光看世界、看生 。 活提供了机会，也可以进一步感受数学的美、数学的价值 欣赏或设计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的想象，只要是合理的都应予以肯定，并进行交流与分享;但应要求学生用自己的语言表达图案中的图形运动关 系， 从 而更好地体 会图 形的 运动 在 图 案欣 赏 和 设计 中的作用。 课标中有这样的案例: 例 35 图画还原。 打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤。 在这个案例中，学生通过实际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性， 还可以让孩子们感悟几何运动也是可以记录的，体验选取最佳方案的过程。 教学设计时，可关注如下要点: ( 1 )完成还原积木的任务一定要从简单到复杂，如图，先打乱四块积木中的下面两 块，让学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后，可以打乱三块或四块积木，让学生继续 尝试。 ( 2 )可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定每一个步骤的代表符号。 ( 3 )小组活动时，可以先讨论，确定一个大概的还原路线，然后操作验证。 ( 4 )小组成员共同操作，进行比较，验证确定的路线。 课标修订前后具体目标有一些具体的变化 修改前 修改后 第一学1. 结合实例，感受平1. 结合实例，感受平移、旋转、 移、旋转、对称现象。 轴对称现象。 段 2. 能在方格纸上画出2. 能辨认简单图形平移后的 图形。 一个简单图形沿水平方向、 竖直方向平移后的图形。 3. 通过观察、操作，初步认识 3(通过观察、操作，轴对称图形。 初步认识轴对称图形。 并 能在方格纸上画出简单图 形的轴对称图形。 第二学1. 用折纸等方法确定1(通过观察、操作等活动，进段 轴对称图形的对称轴，能在一步认识轴对称图形及其对称轴，能 方格纸上画出一个简单的在方格纸上画出轴对称图形的对称 轴对称图形。 轴; 能在方格纸上补全一个简单的 轴对称图形。 2. 能利用方格纸按一 定比例将简单图形放大或 2(通过观察、操作等，在方格缩小， 体会图形的相似。 纸上认识图形的平移与旋转，能在方 3. 通过观察实例，认格纸上按水平或垂直方向将简单图 识图形的平移与旋转，能在形平移，会在方格纸上将简单图形旋 转 90 ?。 方格纸上将简单图形平移 或旋转旋转 90 ?。 3(能利用方格纸按一定比例将 简单图形放大或缩小。 4. 欣赏生活中的图 案，灵活运用平移、对称和 4(能从平移、旋转和轴对称的旋转在方格纸上设计图案。 角度欣赏生活中的图案，并运用它们 在方格纸上设计简单的图案。 总体上看:修改后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学活动经验。过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学中应当予以充分的重视。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值，应当认真落实《标准》的这些要求。 三、 “图形的运动”内容常用的教学策略有哪些, 策略一:结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动 新课标要求课程内容要反映社会的需要，数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给与支撑，对感知图形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段关于图形的图形的运动定位在积累感性体验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。 在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移、旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，多收集一些这样的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。 例如，教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材，注意融入了像道闸，车轮，钟摆等素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学 “ 轴对称变换时 ”，借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。 这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。 策略二:借助操作活 动 ，加深对图形运动的认识， 帮 助 学 生 体 会变换 的特征 加强 学 生操作活 动 ，也是提高 图 形 变换教学 成效的一 个 策略。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经某变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。 老师们在资源中观看了《图形的旋转》一课，在教学“线的旋转”环节让学生通过用铅笔表示线段在桌面方格中以三种不同的旋转中心(铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点)进行旋转。来感悟旋转中心可以是线段上的任意一点。为后面在方格纸上画线段提供实物支撑。 策略三:注重 从变换 的角度，引 导学 生欣 赏图 形、 设计图 案 学习图 形 与变换内 容的一 个 重要目的是使 学 生 运 用 数学 的眼光看待 现实 世 界。因此， 教学 中 应 鼓 励学 生 从变换 的角度欣 赏图 形， 设计图 案。 例如，在生活中 随处 可 见 的美 丽图 案， 学 生在 观 察 这 些 图 案 时 ，可以 发现 其 中包含的熟悉的 图 形;可以 运 用 数学 的眼光分析 图 案的 组 成，例如是否 运 用了 变换 ;可以欣 赏这 些各具特色的 图 案， 发现 其中 蕴 涵的 对称 美、和 谐 美、 简 明美;可以以此 为启发 ， 发挥 自己的 个 性和 创 造力， 亲 自 动 手 设计图 案。 《 2011 版数学课程标准》中要求:能画出简单平面图形(点，线段，直线，三角形等)关于给定对称轴的对称图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称 图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用;以及运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。 这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值，应当认真落实《标准》的这些要求。 《图形旋转一课》“感悟旋转的应用”环节中，教师借助信息技术，动态呈现一些基本图形旋转后形成的美丽图形和图案，鼓励学生从变换的角度欣赏图形与图案，感受其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美。并能从不同角度观察图形， 识别不同的基本图形发生了怎样的变换之后，形成了同一个图形，激发学生的创造性思维，为后面学习灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案做了孕伏。 策略四:在解决问题中注重“ 图形的运动 ”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力 1. 从变换角度认识图形 在认识图形的教学过程中，可以借助变换，动态直观的刻画图形的属性。例如:长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、 圆锥等图形，在认识他们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地发现图形隐含着的特点。 2. 从变换的角度理解度量 小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中，会用到拼凑、割补等多种推导的方法，这些方法的实质是图形的变换。 总之，小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用，并以图形的运动教学为载体，培养学生的几何直观，发展空间观念。 话题四、 图形的位置——发展空间观念，提高推理能力 “图形与位置”教学中的主要问题，主要分为三个层面: 教学内容层面: 第一、二学段的数学教材中安排了哪些“图形与位置”的教学内容,这些内容的教学目标是什么,这些内容之间有什么关系,这些内容与后续几何知识学习有什么联系, 教学设计层面: 在“图形与位置”内容的教学设计中应该注意哪些问题,学生在生活中获得了很多对“方向与位置”的认识，可能这些认识是零散、模糊的，与教学的要求并不相符，教学中如何充分利用学生的已有经验,“图形与位置”内容教学的首要目标是发展学生的空间观念，教学中采取哪些教学方式有利于发展学生的空间观念, 教学实施层面: 描述物体的位置具有相对性，需要确定观测点，在教学中如何让学生认识到这种“相对性”,如何让学生感受到确定观测点的重要性,用“行与列”、“方向与距离”描述物体的位置又具有唯一确定性，我们在教学中如何让学生感受到确定位置时两个要素缺一不可, 问题一:第一、二学段的数学教材中安排了哪些“图形与位置”的教学内容,这些内容的教学目标是什么,这些内容之间有什么关系,这些内容与后续几何知识学习有什么联系, 内容间的关系:第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的:一是确定物体的相对位置;二是辨认方向和使用路线图。(如下图) 把“图形与位置”的教学内容分成“确定物体的相对位置”、“辨认方向与使用路线图”两部分，可以让我们看出两方面内容是有区别的。但是它们并非截然分开，而是有联系的，无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置， 又可以用来说明方向。例如，“把数学书放在作业本的上面”、“电梯上行”，前者表示相对位置，后者表示方向。 问题二:在“图形与位置”内容的教学设计中应该注意哪些问题, “图形与位置”教学的总体建议:空间与人类生存和居住密切相关，了解、探索和把握空间，能使孩子更好地生存、活动和成长。“位置与方向”的内容是“空间观念”在教材中的具体呈现，因此，发展学生的空间观念是“位置与方向”教学的核心目标。 在“位置与方向”的教学中，如何更好地发展学生的空间观念呢,提出三点总体建议: ?充分利用学生的生活经验。 学生的空间知识来自于丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里”、“校园内”、“电影院中”、“上学路上”等熟悉的情境中学习“位置与方向”的内容，不仅可以激发学习的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。 ?让学生经历生活经验回忆、观察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程。 发展空间观念的途径是多样化的，在教学中我们只有让学生经历了多样化的数学活动过程，才能逐步发展空间观念。 ?倡导自主探索与合作交流的教学方式。 以被动的听讲和练习为主的方式，很难形成空间观念。培养空间观念需要大量的实践活动，学生需要有充分的时间和空间去经历多样化的数学活动过程，这不仅需要自主探索、亲身体验，更需要合作交流。 问题三:学生在生活中获得了很多对“方向与位置”的认识，可能这些认识是零散、模糊的，与教学的要求并不相符，教学中如何充分利用学生的已有经验, 四年级《用数对确定位置》教学前测 案例一: 测试问题:请你在纸上描述出你们班长的位置。 下面是学生的几种做法: ?文字叙述班长的位置 班长的位置是第三排第四个 班长的位置是第三列第四个 班长在从 窗户数的第三排第四个。 从门这边数第五组的第四个是班长 ?画图表示班长的位置 ? 还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第三个。 学生已有的知识经验很丰富，这固然可喜。但是，学生的想法各异，老师该如何处理呢,如何引导学生掌握教材介绍的“用数对确定位置”的方法呢, 案例解读: 面对学生不同的表示方法，教师应迅速归类，选择有代表性的方法，倾听学生的心声。在所有的学生理解不同的表示方法之后，通过不同表示方法的对比，让学生体会到确定位置要统一标准。 最后引导学生掌握用数对确定位置的方法:确定学生在教室中的位置，要以教师面向学生的位置为观测点， 竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。按这样的方法表示班长的位置应是:第五列第四行，可以简单表示为( 5 ， 4 )，两个数的顺序不能调换。 问题四:描述物体的位置具有相对性，需要确定观测点，在教学中如何让学生认识到这种“相对性”,如何让学生感受到确定观测点的重要性, 案例:学生 “用方向描述物体的相对位置”出现的问题 案例解读: 这是两名学生“用方向确定物体的位置”的不同做法，显然他们都掌握了东、南、西、北、东南、东北、西南、西北等方位的知识，而且都会正确描述物体的相对位置关系。但是，就这道题的解决来看，第一个同学是正确的，第二个同学则是错误的。因为 描述后山在象房的什么方向上，应以象房为观测点，他选错了观测点。 两个物体的位置关系具有相对性，如果不确定观测点，描述相对位置的方法是不唯一 的。 如:上海在北京南偏东 30 度方向上(如右图)，这 是以北京为观测点。如果以上海为观测点，上海与北京这 一相互位置关系也可以换成下面说法: 北京在上海北偏西 30 度方向上 教学中我们应加强对比，让学生体会到选准观测点的 重要性。 问题五:用“行与列”、“方向与距离”描述物体的位置又具有唯一确定性，我们在教学中如何让学生感受到确定位置时两个要素缺一不可, 案例: 《位置与方向》教学片断 1(引入。 ?欣赏京东大峡谷、房山周口店北京人遗址、朝阳公园、八达岭长城等北京人文景观图片。 ?以朝阳实验小学为观测点，你能在这幅图上标出八达岭长城的位置吗, 通过思考让学生体会到:要确定八达岭长城在这幅图中的位置，需要知道具体方向和朝阳实验小学到八达岭的距离。 2(探究，解决问题。 ?要确定八达岭长城的位置只知道 “ 在朝阳实验小学西北方向 ” 行吗, —— 只能确定所在的区域 ?要确定八达岭长城的位置只知道 “ 在朝阳实验小学西偏北 40 度方向上 ” 行吗, —— 只能确定在一条射线上 ?要确定八达岭长城的位置只知道 “ 距离朝阳实验小学 60 千米 ” 行吗, —— 只能确定在一个半径 60 千米 的圆周上 案例解读: 这样的引入，激发了学生的兴趣，利用了学生的生活经验，唤起了学生 “ 位置与方向 ” 的已有认知经验。 学习用“方向与距离去定位置”学生的一个主要困惑点是: 既要考虑方向，又要考虑距离，容易顾此失彼。这正是儿童的思维特点，他们善于从一个维度去思考问题，但需要从两个维度甚至多个维度去深入思考时，就会显得力不从心。老师引导学生开展探究，先从单个维度考虑， 让学生真正体会到了:方向与距离在确定位置中缺一不可。只有二者相结合，找到射线与圆周的交点，才能确定物体的位置。 学习用“方向与距离确定位置”学生还有一个困惑点是:方向混淆。 这节课上学生就暴露出了这一问题: 确定 “ 北偏西 40 度方向 ” ，让学生白量角器，第一个学生就摆错了，摆成了 “ 西偏北 40 度 ” 。教师让其他同学再摆出一条线，让全体同学在比较中鉴别:哪条线表示的是 “ 北偏西 40 度方向 ” 。通过比较让学生明确了:确定 “ 北偏西 40 度方向 ” ，先要判断以哪个方向为标准，以 “ 北 ” 为标准，要把量角器的 0 刻度线与表示 “ 北 ” 的方向线重合，量角器的中心点与观测点重合。 老师们在教学实践当中，不断的去积累我们的教学经验，不断深入的学习思考，通过图形与几何的教学，真正的达到课标对我们教学的基本要求。 最后提三点建议 1. 把握好空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等核心概念。 2. 在数学活动中感悟数学思想，积累数学活动经验 3. 通过开展观察、操作、想象等活动使学生经历学习过程，从而发展学生的空间观念。 参 考文 献 : , 1 , 教育部 . 全日制义务教育数学课程标准( 实验 稿)北京师范大学出版社 , 2 ,〔英〕 G 豪森，等《 数学课程发展》 周克希等译 上海教育出版社 , 3 , 郑毓信《 数学教育从理论到实践 》上海教育出版社 , 4 ,刘晓玫《 教学艺术来自准确把握教学内容》 首都师范大学出版社 , 5 ,人民教育编辑部《小学数学创新性备课 》教育科学出版社 长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构 作者: 白春军 ( 小学数学 辽宁朝阳小学数学班 ) 有关空间与图形部分的知识是小学数学知识的重要组成部分。该部分知识是人们认识现实生活中物体的形状、大小和空间位置关系，以及解决现实问题的重要依据。 在“空间与图形”的知识中，长度、面积和体积是一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。因此，在九年义务教育阶段的小学数学教学中，如何帮助学生建构起清晰的三维空间观念，是我们必须思考和解决的问题。为此，我们首先需要对以往线段长度、面积，体积的概念教学不断进行反思;其次是要重新认识线段长度、面积、体积概念教学的价值取向;最后要在开发合理利用教材资源的基础上对线段长度、面积和体积概念教学进行整合规划设计。 一、长度、面积、体积概念教学常存在的问题 长度、面积和体积是空间与图形知识中一组最为基本度量概念。由于小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在小学不同的年级进行教学，在教学中就容易表现出以下方面的问题: 第一，教师容易关注知识点的教学，却忽视了知识之间的内在联系。教师常常既不注意在长度的概念教学中进行思想方法的渗透和揭示;也不注意在面积的概念教学中与长度概念进行差异比较和内在思想方法的沟通;更不注意在体积的概念教学中进行一维的长度概念、二维的面积概念和三维的体积概念之间的差异比较和纵向发展脉络上的梳理。这种教学有局限性，不利于学生发展。如果说对概念认识不够，直接影响理解程度不利于较好解决问题。 第二，教师容易注重知识掌握结果，而忽视知识形成过程。即使是在具体的一节课的教学中，许多教师也只是把教学的重心放在如何认识度量单位和准确使用度量工具上面，忽视度量工具的发明和度量单位的形成过程对于学生成长的重要价值。以长度概念的教学为例，教师在教学中一般会注意以下几方面的问题:首先，教师会关注学生对度量单位建立初步的感性体验认识，如 1 厘米相当于人的指甲的长度， 1 米 相当于一个一年级学生的身高，等等;其次，教师十分关注学生正确使用度量工具，如学生是否使直尺的零刻度线与度量对象的起始点对齐，是否使直尺与度量对象重合 ( 点对点，线对线 ) ，等等。 第三，教师会关注学生对度量单位使用的合理性，如度量较短物体的的长度选择使用厘米做单位，度量比较长的物体一般选择米做单位，等等。诸如此类，从学生对于度量单位认识和度量工具使用的角度来说，该注意的教师似乎都注意到了，但恰恰忽视了教学过程中;最重要的育人资源的开发，即前人在形成度量工具和度量单位过程中的智慧。 二、长度、面积、体积概念教学的育人价值 长度、面积、体积概念教学的育人价值至少可以从两个方面来加以关注，一是从知识之间整体的内在联系中开发育人的资源，二是从知识形成过程中开发育人的资源。 1(知识结构关系的梳理对于学生认识概念的价值 长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。 首先，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面的有机结合，其中，点动成线 ( 从这个意义上长度也可以称为线积 ) ;数线动成面 ( 称为面积 ) ;面动成体 ( 称为体积 ) 。因此，点、线、面和体中的前者分别是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展而成。 其次，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。 “长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度;“面积”是二维概念，表示物体表面或平面图形的大小;“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系 ( 见表 2) 。的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系。 因此，如果教师能够认识到这些知识之间的内在结构关系，努力在教学中梳理和沟通这些概念之间的区别与联系，开发和实现教学对学生认识这些概念的意义，帮助学生对这些概念形成既清晰又丰富的认识，从而为学生构建正确的三维空间观念。 2(度量工具和单位的形成过程对于学生发展思维的价值 长度、面积、体积的度量工具和单位的产生是人类不断思索，挖掘知识归结出来的精髓。是前人智慧的结晶，我们需要开发这些知识形成过程中的育人资源和价值。这里以长度的度量工具和单位的产生过程为例来说明。 首先，度量单位的产生基于现实生活的需要。它产生于在两个物体的长度不能直接进行比较的情况下，需要借助于作为中介的第三个物体长度进行间接比较的过程之中。在间接比较的过程中，由于各人所采用的中介物的长度不一样，导致比较的标准和结果不一致，这样就带来间接比较的困难，于是需要统一比较的标准，度量的基本单位便在探索过程中逐渐形成。 其次，度量单位的使用具有地域流通性的特征。度量单位是一个约定俗成的概念，不同的地域内流通着各自不同的度量单位。我国度量长度的标准是 “ 市制 ” 单位，基本的度量单位有 l 尺、 1 寸、 l 里等;英国度量长度的标准是“英制”单位，基本的度量单位有 1 英尺、 1 英寸、 1 英里等。由此又形成了不同地域之间度量长度的换算标准，如 l 英寸 =2.54 厘米 =0.762 寸。由于换算的麻烦，又产生了国际上通用的度量长度的统一标准“公制”单位，其基本的度量单位有 1 厘米、 1 米 、 1 千米 ，等等。 第三，度量工具的多样性与适用性体现了人类创造的智慧。由于现实生活需要的丰富多样，人们创造发明了各式各样的度量工具。例如，度量线段长度的工具有学生作为学习用品的以厘米为单位的直尺，商店营业员用来度量商品长度的以米为单位的米尺，裁缝师傅用来量体裁衣的塑料软尺，建筑工人用来度量地基长度的卷尺，等等。尽管这些度量工具的度量对象、材料性质各不相同，但它们都具有度量长度的功能。这些度量工具的开发充分体现了前人的智慧。 总而言之，长度、面积和体积的概念对于学生来说不仅是遥远的历史，更是抽象的概念;不仅是远离学生的，更是外在于学生的。它们是前人生命实践的成果和经验的结晶，已然成为符号化的书本知识。如果我们只是关注到了这些表面的符号化的知识，就会仅仅关注知识的传递价值，容易把学生当作是为接受这些知识而存在的，也就容易忽视知识形成过程中的资源开发，教学也就难以体现其促进学生成长发展的价值。 因此，我们需要透过符号化知识的表面，对其背后的过程形态的知识加以关注。这样，我们就会发现，无论是度量比较过程中的标准统一，还是三维空间的度量单位体系的形成，甚至是适应现实生活需要的各种度量工具的发明，它们无一不体现了前人生命实践活动过程中的智慧。如果在教学中能够使学生经历这样的生命实践活动的过程，教学就有可能使这些固化了的知识得到活化。在这个过程中，学生不仅能够认识和体会到比较过程中标准统一的必要性，而且还能够了解从一维到二维再到三维的度量工具和单位体系的形成过程。更为重要的是，学生在经历生命实践活动的过程中可以实现自身的再创造。从这个意义上可以说，这是一种习得和形成智慧的教学，唯有这样的教学才能够体现促进学生成长发展的价值。 总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线到二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。下面以面积概念的教学设计为例，具体说明度量概念的教学过程设计 ( 见附录 ) 。 【返回参考资料列表】 小议测量的改革 北京师范大学教科所副教授，国家课程标准研制组成员 綦春霞 测量(度量)一直是各国数学课程标准中的一项重要内容。从第二次国际数学教育的比较研究中就发现:度量、算术和代数组成了学校的“核心”课程(张奠宙、 J 尔升等编译:《国际展望 : 九十年代的数学教育》，上海教育出版社)。第三次国际比较 (TIMSS) 结果也表明:各国及地区都重视对测星中“单位”、“周长、面积及体积”的教学，强调通过学习这些内容来培养学生的 推理、联系和交流 等能力。而我国则是强调学习测量的知识及培养学生解决问题的能力，如“单位换算”、“规则图形的周长、面积及体积公式”等，却忽视了“估计与误差”等知识， 1993 年至 1995 年的一项调查也验证了这一点(《基础教育课程改革实践与探索 ( 数学 1) 》)。调查给出下面三道题: 小明的体重约 20( 克、千克 ) 。〔五年制小学二年级学生回答 ) 课桌面积约 50( 平方厘米、平方分米、平方米 ) 。 ( 五年制小学三年级学生回答 ) 昨天 18 : 30 乘火车去北京，途中经过 15 时，何时抵京 ?( 五年制小学五年级学生回答 ) 调查结果是:二年级、三年级、五年级学生回答的正确率分别是 50.14% ,37.68% , 25.52% , 也就是说随着年级的升高，学生对实际量的估计能力在降低。而“估计与误差”是世界其他国家和地区所强调的。因此，在《全日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿 ) 》 ( 以下简称《标准 ( 实验稿 ) 》 ) 中将测量作为空间与图形的重要内容之一，将发展测量 ( 包括估测 ) 能力作为一项重要的目标。本文就以下几个方面探讨测量内容的改革。 一、通过实际操作，体会标准单位的意义和价值 测量离不开实际的操作，通过操作，可以使学生体会标准单位的意义和建立标准单位的必要性。结合生活实际，使学生感受量的实际意义。 在引入标准单位时，必须突出其必要性才能使学生体会到其价值。比如“长度单位”的介绍，先鼓励学生采用不同的办法去测量课桌的长度。学生可能会用手、铅笔、铅笔盒、橡皮、尺子等作为测量工具去测量，由于采用了不同的测量工具，所得的结论也是不同的。 比如 3 枝铅笔那么长、 15 块橡皮那么长、 3 个铅笔盒那么长„„学生体会到，要使测量的结果让大家都接受，就必须要有一个公认的单位——标准单位。 有了标准单位后，就可以让学生体会某些物体的量。比如 10 米 相当于多少步长 ?4 层楼房有多少米高,马拉松长跑比赛全程约多少米 ( 千米 )? 不仅长度单位的引人按如上思路，而且面积、体积等单位的引入也可以按照这样的方式进行。比如测量课桌的面积，可以用课本、文具盒作单位进行测量。得到不同的结果后，让学生进行讨论，最后引入有关面积的标准单位。 二、选择适当的测且工具 选择适当的测量工具是进行有效测量的重要前提。比如用铅笔可以去量桌子的长，但如果去量操场则是不合适的。同样，用米尺去测量一页纸的厚度，也是不准确的。所选择和使用的测量工具必须保证所得出的结果是一个合理的数字。 比如市场上常常用天平或电子秤来称出所售的蔬菜、水果、肉等，称人的体重时则用磅秤。布店用的是米尺，而工厂零件的测量常常用游标卡尺 ( 可精确到 0.lmm) 和螺旋测微器 ( 可精确到 0.05mm ) 。曹冲“称象”也表明他机智地选择了恰当的测量工具。 三、重视估测 测量所得的数，与实际的数相比，是一个近似数。测量总会有一定的误差，误差的大小取决于测量的工具，而误差的允许范围则取决于问题的实际背景和特定要求。在适当误差范围内，应鼓励使用多种测量工具和测量方法进行测量和估计。 如，估测 1 万粒 ( 或 l 粒 ) 大米的重星。 此题是一个开放性的问题，学生可以用多种方法进行估计。比如可以通过称 100 粒大米的重量来估计 1 万粒 ( 或 1 粒 ) 大米的重量，也可以通过数 0.25 千克大米的粒数进行估计等。总之，应让学生采取不同的估计方式，并对测量结果进行交流。 如果直接测量误差较大或很难去测量时，常常采用间接测量的方法。 如，测量一个苹果的体积。直接去测量苹果的体积，误差较大。如果将苹果近似看成 一个圆台 ( 或圆柱 ) ，通过测量苹果的上下底周长和苹果的高度，就可以大致估计出苹果的体积了。由于苹果的形状不规则，所以，这种估计是不精确的。如果将它看成是球或是由几种几何体组合而成，那么所估测的体积便会有很大的差异。假如用间接测量的方法，将苹果放在水里，通过测量排出的水的体积求出一苹果的体积，问题便化难为易，迎刃而解了。 对于不规则图形的面积测量，可以借助方格纸进行估测。将包括边界的格子纸不断地进行细分，就可以近似地估计出图形的面积了。这种细分的思想正是以后要学的极限思想。 2如，下页图中每个小方格的面积为 lcm ，试估计方格中曲线所围成的面积。 为了估计，需要对含边界的小方格进行再细分，比如说把第 6 行第 2 列的小方格取出来，再细分估计这部分的面积，如细分为图 ，这个小方格中的面积大约 。其他落在别的方格中的边界，仍可按上述方法进行细分求面积，最后图形的面积是将所有的计算结果相加。 四、体会不变量 在测量中，尤其是计算图形的面积时，常常需要用割补的方法，这要求学生能够体会图形在变换过程中的变量和不变量。如全等三角形，它们即使位置不同，也有相等的周长和面积。测量面积往往需要把整体分成几个部分，这就要求低年级的学生能够体会到把 1 个矩形分成 2 个三角形，即使把某一块移走拼成新图形，新图形的面积与原来也是相同的，而新图形的周长则不再等于最初图形的周长。在求平行四边形的面积时，使用的就是割补的方法，将平行四边形通过切割，变成面积相等的矩形。在变换的过程中应该使学生体会到哪些是变量，哪些是不变量。比如经过割补后的图形，周长发生了改变，但面积是不变的 ( 由平行四边形割补成矩形 ) 。这种方法体现了变换、守恒的思想。为了强化变换中的不变量，可以举一些反例。 如，失去的面积。 把一个边长为 8cm 的正方形按下左图划分，然后再拼成下右图所示的长方形。面积为 2什么会增大 lcm 此题是一个不等面积的变换，左图经过剪贴后，拼不成右边的图形，而是拼成了如下的图形。 2所以面积增大了 lcm 。通过这样的问题可以更进一步巩固学生的割补思想。 【返回参考资料列表】