第二章 基本初等函数
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图象特征 函数性质 第二章 基本初等函数 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
+一、指数函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R(一)指数与指数幂的运算 共性 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 1(根式的概念: 函数图象都过定点(0，1) 过定点(0，1) n负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作=0。 0 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 nn注意:(1) ()aa, 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0
1 (2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， aa,aa,,||,,,aa,0,图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快， 2(分数指数幂 到了某一值后减小速度较慢; m,nmn 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 正数的正分数指数幂的意义，规定: aaamnNn,,,,(0,,,1)且
m 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; _1,naamnNn,,,,且(0,,,1) 正数的正分数指数幂的意义:a>1 m在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,00时，a,N在1的同侧;当b<0时，a,N在1的 异侧。 rsrs，(1) aaaarsR,,,(0,,)注意:在化简过程中，偶数不能轻易约分;如(2)指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大rsrs1(2) ()(0,,)aaarsR,,,0小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a)进行传递或者利用(1)的知识。 22rrr [(12)]1221,,,,而应=(3) (b)(0,0,)aababrR,,,,(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 (二)指数函数及其性质 1(4)分辨不同底的指数函数图象利用a=a，用x=1去截图象得到对应的底数。 x1、指数函数的概念:一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R( ya,xx(5)指数型函数:y=N(1+p) 简写:y=ka 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1(即 a>0且a?1 二、对数函数 2、指数函数的图象和性质 (一)对数 01 xaN,1(对数的概念:一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作: xN,loga ( a— 底数， N— 真数，— 对数式) logNa 说明:1. 注意底数的限制，a>0且a?1;2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式( 2、两个重要对数: (1)常用对数:以10为底的对数, ; loglgNN记为10 (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , ( loglnNN记为e 3、对数式与指数式的互化 图 xxNaN,,,log a像 对数式 指数式 定义域R , 值域(0，+?) 对数底数? a ? 幂底数 (1)过定点(0，1),即x=0时，y=1 对数? x ? 指数
(2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 真数? N ? 幂
结论:(1)负数和零没有对数 性质 (3)当x>0时,00时,y>1; (2)loga=1, log1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 aa当x<0时,y>1 当x<0时,0 0，a , 1，M > 0， N > 0 有: 当00 当00; aaaaaNn3 、 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 loglognMnM,,(R)aa当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+?) 内时,有logb<0. a说明:
1) 简易语言
表
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达:”积的对数=对数的和”…… 口诀:底真同大于0(底真不同小于0). 2) 有时可逆向运用公式
(其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值) 3) 真数的取值必须是(0,，?) a4) 特别注意: logMN,logM,logNaaa
，，logM,N,logM,logN 的影响。 3、如图，底数 a对函数y,logxaaaa
logblgbc注意:换底公式 log0,1,0,1,0baaccb,,,,,,,规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 ，，aloglgaac4考点: 利用换底公式推导下面的结论 ?、logb, 当a,b在1的同侧时, logb >0;当a,b在1的异侧时, logb <0 aaa1nn?logb, ?? loglogloglogbcdd,,,loglogbb,?、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数maabcaaalogamb的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进(二)对数函数 1(=loga)进行传递。 a1、对数函数的概念:函数 (a>0，且a?1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定yx,loga?、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。 义域是(0，+?)( ?、分辨不同底的对数函数图象利用1=loga ，用y=1去截图象得到对应的底数。 a注意:(1) 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 xx(a>0且a ?1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 ?、y=a(a>0且a ?1) 与y=logayx,,log1如:， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数( yx,，log2aa
(2) 对数函数对底数的限制:a>0，且a?1
2、对数函数的图像与性质:对数函数(a>0，且a?1) yx,loga
0 , a , 1 a , 1
y yy y
图
(1,0) (1,0)0 x 0x像
0 0(1,0) (1,0) x x5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 定义域:(0，，?) 值域:R
6 比较大小的方法 过点(1 ,0), 即当x ,1时,y,0
(1) 利用函数单调性(同底数);(2) 利用中间值(如:0,1.);(3) 变形后比较;(4) 作差比较 性在(0,+?)上是减函数 在(0,+?)上是增函数 (三)幂函数 质 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0
,1、幂函数定义:一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数( yx,
2、幂函数性质归纳(
(1)所有的幂函数在(0，+?)都有定义，并且图象都过点(1，1); (2)α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ?)上是增函数(特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α<1时，幂函数的图象上凸;
(3)α<0 时，幂函数的图象在(0，+?)上是减函数(在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+?时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴(
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