[指南]2012年初二数学经典难题
2012年初二数学经典难题
一、解答题(共10小题,满分100分)
1((10分)已知:如图,P是正方形ABCD内点,?PAD=?PDA=15?(求证:?PBC是正三角形((初二)
2((10分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F(
求证:?DEN=?F(
3((10分)如图,分别以?ABC的边AC、BC为一边,在?ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半(
4((10分)设P是平行四边形ABCD内部的一点,且?PBA=?PDA( 求证:?PAB=?PCB(
5((10分)P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长(
6((10分)一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水(向容器中注满水的全过程共用时间t分(求两根水管各自注水的速度(
7((10分)(2009•郴州)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(,2,,1),且P(,1,,2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B(
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得?OBQ与?OAP面积相等,如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值(
8((10分)(2008•海南)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB(
(1)求证:?PE=PD;?PE?PD;
(2)设AP=x,?PBE的面积为y(
?求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
?当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值(
9((10分)(2010•河南)如图,直线y=kx+b与反比例函数(x,0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点(1
(1)求k、k的值( 12
(2)直接写出时x的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC?OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE?OD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由(
10((10分)(2007•福州)如图,已知直线y=x与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4(
(1)求k的值;
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求?AOC的面积; (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标(
2012年初二数学经典难题
参考
答案
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与试题解析
一、解答题(共10小题,满分100分)
1((10分)已知:如图,P是正方形ABCD内点,?PAD=?PDA=15?(求证:?PBC是正三角形((初二)
考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定。 专题: 证明题。
分析: 在正方形内做?DGC与?ADP全等,根据全等三角形的性质求出?PDG为等边,三角形,根据SAS证出
?DGC??PGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的判定求出即可( 解答: 证明:
?正方形ABCD,
?AB=CD,?BAD=?CDA=90?,
??PAD=?PDA=15?,
?PA=PD,?PAB=?PDC=75?,
在正方形内做?DGC与?ADP全等,
?DP=DG,?ADP=?GDC=?DAP=?DCG=15?,
??PDG=90?,15?,15?=60?,
??PDG为等边三角形(有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形),
?DP=DG=PG,
??DGC=180?,15?,15?=150?,
??PGC=360?,150?,60?=150?=?DGC,
在?DGC和?PGC中
,
??DGC??PGC,
?PC=AD=DC,和?DCG=?PCG=15?,
同理PB=AB=DC=PC,
?PCB=90?,15?,15?=60?,
??PBC是正三角形(
点评: 本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是
正确作出辅助线,又是难点,题型较好,但有一定的难度,对学生提出了较高的
要求
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(
2((10分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F(
求证:?DEN=?F(
考点: 三角形中位线定理。
专题: 证明题。
分析: 连接AC,作GN?AD交AC于G,连接MG,根据中位线定理证明MG?BC,且GM=BC,根据AD=BC
证明GM=GN,可得?GNM=?GMN,根据平行线性质可得:?GMF=?F,?GNM=?DEN从而得出
?DEN=?F(
解答: 证明:连接AC,作GN?AD交AC于G,连接MG(
?N是CD的中点,且NG?AD,
?NG=AD,G是AC的中点,
又?M是AB的中点,
?MG?BC,且MG=BC(
?AD=BC,
?NG=GM,
?GNM为等腰三角形,
??GNM=?GMN,
?GM?BF,
??GMF=?F,
?GN?AD,
??GNM=?DEN,
??DEN=?F(
点评: 此题主要考查平行线性质,以及三角形中位线定理,关键是证明?GNM为等腰三角形(
3((10分)如图,分别以?ABC的边AC、BC为一边,在?ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半(
考点: 梯形中位线定理;全等三角形的判定与性质。
专题: 证明题。
分析: 分别过E,F,C,P作AB的垂线,垂足依次为R,S,T,Q,则PQ=(ER+FS),易证Rt?AER?Rt?CAT,
则ER=AT,FS=BT,ER+FS=AT+BT=AB,即可得证(
解答: 解:分别过E,F,C,P作AB的垂线,垂足依次为R,S,T,Q,则ER?PQ?FS,
?P是EF的中点,?Q为RS的中点,
?PQ为梯形EFSR的中位线,
?PQ=(ER+FS),
?AE=AC(正方形的边长相等),?AER=?CAT(同角的余角相等),?R=?ATC=90?,
?Rt?AER?Rt?CAT(AAS),
同理Rt?BFS?Rt?CBT,
?ER=AT,FS=BT,
?ER+FS=AT+BT=AB,
?PQ=AB(
点评: 此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点,辅助线的作法很关键(
4((10分)设P是平行四边形ABCD内部的一点,且?PBA=?PDA( 求证:?PAB=?PCB(
考点: 四点共圆;平行四边形的性质。
专题: 证明题。
分析: 根据已知作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使PE=AD=BC,利用AD?EP,AD?BC,进而得出
?ABP=?ADP=?AEP,
得出AEBP共圆,即可得出答案(
解答: 证明:作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使PE=AD=BC,
?AD?EP,AD?BC(
?四边形AEPD是平行四边形,四边形PEBC是平行四边形,
?AE?DP,BE?PC,
??ABP=?ADP=?AEP,
?AEBP共圆(一边所对两角相等)(
??BAP=?BEP=?BCP,
??PAB=?PCB(
点评: 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质,熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键(
5((10分)P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长(
考点: 正方形的性质;勾股定理;等腰直角三角形;旋转的性质。
专题: 综合题。
分析: 把?ABP顺时针旋转90?得到?BEC,根据勾股定理得到PE=2a,再根据勾股定理逆定理证明?PEC是
直角三角形,从而得到?BEC=135?,过点C作CF?BE于点F,?CEF是等腰直角三角形,然后再根据勾
股定理求出BC的长度,即可得到正方形的边长(
解答: 解:如图所示,把?ABP顺时针旋转90?得到?BEC,
??APB??CEB,
?BE=PB=2a,
?PE==2a,
2222在?PEC中,PC=PE+CE=9a,
??PEC是直角三角形,
??PEC=90?,
??BEC=45?+90?=135?,
过点C作CF?BE于点F,
则?CEF是等腰直角三角形,
?CF=EF=CE=a,
在Rt?BFC中,BC===a,
即正方形的边长为a(
点评: 本题考查了正方形的性质,旋转变化的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理以及逆定理的应用,作出
辅助线构造出直角三角形是解题的关键(
6((10分)一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水(向容器中注满水的全过程共用时间t分(求两根水管各自注水的速度(
考点: 分式方程的应用。
分析: 设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x,一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管
向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水(向容器中注满
水的全过程共用时间t分可列方程求解(
解答: 解:设小水管进水速度为x立方米/分,则大水管进水速度为4x立方米/分(由题意得:
解之得:
经检验得:是原方程解(
?小口径水管速度为立方米/分,大口径水管速度为立方米/分(
点评: 本题考查理解题意的能力,设出速度以时间做为等量关系列方程求解(
7((10分)(2009•郴州)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(,2,,1),且P(,1,,2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B(
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得?OBQ与?OAP面积相等,如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值(
考点: 反比例函数综合题。
专题: 压轴题。
分析: (1)正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(,2,,1),设出正比例函数和反比例函数的解析式,
运用待定系数法可求它们解析式;
(2)因为P(,1,,2)为双曲线Y=上的一点,所以?OBQ、?OAP面积为1,依据反比例函数的图象
和性质,点Q在双曲线上,即符合条件的点存在,是正比例函数和反比例函数的图象的交点;
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,而点P(,1,,2)是定点,所以OP的
长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值( 解答: 解:(1)设正比例函数解析式为y=kx,
将点M(,2,,1)坐标代入得k=,所以正比例函数解析式为y=x,
同样可得,反比例函数解析式为;
(2)当点Q在直线OM上运动时,
设点Q的坐标为Q(m,m),
2于是S=|OB×BQ|=×m×m=m, ?OBQ
而S=|(,1)×(,2)|=1, ?OAP
2所以有,m=1,解得m=?2,
所以点Q的坐标为Q(2,1)和Q(,2,,1); 12
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,
而点P(,1,,2)是定点,所以OP的长也是定长,
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值,(8分)
因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为Q(n,),
222由勾股定理可得OQ=n+=(n,)+4,
22所以当(n,)=0即n,=0时,OQ有最小值4,
2又因为OQ为正值,所以OQ与OQ同时取得最小值,
所以OQ有最小值2,由勾股定理得OP=,
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP+OQ)=2(+2)=2+4((10分) 点评: 此题难度稍大,考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质,综合性比较强(要注意对各个知识点的
灵活应用(
8((10分)(2008•海南)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB(
(1)求证:?PE=PD;?PE?PD;
(2)设AP=x,?PBE的面积为y(
?求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
?当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值(
考点: 二次函数综合题。
专题: 动点型。
分析: (1)可通过构建全等三角形来求解(过点P作GF?AB,分别交AD、BC于G、F,那么可通过证三角形
GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE?PD(在直角三角形AGP中,由于?CAD=45?,因此三角形AGP是
等腰直角三角形,那么AG=PG,而PB=PE,PF?BE,那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出
BF=FE=AG=PG,同理可得出两三角形的另一组对应边DG,PF相等,因此可得出两直角三角形全等(可
得出PD=PE,?GDP=?EPF,而?GDP+?GPD=90?,那么可得出?GPD+?EPF=90?,由此可得出PD?PE(
(2)求三角形PBE的面积,就要知道底边BE和高PF的长,(1)中已得出BF=FE=AG,那么可用AP在
等腰直角三角形AGP中求出AG,GP即BF,FE的长,那么就知道了底边BE的长,而高PF=CD,GP,
也就可求出PF的长,可根据三角形的面积公式得出x,y的函数关系式(然后可根据函数的性质及自变量
的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值(
解答: (1)证明:?过点P作GF?AB,分别交AD、BC于G、F(如图所示(
?四边形ABCD是正方形,
?四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
?AGP和?PFC都是等腰直角三角形(
?GD=FC=FP,GP=AG=BF,?PGD=?PFE=90度(
又?PB=PE,
?BF=FE,
?GP=FE,
??EFP??PGD(SAS)(
?PE=PD(
???1=?2(
??1+?3=?2+?3=90度(
??DPE=90度(
?PE?PD(
(2)解:?过P作PM?AB,可得?AMP为等腰直角三角形,
四边形PMBF为矩形,可得PM=BF,
?AP=x,?PM=x,
?BF=PM=,PF=1,(
2?S=BE×PF=BF•PF=x×(1,x)=,x+x( ?PBE
2即y=,x+x((0,x,)(
22?y=,x+x=,(x,)+
?a=,,0,
?当x=时,y=( 最大值
点评: 本题主要考查了正方形,矩形的性质,全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点,通过构建全
等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键(
9((10分)(2010•河南)如图,直线y=kx+b与反比例函数(x,0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点(1
(1)求k、k的值( 12
(2)直接写出时x的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC?OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE?OD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由(
考点: 反比例函数综合题;一次函数的性质;反比例函数系数k的几何意义。 专题: 综合题。
分析: (1)先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式,再把点B代入反比例函数解析式求得a的值,再
把点A,B代入一次函数解析式利用待定系数法求得k的值( 1
(2)当y,y时,直线在双曲线上方,即x的范围是在A,B之间,故可直接写出范围( 12
(3)设点P的坐标为(m,n),易得C(m,3),CE=3,BC=m,2,OD=m+2,利用梯形的面积是12列
方程,可求得m的值,从而求得点P的坐标,根据线段的长度关系可知PC=PE( 解答: 解:(1)由题意知k=1×6=6 2
?反比例函数的解析式为y=(x,0)
?x,0,
?反比例函数的图象只在第一象限,
又?B(a,3)在y=的图象上,
?a=2,
?B(2,3)
?直线y=kx+b过A(1,6),B(2,3)两点 1
?
?
故k的值为,3,k的值为6; 12
(2)由(1)得出,3x+9,,0,
即直线的函数值大于反比例函数值,
由图象可知,此时1,x,2,
则x的取值范围为1,x,2;
(3)当S=12时,PC=PE( 梯形OBCD
设点P的坐标为(m,n),过B作BF?x轴,
?BC?OD,CE?OD,BO=CD,B(2,3),
?C(m,3),CE=3,BC=m,2,OD=OE+ED=OE+BF=m+2
?S=,即12= 梯形OBCD
?m=4,又mn=6
?n=,即PE=CE
?PC=PE(
点评: 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质,此题难度稍大,综合性比较强,注意反比例函数上的点的
特点和利用待定系数法求函数解析式的方法(要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度,从
而确定关键点的坐标是解题的关键(
10((10分)(2007•福州)如图,已知直线y=x与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4(
(1)求k的值;
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求?AOC的面积; (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标(
考点: 反比例函数综合题。
专题: 综合题;压轴题。
分析: (1)先根据直线的解析式求出A点的坐标,然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值;
(2)由(1)得出的双曲线的解析式,可求出C点的坐标,由于?AOC的面积无法直接求出,因此可通过
作辅助线,通过其他图形面积的和差关系来求得((解法不唯一);
(3)由于双曲线是关于原点的中心对称图形,因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形,那
么?POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6(可根据双曲线的解析式设出P点的坐标,然后参照
(2)的三角形面积的求法
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示出?POA的面积,由于?POA的面积为6,由此可得出关于P点横坐标的方
程,即可求出P点的坐标(
解答: 解:(1)?点A横坐标为4,
把x=4代入y=x中
得y=2,
?A(4,2),
?点A是直线y=x与双曲线(k,0)的交点, ?k=4×2=8;
(2)解法一:如图,
?点C在双曲线上,
当y=8时,x=1,
?点C的坐标为(1,8)(
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON(
?S=32,S=4,S=9,S=4( 矩形ONDM?ONC?CDA?OAM?S=S,S,S,S=32,4,9,4=15; 矩形?AOCONDM?ONC?CDA?OAM
解法二:如图,
过点C、A分别做x轴的垂线,垂足为E、F, ?点C在双曲线上,
当y=8时,x=1,
?点C的坐标为(1,8)(
?点C、A都在双曲线上,
?S=S=4, ?COE?AOF
?S+S=S+S( 梯形?COECEFA?COA?AOF
?S=S( 梯形?COACEFA
?S=×(2+8)×3=15, 梯形CEFA
?S=15; ?COA
(3)?反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形, ?OP=OQ,OA=OB,
?四边形APBQ是平行四边形,
?S=S=×24=6, 平行四边形?POAAPBQ×
设点P的横坐标为m(m,0且m?4), 得P(m,),
过点P、A分别做x轴的垂线,垂足为E、F, ?点P、A在双曲线上,
?S=S=4, ?POE?AOF
若0,m,4,如图,
?S+S=S+S, 梯形?POEPEFA?POA?AOF
?S=S=6( 梯形PEFA?POA
?(2+)•(4,m)=6( ?m=2,m=,8(舍去), 12
?P(2,4);
若m,4,如图,
?S+S=S+S, 梯形?AOFAFEP?AOP?POE?S=S=6( 梯形PEFA?POA
?(2+)•(m,4)=6, 解得m=8,m=,2(舍去), 12
?P(8,1)(
?点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)(
点评: 本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题
的能力(难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解(