第09章 向量自回归模型
第九章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结构化的多方程模型。
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
9.1 向量自回归理论
VAR(p) 模型的数学
表
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达式是
(9.1.1)
其中:yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为T 。k??k维矩阵A1，„，Ap和k??d维矩阵B是要被估计的系数矩阵。??t是k维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设 ?? 是??t的协方差矩阵，是一个(k??k)的正定矩阵。式(9.1.1)可以用矩阵表示为
9.1.1 VAR模型的一般表示
(9.1.2)
即含有k个时间序列变量的VAR(p) 模型由k个方程组成。例如:作为VAR的一个例子，假设工业产量(IP)和货币供应量(M1)联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是:
其中， 是要被估计的参数。也可表示成:
还可以将式(9.1.2)做简单变换，表示为
(9.1.3)
其中 是yt关于外生变量Xt回归的残差。式(9.1.3)可以简写为
(9.1.4)
其中 ，是滞后算子L的k??k的参数矩阵。一般称式(9.1.4)为非限制性向量自回归模型(unrestricted VAR)。冲击向量??t是白噪声向量，因为??t没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变量的非限制向量自回归模型，用下式表示
或
(9.1.5)
如果行列式det[A(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA(?))形式
(9.1.6)
其中
对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对?? 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得?? 矩阵的估计量为
(9.1.7)
其中: 。当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)7>
标准
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差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在log(GDPTC_P)的方程中RR(-1)的系数是??0.003521。
同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部:
输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。
输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。残差的协方差的行列式值由下式得出:
其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数， 是k维残差列向量。通过假定服从多元正态(高斯)分布计算对数似然值:
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型
为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响、短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度,2004年4季度的季度数据，利用VAR(3)模型对实际GDP[GDP季值除以居民消费价格指数(1990年为100)]、实际M1和实际利率RR (一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动率) 3个变量之间的关系进行了实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数，由于方程右边的变量是相同的，所以OLS估计模型是有效的，其结果如下:
尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为3。3个方程调整的拟合优度分别
为: 。无论如何，我们可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。
同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用e i表示第i个方程的残差，i =1，2，3。其结果如表9.1所示。
表9.1 残差的同期相关矩阵
从表中可以看到实际GDP方程和实际利率、实际M1方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际GDP和实际货币供给量(M1)、实际利率之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。
9.1.2 结构VAR模型(SVAR)
在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并没有给出变
量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。模型中的误差项??t是不可观测的，可以被看作是不可解释的随机扰动。本节要介绍的结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。
1(两变量的SVAR模型
为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式
(9.1.8)
在模型(9.1.8)中假设:
(1)变量过程xt和zt均是平稳随机过程;
(2)随机误差uxt和uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设方
差 ;
(3)随机误差uxt 和uzt 之间不相关， 。
式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1))。
它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数 b12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用，??21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。虽然uxt 和uzt 是单纯出现在xt和zt中的随机冲击，但如果b21 ?? 0，则作用在xt上的随机冲击uxt 通过对xt的影响，能够即时传到变量zt上，这是一种间接的即时影响;同样，如果b12 ?? 0，则作用在zt上的随机冲击uzt 也可以对xt产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。
为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式
该模型可以简单地表示为
(9.1.9)
假设B0可逆，可导出简化式方程为
其中
(9.1.10)
从而可以看到，简化式扰动项??t是结构式扰动项ut的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为uxt 和uzt是不相关的白噪声序列，则可以断定上述??1t和 ??2 t 也是白噪声序列，并且均值和方差为
同期的??1t和 ??2 t之间的协方差为
从式(9.1.11)可以看出当b12 ? 0或b21 ? 0时，VAR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例9.1中的表9.1所显示的情况。当b12 = b21 = 0时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0，相当于对B0矩阵施加约束。
(9.1.11)
2(多变量的SVAR模型
下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为
(9.1.13)
其中:
可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式
(9.1.14)
其中: ，B(L)是滞后算子L的 k??k 的参数矩阵，B0 ?? Ik。需要注意的是，本
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讨论的SVAR模型，B0 矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果B0 是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。
不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击) ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式B(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA(?)形式
其中:
(9.1.15)
式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。而且外生变量的结构冲击ut 是不可直接观测得到，需要通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击ut 。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到
(9.1.16)
上式对于任意的 t 都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于<#00aa00'>view)来编辑这些值。
一旦创建了矩阵，从VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate
Structural Factorization，在下图所示的SVAR Options的对话框中，击中Matrix按钮和Short-Run Pattern按钮，并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。
2. 用文本形式表示的短期约束
对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系:Aet = But ，并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。
例如:像上例所假定的一样，对于有3个变量的VAR模型，约束A矩阵为主对角线是1的下三角矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet = But
的关系式可以写为下面的形式。
为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择Procs/Estimate Structure Factorization„，并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程:
特殊的关键符“@e1”， “@e2”， “@e3”分别代表et向量中的第一、第二、第三个元素，而“@ u1”， “@ u2”， “@ u3”分别代表ut 向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量
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，在?? 矩阵中非约束的元素应定义为缺省值NA。
例如: 对于一个两变量的VAR模型，若约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0，即??21= 0，则长期响应矩阵可定义为下面的形式:
一旦建立了模板矩阵，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate
Structural Factorization„，在SVAR Option对话框中，选择Matrix和Long-run Pattern按钮，并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字。
? 用文本形式表示的长期约束
为了以文本形式指定相同的长期约束，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate Structural Factorization„，并击活Text按钮，在编辑框中键入下面的形式:
@ lr2(@u1)=0 ˊzero LR response of 2nd variable to 1st
shock
在撇号后面的内容是注释。这个约束以特殊的关键字“@1r #”开始，数字代表受约束的响应变量;在圆括号内，必须指定脉冲关键字@ u和扰动项序号，在其后紧跟等号和响应值(通常是0)。需注意:当需列出多个长期约束时，不要混淆短期与长期约束。
4. A、B矩阵的估计
一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束，单击SVAR Options对话框的OK按钮，就可以估计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。
B 假定扰动项是多元正态的，EViews使用极大似然估计法估计A、矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。
?最优化控制(Optimization Control)
最优化过程控制的选项在SVAR Options对话框的Optimization Control栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。
? 估计的输出
一旦估计收敛，EViews会在VAR对象窗口中显示估计的结果，包括:估计值、标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆(Hessian的负的期望值)所估计的标准误差在最后的估计中计算。
例9.2 基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析
例9.1使用了VAR模型验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先建立3变量的SVAR(3)模型，其结果如下:
(9.2.13)
其中变量和参数矩阵为
其中u1t 、u2t 和 u3t 分别表示作用在实际利率RR、ln(M1)和ln(GDP)上的结构式冲击，即结构式扰动项，ut ~VWN(0k，Ik)。如果B0是可逆的，可将结构式方程转化为简化式方程:
其中:
一般而言，简化式扰动项 ??t 是结构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。
模型中有3个内生变量，因此需要施加k(k -1)/2=3个约束才能使得模型(9.2.13)满足可识别条件:
实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即b12=0
(2) 实际利率对当期GDP的变化没有反应，即b13=0;
(3)实际GDP对实际利率的当期变化没有反应，即b31=0。
其在Eviews中的实现过程如下:
在模型(9.2.13)满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法(FIML)估计得到SVAR模型的所有未知参数，从而可得矩阵B0 及??t 和 ut的线性组合的估计结果如下。
或者可以表示为
??1t = u1t
??2t = -2.14????1t+161.08 ?? ??3t+ u2t
??3t = 172.0?? ??2t+ u3t
在本章后面的部分可以通过SVAR模型利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。
无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型(VEC)也适用。
9.3.1 Granger因果检验
VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969) 提出，Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。
9.3 VAR模型的检验
1. Granger因果关系的定义
Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由x Granger引起的”。
考虑对yt进行s期预测的均方误差(MSE):
(9.3.1)
这样可以更正式地用如下的数学语言来描述Granger因果的定义:如果关于所有的s > 0，基于(yt，yt-1，„)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，„)和(xt，xt-1，„)两者得到的yt+s的均方误差相同，则y不是由x Granger引起的。对于线性函数，若有
可以得出结论:x不能Granger引起y。等价的，如果(9.3.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。
(9.3.2)
可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从(t ??1)至(t ??p)期的所有信息，得到yt的最优预测如下:
(9.3.3)
VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件:在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是
(9.3.4)
其中 是 的第i行第j列的元素。
2. Granger因果关系检验
Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。
在一个二元p阶的VAR模型中
(9.3.5)
当且仅当系数矩阵中的系数 全部为0时，变量x不能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。
这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验:
至少存在一个q使得
其统计量为
(9.3.6)
如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设;否则接受原假设:x不能Granger引起y。
其中:RSS1是式(9.3.5)中y方程的残差平方和:
(9.3.7)
RSS0是不含x的滞后变量， 即如下方程的残差平方和:
(9.3.8)
则有
(9.3.9)
在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(9.3.6)具有精确的F分布。如果回归模型形式是如式(9.3.5)的VAR模型，一个渐近等价检验可由下式给出:
(9.3.10)
注意，S2服从自由度为p的??2分布。如果S2大于??2 的临界值，则拒绝原假设;否则接受原假设:x不能Granger引起y。
而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度p的选择有关，并对处理序列非平稳性的方法选择结果极其敏感。
在Eviews软件关于VAR模型的各种检验
一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图。将主要介绍<#00aa00'>View/Lag Structure和<#00aa00'>View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。
1(VAR模型滞后结构的检验
(1) AR根的图表
如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1，即位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的(如脉冲响应函数的标准误差)。共有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。如果估计一
个有r个协整关系的VEC模型，则应有k ?? r个根等于1。
对于例9.1，可以得到如下的结果:
有2个单位根的模大于1，因此例9.1的模型不满足稳定性条件，而且在输出结果的下方会给出警告(warning)。
下面给出单位根的图形表示的结果:
(2) Granger 因果检验
选择<#00aa00'>View/Lag Structure/ Pairwise Granger Causality
Tests，即可进行Granger因果检验。输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的??2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的??2统计量数值。对例9.1进行检验，其结果如下:
另外:同时在组(Group)的<#00aa00'>View菜单里也可以实现Granger 因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果:
为了使两个结果具有可比性，选择了相同的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在VAR中用的是 ??2 统计量，而在Group中使用的是F统计量。但是含义是一样的。
需要注意:如果估计一个VEC模型，Granger因果检验仅检验其一阶差分，不检验误差修正项。
例9.3 Granger因果检验
早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是:如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么
货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。
根据实际情况，利用例9.1的数据，基于VAR(3) 模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表9.2所示。
从表9.2的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1、实际GDP，其P值分别达到0.4099和0.5524，可以作为外生变量，这与我国实行固定利率制度是相吻合的，即利率不是通过市场来调节的。
同时在第三个方程(即GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为0.4428，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出得影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵消和中和，因此M1对GDP没有显著的影响。
VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。
9.3.2 滞后阶数p的确定
1. 确定滞后阶数的LR(似然比)检验
(9.3.11)
LR (Likelihood Ratio) 检验方法，从最大的滞后数开始，检验原假设:在滞后数为j时，系数矩阵Aj的元素均为0;备择假设为:系数矩阵
Aj中至少有一个元素显著不为0。??2 (Wald)统计量如下:
其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数:m =d+ kj，d是外生变量的个数，k是内生变量个数， 和 分别表示滞后阶数为(j – 1)和 j 的VAR模型的残差协方差矩阵的估计。
从最大滞后数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值，如果LR ??
时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值;否则，接收原假设。每次减少一个滞后数，直到拒绝原假设。
2(AIC信息准则和SC准则
实际研究中，大家比较常用的方法还有AIC信息准则和SC信息准则，其计算方法可由下式给出:
其中在VAR模型(9.1.1)中n = k(d + pk)是被估计的参数的总数，k是内生变量个数，T是样本长度，d是外生变量的个数，p是滞后阶数，l是由下式确定的
(9.3.12)
(9.3.13)
(9.3.14)
在Eviews软件中滞后阶数p的确定
一旦完成VAR模型的估计，在窗口中选择<#00aa00'>View/Lag
Structure/Lag Length Criteria，需要指定较大的之后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准(如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始)。表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在4,7列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。
为了确定例9.1中模型的合适滞后长度p，首先选择尽可能大的滞后阶数8，得到如下的结果:
在Eviews软件中关于残差的各种检验
(1)相关图(Correlogram)
显示VAR模型在指定的滞后数的条件下得到的残差的交叉相关图(样本自相关)。交叉相关图能以3种形式显示:有两种表格形式，一种是以变量来显示(Tabulate by Variable)，另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图(Graph)显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图 。
(2)混合的自相关检验
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-Box Q统计量。
同时计算出Q统计量和调整后的Q统计量(即:小样本修正)。在原假设是滞后h期残差不存在序列相关的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为k2 (h ?? p)的??2 统计量，其中p为VAR模型的滞后阶数。
(3)自相关LM检验
计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h阶数的检验统计量是通过残差??t 关于原始右侧回归量和滞后残差 ??t-h的辅助回归运算得到的，这里??t-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen (1995)LM统计量的
计算公式
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。在原假设是滞后h期没有序列相关的条件下，LM统计量渐近地服从自由度为k2的??2 分布。
(4) 正态性检验
这是J-B残差正态检验在多变量情形下的扩展，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩。
(5)White异方差检验
这个回归检验是通过残差序列对每一个回归量及回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性。
在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分
析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulse response function，IRF)。
9.4 脉冲响应函数
用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。下面先根据两变量的VAR (2) 模型来说明脉冲响应函数的基本思想。
9.4.1 脉冲响应函数的基本思想
(9.4.1)
其中，ai，bi，ci，di是参数， 是扰动项，假定是具有下面这样性质的白噪声向量:
(9.4.2)
假定上述系统从,期开始活动，且设x-1 = x-2 = z-1 = z-2= 0，又设于第,期给定了扰动项??10 =1，??20 =0，并且其后均为,，即 ??1t =??2t =0(t ,,，,，„)，称此为第,期给x以脉冲，下面讨论xt 与zt 的响应，t = 0时:
将其结果代入式(9.4.1) ，当t = 1时
再把此结果代入式(9.4.1) ，当t =2时
继续这样计算下去，设求得结果为
称为由x的脉冲引起的x的响应函数。同样所求得
称为由x的脉冲引起的z的响应函数。
当然，第,期的脉冲反过来，从??10 =0，??20 =1出发，可以求出由z的脉冲引起的x的响应函数和z的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的效果，所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。
将上述讨论推广到多变量的VAR(p)模型上去，由式(9.1.5)可得 9.4.2 VAR模型的脉冲响应函数
(9.4.3)
VMA(?)表达式的系数可按下面的方式给出，由于VAR的系数矩阵
A和VMA的系数矩阵View/Impulse Response„或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单:Display 和 Impulse Definition。
1. Display菜单提供下列选项:
(1) 显示形式(Display Format)
选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意:输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。
(2) 显示信息(Display Information)
输入产生冲击的变量(Impulses)和希望观察其脉冲响应的变量(Responses)。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。例如，如果VAR模型以GDP、M1、CPI的形式定义，则既可以以:
GDP CPI M1
的形式输入，也可以以
1 3 2
的形式输入。输入变量的顺序仅仅影响结果的显示。
还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数。如果想显示累计的响应，则需要单击Accumulate Response选项。对于稳定的VAR模型，脉冲响应函数应趋向于0，且累计响应应趋向于某些非0常数。
(3) 脉冲响应标准差(Response Standard Error)
提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或Monte Carlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型(VEC)一般不一定有效。若选择了Monte Carlo，还需在下面的编辑框确定合适的迭代次数。
如果选择表的格式，被估计的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示。如果选择以多图来显示结果，曲线图将包括关于脉冲相应的正负(+/-)两个标准偏离带。在Combined Graphs中将不显示标准误差偏离带。
2. Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项:
(1) Residual-One Unit
设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了VAR
模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA(?)模型的系数。
(2) Residual-One Std.Dev
设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的相关性。
(3) Cholesky
用残差协方差矩阵的Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次出现的变量上。注意:如果改变变量的次序，将会明显地改变响应结果。可以在Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义VAR模型中变量的次序。
(5) 结构分解(Structural Decomposition)
用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。如果没有先估计一个结构因子分解矩阵，或者没有对模型施加约束，这个选项不能用。
(4) 广义脉冲(Gneralized Impluses)
描述Pesaran和Shin(1998)构建的不依赖于VAR模型中变量次序的正交的残差矩阵。应用按上面的Cholesky顺序计算的第j个变量的Cholesky因子得到第j个变量的扰动项的广义脉冲响应。
(6) 用户指定(User Specified)
这个选项允许用户定义脉冲。建立一个包含脉冲的矩阵(或向量)，并在编辑框中输入矩阵的名字。如果VAR模型中有k个内生变量，则脉冲矩阵必须是k行和1列或k列的矩阵，每一列代表一个脉冲向量。
例如:一个有k(= 3)个变量的VAR模型，希望同步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击，给第二个变量一个负的一个单位的冲击，可以建立一个3??1的脉冲矩阵SHOCK，其值分别为:1，??1，0。在编辑框中键入矩阵的名字:SHOCK。
本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量，利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。
分别用y1 表示钢材销售收入;y2表示建材销售收入
y3表示汽车销售收入; y4表示机械销售收入;y5表示家电销售收入。样本区间为1999年1月,2002年12月，所采用数据均作了季节调整，并进行了协整检验，存在协整关系，这表明，所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。
例9.4 钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应
本例建立5变量的VAR(3)模型，下面分别给各下游行业销售收入一个冲击(选择广义脉冲) ，得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图。在下列各图中，横轴表示冲击作用的滞后期间数(单位:月度)，纵轴表示钢材销售收入(亿元)，实线表示脉冲响应函数，代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应，虚线表示正负两倍标准差偏离带 。
y1:钢材; y2:建材; y3:汽车; y4:机械; y5:家电
从第一个图中可以看出，当在本期给建材行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前4期内小幅上下波动之后在第6期达到最高点( =12.03，即在第6期y1对y2的响应是12.03) ;从第9期以后开始稳定增长。这表明建材行业受外部条件的某一冲击后，经市场传递给钢铁行业，给钢铁行业带来同向的冲击，而且这一冲击具有显著的促进作用和较长的持续效应。
从第二幅图中可以看出，当在本期给汽车行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前5期内会上下波动;从第5期以后开始稳定增长( =1.76)。这表明汽车行业的某一冲击也会给钢铁行业带来同向的冲击，即汽车行业销售收入增加会在5个月后对钢材的销售收入产生稳定的拉动作用。
从第三幅图中可以看出，机械行业销售收入的正冲击经市场传递也会给
钢材销售收入带来正面的影响，并且此影响具有较长的持续效应。从第四幅图中可以看出当在本期给家电行业销售收入一个正冲击后，也会给钢材销售收入带来正面的冲击，但是冲击幅度不是很大。
综上所述，由于市场化程度、政府保护政策等各方面的原因，使得各下游相关行业的外部冲击会通过市场给钢铁行业带来不同程度的影响，但是都是同向的影响。政府可以利用这种现象，对市场进行有区别、有重点的调整，减少盲目的重复建设项目。
为了解决VAR模型脉冲响应函数非正交化的问题，由Cholesky分解可将正定的协方差矩阵 ??分解为
其中G是下三角形矩阵，Q惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵。利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut ，构造方法为 ut =G??1??t，则??t=Gut，因此VMA(?)可以表示为
9.4.3 SVAR模型的脉冲响应函数
(9.4.12)
则由式(9.4.10)和式(9.4.11)可导出一个正交的脉冲响应函数
(9.4.13)
上式表示Dq的第i行、第j列元素 (q = 0，1，„)，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的情况下yi,t+q对yjt的一个结构冲击的反应。
同样由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为
不失一般性，对于一个n元的SVAR(p)模型，由式(9.1.15)可得SVAR模型的脉冲响应函数为
(9.4.14)
对于AB-型的SVAR模型，由式(9.1.15)和式(9.2.18)可求得
(9.4.15)
它的脉冲响应函数为
(9.4.16)
则其累积脉冲响应函数矩阵(??)可表示为
(9.4.17)
则 ?? 的第i行第j列元素表示第i个变量对第j个变量的结构冲击的累积响应。
9.2节所介绍的短期约束和长期约束体现在脉冲响应函数上，表现为:短期约束意味着脉冲响应函数随着时间的变化将会消失，而长期约束则意味着对响应变量未来的值有一个长期的影响。因此，根据式(9.4.17)可知长期可识别约束依矩阵?? 的形式指定，典型的是0约束形式，
的约束表示第i个变量对第j个变量的结构冲击的长期(累积)响应为0。从脉冲响应函数的角度出发，前面所介绍的SAVR模型的长期约束的经济含义就非常明显了。
例9.5 产出对货币供应量和利率变化的响应函数
脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响。而方差分解(variance decomposition)是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化(通常用方差来度量)的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性。因此，方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。其基本思想如下所述。
9.5 方差分解
脉冲响应函数是随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的，然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此，Sims于1980年依据VMA(?)表示，提出了方差分解方法，定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下:根据式(9.4.8)
可知各个括号中的内容是第j个扰动项??j从无限过去到现在时点对yi影响的总和。求其方差，假定??j无序列相关，则
(9.5.1)
这是把第j个扰动项对第i个变量从无限过去到现在时点的影响，用方差加以评价的结果。此处还假定扰动项向量的协方差矩阵 ?? 是对角矩阵，则yi的方差是上述方差的k项简单和:
(9.5.2)
(9.5.3)
yi的方差可以分解成k种不相关的影响，因此为了测定各个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献，定义了如下尺度:
(9.5.4)
即相对方差贡献率(relative variance contribution，RVC)是根据第j个变量基于冲击的方差对yi的方差的相对贡献度来观测第j个变量对第i个变量的影响。
实际上，不可能用直到s = ?的项和来评价。如果模型满足平稳性条件，则随着q的增大呈几何级数性的衰减，所以只需取有限的s项。VAR(p)模型的前s期的预测误差是
可得近似的相对方差贡献率(RVC):
(9.5.5)
其中RVCj??i (s)具有如下的性质:
1.
2.
如果RVCj??i (s)大时，意味着第j个变量对第i个变量的影响大，相反地，RVCj??i (s)小时，可以认为第j个变量对第i个变量的影响小。
(9.5.6)
(9.5.7)
方差分解在Eviews软件中的实现
为了得到VAR的方差分解，从VAR的工具栏中选<#00aa00'>View/Variance decomposition项。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。
与脉冲响应函数一样，如果改变VAR模型中变量的顺序，基于Cholesky 因子的方差分解能有明显的改变。例如，排在第一个变量的第一期分解完全依赖于它自己的扰动项。
只有像在SVAR模型中那样估计一个结构因子分解矩阵时，基于结构正交化的因子分解才是有效的。注意:如果SVAR模型是恰好可识别的，那么预测的标准误差将等同于Cholesky因子分解的标准误差。对于过度识别的SVAR模型，为了保持更有效的性质，所预测的标准误差可能不同于Cholesky因子分解的标准误差。
例9.4分析了钢铁销售收入对下游相关行业冲击变化的响应。本例中将利用方差分析的基本思想分析各下游行业对钢铁行业变动的贡献程度。数据的处理和例9.4一样，可得到如下的结果，各图中横轴表示滞后期间数(单位:月度)，纵轴表示该行业需求对钢材需求的贡献率(单位:百分数)。数值越大，对钢材需求的影响越大。
例9.6 下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度
y1:钢材; y2:建材; y3:汽车; y4:机械; y5:家电
从上面4个图中可以看出，不考虑钢铁行业自身的贡献率，建材行业对钢铁行业的贡献率最大达到48.9%(RVC2??1 (36) = 48.9%)，其次是汽车行业，
其对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的，在第34期达到20%左右 (RVC3??1 (34) =20.03%)，机械行业和家电行业的贡献率较小，分别为8%和6%左右。
第5章5.4节介绍的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言，本节将推广到VAR模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称为JJ(Johansen-Juselius)检验。
虽然ADF检验比较容易实现，但其检验方式存在一定欠缺性——在第一阶段需要设计线性模型进行OLS估计，应用不方便。Johansen在1988年及在1990年与Juselius一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。
9.6 Johansen协整检验
下面将对于k个时间序列
(t = 1，2，„，T )，讨论这k个经济指标之间是否具有协整关系。对于k维向量yt最多可能存在k- 1个线性无关的协整向量，为讨论方便，先考虑最简单的二维情形，不妨记(t = 1，2，„，T )，其中y1t，y2t都是I (1) 时间序列。若存在View/Cointegration Test„ 即可。协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验。EViews软件中协整检验实现的理论基础是Johansen (1991, 1995a)协整理论。在Cointegration Test Specification的对话框(下图)中将提供关于检验的详细信息:
协整检验设定对话框
1. 协整检验的设定
(1) 确定性趋势的说明
序列也许会有非零均值，或与随机趋势一样有确定趋势。类似地，协整方程也可能会有截距和确定趋势，关于协整的LR检验统计量的渐近分布不再是通常的??2 分布，它的分布依赖于与确定趋势有关的假设。因此，为了完成这个检验，需要提供关于基本数据的趋势假设。
EViews在Deterministic Trend assumption of test对话框中，对9.6.3节讨论的5种可能形式提供了检验。
如果不能确定用哪一个趋势假设，可以选择Summary of all 5 trend
assumption(第6个选择)帮助确定趋势假设的选择。这个选项在5种趋势假设的每一个下面都标明协整关系的个数，可以看到趋势假设检验结果的敏感性。
(2) 外生变量
对话框还允许指定包含于VAR模型中的附加的外生变量Xt 。常数和线性趋势不应被列在该编辑框中，因为它们在5个Trend Specification选项中得到了指定。假如确实包含外生变量，应当意识到EViews算出的临界值并没有考虑这些变量。
(3) 滞后区间
应当用一对数字确定协整检验的滞后区间。需要注意的是:滞后设
定是指在辅助回归中的一阶差分的滞后项，不是指原序列。例如，如果在编辑栏中键入“1 2”，协整检验用??yt 对??yt-1，??yt-2和其他指定的外生变量作回归，此时与原序列yt 有关的最大的滞后阶数是3。对于一个滞后阶数为1的协整检验，在编辑框中应键入“0 0”。
2(协整检验结果的解释
(1) 协整关系的数量
输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检验统计量的形式显示:第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表格中;第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。对于每一个检验结果，第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数;第二列是式(9.6.2)中 ?? 矩阵按由大到小排序的特征值;第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量;第四列是在5%显著性水平下的临界值;最后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis (1999)
提出的临界值所得到的P值。
1的检验， 为了确定协整关系的数量，依次进行从r = 0到r = k-直到被拒绝。这个序贯检验的结果在每一个表的最下方显示。作为一个例子，例9.7协整检验的输出结果如下，其中检验假设序列yt有确定性线性趋势，但协整方程只有截距(对话框中第三种情况)，并用差分的3阶滞后，在编辑框中键入:“1 3”。
(2) 协整关系
输出的第二部分给出协整关系 ?? 和调整参数 ?? 的估计。如果不强加一些任意的正规化条件，协整向量 ?? 是不可识别的。在第一块中报告了基于正规化
(其中S11在Johansen(1995a)中作出了定义)的 ?? 和 ?? 的估计结果。注意:在Unrestricted Cointegrating Coefficients下 ?? 的输出结果:第一行是第一个协整向量，第二行是第二个协整向量，以此类推。
其余的部分是在每一个可能的协整关系数下(r = 0，1，„，k -1)正规化后的估计输出结果。一个可选择的正规化方法是:在系统中，前r个变量作为其余k ?? r个变量的函数。近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出。
在例9.4的VAR(3)模型中曾提到在 yt = (y1t ，y2t ，y3t ，y4t ，y5t)这5个变量之间存在协整关系，下面给出协整检验的结果:
例9.7 协整检验
上述结果是在选择第三种协整方程的基础上得到的，表明这5个变量之间存在协整关系，但同时也要注意到:迹检验和最大特征根检验存在冲突，前者认为有2个协整向量，后者检验结果为仅有1个协整向量。
这可能是由于协整方程的定义而导致的。当然也可以选择其他形式的协整方程进行检验，其结果都表明存在协整关系。由于前面建立的模型主要是VAR模型，不涉及协整向量的选择，所以只需证明存在协整关系即可。
如果取r =2，仍然选择第三种协整方程的形式，利用极大似然估计
?? 和?? 矩阵的估计量: 的方法，可得到如下的无约束的
但是正如前面讨论的那样，这些估计是不惟一的，从而提出了我们如何解释他们的问题。这将涉及到向量误差修正模型的识别问题
Engle和Granger将协整与误差修正模型结合起来，建立了向量误差修正模型。在第5章已经证明只要变量之间存在协整关系，可以由自回归分布滞后模型导出误差修正模型。而在VAR模型中的每个方程都是一个自回归分布滞后模型，因此，可以认为VEC模型是含有协整约束的VAR模型，多应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模。
9.7 向量误差修正模型(VEC)
其中每个方程的误差项 ??i (i =1，2，„，k) 都具有平稳性。一个协整体系由多种表示形式，用误差修正模型表示是当前处理这种问题的普遍方法，即:
(9.7.1)
如果式(9.6.1)的yt 所包含的k个I (1)过程存在协整关系，则不包含外生变量的式(9.6.5)可写为
(9.7.2)
其中的每一个方程都是一个误差修正模型。ecmt-1 = ???? yt-1是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系数向量?? 反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度。所有作为解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响，我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。
考虑一个两变量(y1，y2)的包含误差修正项、但没有滞后差分项的VEC模型。误差修正项是:
(9.7.3)
则VEC模型为
(9.7.4)
其中: ，写成单方程形式为
(9.7.5)
(9.7.6)
其中，系数??1，??2 代表调整速度。在这个简单的模型中，等式右端惟一的变量是误差修正项。在长期均衡中，这一项为0。然而，如果y1，y2 在上一期偏离了长期均衡，则误差修正项非零，??1和??2会将其向均衡状态调整。
由于序列y1t，y2t的不同特征，模型可以指定成不同的形式:
? 如果两个内生变量y1和y2不含趋势项，并且协整方程有截距??，则VEC模型有如下形式
? 假设在序列中有线性趋势??，则VEC模型有如下形式
? 类似地，协整方程中可能有趋势项?? t，其形式为
? 如果序列中存在着隐含的二次趋势项?? t，等价于VEC模型的括号外也存在线性趋势项，其形式为
上述仅讨论了简单的VEC模型，与VAR类似，我们可以构造结构VEC模型，同样也可以考虑VEC模型的Granger因果检验、脉冲响应函数和方差分解。关于VAR模型和VEC模型更多的讨论，可参考Davidson和Mackinnon(1993)及汉密尔顿(1999)的详细讨论。
VEC模型在Eviews软件中的实现
1. 如何估计VEC模型
由于VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列，所以应先运行Johansen协整检验，并确定协整关系数。需要提供协整信息作为VEC对象定义的一部分。
如果要建立一个VEC模型，在VAR对象设定框中，从VAR Type中选择Vector Error Correction项。在VAR Specification栏中，除了特殊情况外，应该提供与无约束的VAR模型相同的信息:
? 常数或线性趋势项不应包括在Exogenous Series的编辑框中。对于VEC模型的常数和趋势说明应定义在Cointegration栏中。
? 在VEC模型中滞后间隔的说明指一阶差分的滞后。例如，滞后说明“1 1”将包括VEC模型右侧的变量的一阶差分项的滞后，即VEC模型是两阶滞后约束的VAR模型 。为了估计没有一阶差分项的VEC模型，指定滞后的形式为:“0 0”。
? 对VEC模型常数和趋势的说明在Cointegration栏(下图)。必须从5个趋势假设说明中选择一个，也必须在适当的编辑框中填入协整关系的个数，应该是一个小于VEC模型中内生变量个数的正数。
? 如果想强加约束于协整关系或(和)调整参数，用Restrictions栏(下图)。注意:如果没在VAR Specification栏中单击Vector Error Correction项，这一栏将是灰色的。
上述约束的含义是:在有两个协整方程的情况，约束第三个变量外生于协整方程，两个协整方程第一个变量的系数均为1。
一旦填完这个对话框，单击OK按纽即可估计VEC模型。VEC模型的估计分两步完成:在第一步，从Johansen所用的协整检验估计协整关系;第二步，用所估计的协整关系构造误差修正项，并估计包括误差修正项作为回归量的一阶差分形式的VAR模型。
VEC模型估计的输出包括两部分。第一部分显示了第一步从Johansen过程所得到的结果。如果不强加约束，EViews将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的正规化方法。系统默认的正规化表述为:将VEC模型中前r个变量作为剩余k ?? r个变量的函数，其中r表示协整关系数，k是VEC模型中内生变量的个数。
第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以CointEq1，CointEq2，„„表示形式输出。输出形式与无约束的VAR输出形式相同，将不再赘述。
在VEC模型输出结果的底部，有系统的两个对数似然值。第一个值标有Log Likelihood(d.f.adjusted)，其计算用自由度修正的残差协方差矩阵，这是无约束的VAR模型的对数似然值。标有Log Likelihood的值是以没有修正自由度的残差协方差矩阵计算的。这个值与协整检验所输出的值是可比较的。
2. VEC系数的获得
对于VEC模型，系数的估计保存在三个不同的二维数组中:A，B和View/Representations 即可。
浙公网安备 33021202002483