1、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-?a??b?。
向量的数量积的坐标
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示:a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
a+b)•c=a•c+b•c(分配律); (
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a?b 〈=〉a•b=0。
|a•b|?|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即:(a•b)•c?a•(b•c);例如:(a•b)^2?a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即:由 a•b=a•c (a?0)，推不出 b=c。
3、|a•b|?|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
2、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是:?a×b?=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是:垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质:
?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式
1、??a?-?b????a+b???a?+?b?;
? 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
? 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、??a?-?b????a-b???a?+?b?。
? 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
? 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
4、定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 5、三点共线定理
B、C三点共线 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、
三角形重心判断式
在?ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为?ABC的重心 向量共线的重要条件
若b?0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a?b的充要条件是 a•b=0。
a?b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
浙公网安备 33021202002483