求二项展开式中系数（绝对值）最大项的简便公式法

求二项展开式中系数（绝对值）最大项的简便公式法求二项展开式中系数（绝对值）最大项的简便公式法求二项展开式中系数(绝对值)最大项的简便公式法 28数学教学研究第3O卷第3湖2ol1年3月求互项展开式中系数(绝对值)最大项的简便公式法 'll :t 李爱萍 (广东省四会市四会中学526200), 背景求二项式(2x--?1展开式中系 . . ;;,t \_, 数绝对值最大的项. 流行的解法是:没展开式中第r+1项的又素数毽.对值最大, T,+l一(一1)2"一Cr. oz.一 , 则满足 I2?一?cr0?2?cffr?詈, ...

求二项展开式中系数（绝对值）最大项的简便公式法求二项展开式中系数(绝对值)最大项的简便公式法 28数学教学研究第3O卷第3湖2ol1年3月求互项展开式中系数(绝对值)最大项的简便公式法 'll :t 李爱萍 (广东省四会市四会中学526200), 背景求二项式(2x--?1展开式中系 . . ;;,t \_, 数绝对值最大的项. 流行的解法是:没展开式中第r+1项的又素数毽.对值最大, T,+l一(一1)2"一Cr. oz.一 , 则满足 I2?一?cr0?2?cffr?詈, .j+. —r.cr.??2t—r.cir?, 鼹:3赦礞擞绝对值最大的项是 |l丁l每?l5360x. 上述解法中所列的不等式组为何是那样移显得有点费解且组合数不等式组不好解.衙}提出刎群的公式法. 1:哩论藩础吸公式的提出 -对爿般羔项式(6,+bx")或(+ 6D唆冀中jt;EQ.以?0)有3个重要结论或方法: ?郅j~l展开式中各项系数的绝对值构成先增后减的数列或递减数列(当系激绝对值最大在首项时),或递增数列(当系数绝对值最大在束项时) 2)由警(r?.)计算出系数绝对值递增时的,一范围,由,.> (rEN)计算出系数绝对值递减时的r范围, 则系数绝对值最大时对应的r值情况为: 当是正自然数时,,.值是或当不是自然数时';r值是 [卜., 下面给出证明:' {: 因为第,.+1项为丁r+号a;?? 或r+1"6c:,,以第r:Fl项与第,-项的系数绝对值之比为:一一 lnI…IbIIc:.. =『一PF, 一(r----1…2I-."l?r''', (i)令{:二?li;禧』,1日l.r,.. 一EN"测发现:l_, ?当是正自然数时,第ll,拿, 3,.--.,警车j项的系挈绝对傅构戡襻数列;, 当不是自然数时?第l,2, … , []十c取整攀,项的系数绝对值构成递增数歹IJ一. (|.)令孕:挈掣<1:得,.>』,I"l',. 一且rEN测发现:. 第fl十1,…川,+1项的系数绝对值构成递减数列. 说明当?N.-时,则第第3o卷第3期2O11年3月数学教学研究29 项与第十1_项的系数绝对值相等且最大. 3)至于若要找出系数(当系数有正有负时)最大的项,可分两步:第1步,先确定系数绝对值最大时的r值;第2步,冉计算+项的系数与前后两邻项丁,r+的系数,比较 , 下这三项系数就可确定目标项. 2方法及公式应用的具体操作举例例1求(3+?)展开式中系数最大的项. 解因为(,===3,6—4,"=3,所以当r?一时,即r==:1,2时, 第1.2.3项的系数逐渐递增; 当,一>一丁16时 ,即,-:==3时,第 3,4的系数逐渐递减. 1.2.:蔓).4.5 图? 逐渐递增逐渐递增因此系数最大的项是第3项,即一3x4C;,亨一144x一. 例2求(一)展开式中系数绝对值最大的项. 解因为口一1,6=一2,n=-8,所以 ?--6时r一,2,3, 4,5,6时,第1,2,3,4,5,6项的系数绝对值逐渐递增; 当r>=6时,即r=-7,8时, 第7,8,9项的系数绝对值逐渐递减. 其中第6,7项的系数绝对值最大且相争图示女口.'. 因此系数绝对值最大项是 T7—2一1792x_1, 和一(一2)Ci.T-萼一一1792一丁17. . 例3求(.r+?)展开式中系数最大的项. 解闪为"一1,b=4.n一3,所以当?一寸,UP,.:1.2,3时, 第1,2,3,4项的系数逐渐递增; 当,.>一?1 . 6n~,得r无解,即不存在系数递减情况. . 图种:. 因此系数最大的项是第4项,即 T4=4.C;=64x一. 例4求f4x--1展开式中系数绝对,V, 值最大的项. 解因为口一4,6:==一1,"一3,所以当r?一号时,得r无解,即不存在系数绝对值递增情况当r>一4时r一1,2,3 时,第1,2,3,4项的系数绝对值逐渐递减. 图示如:. 因此系数绝对值最大项是第1项,即 T1=4~COx3=643. 例5求f一1展开式中系数最大,./ 的项. 解因为a一1,6一--2,一8,所以当r?:==6时,UP一1,2'3, 4,5.6时,第1,2,3,4,5,6项的系数绝对值逐渐递增;. 当,.>_6时,UPr-7,8时, 第7,8,9项的系数绝l对值逐渐递减. 其中第6,7项的系数绝对值最大且相等. 数学教学研究第30卷第3期2011坪3月求立体几何最值问题的几种转化策略郭建华. (江苏教育学院附属高级中学210036) 体几何,是中学数学传统的主体内容之一庳体凡何的最值问题是当前高考命题的一个热点.它不仅能考察学生的空问想象能力,也能更好的体现学生的思维品质和潜能. 命题者特别关注空问几何中的最值与函数, 不等式,平面几何,j角函数等知识的联系, 渗透课程改革的新理念,借助数学思想方法求解.善于转化,沟通知识『口J的联系,达到事半功倍韵效果. 策略一:转化为求函数的最值--, 求解立体几何最值问题主要应用代数中的函数,三角不等式等有关知识求解蘸实现立体几何与代数知识的转化.解题的关键是恰当引入参变量(一元或二元),准确地建立借助于函数的思想和方法.:然后根目标函数, 据表达式的结构特征用代数知识求最值. 例l(2008年海南,宁夏卷)某几何体I 的一条棱长为?7.在该几何体的正视图中, 图示如'.一又因为 T6一(一1)j2Ci一一一1792x—, 厨理得 ==l79211, 经比较知系数最大的项是丁7一l792x. 6求f2,)lo展开式中系数最大的项. '解因为"2,6一一1,"一10,所以一了11时1'2'3 时,第】,2,3,4项的系数绝对值逐渐递增; 一当_一了il时,即,.一5,6, 7,8,9,10时,第4,5,6,7,8,9,10,11项的系数绝对值逐渐递减. 图:壶. 因此第4项的系数绝对值最大,经计算得了'4(一1).2C.Y."一一15360xY,, 及前后两邻项 lT3—1152O一, T5—13440x,,, 经比较知系数最大的项是 T5—13440x一一 3方法及公式赛施的两点建议,,; 用上面方法及公式求二项展开式中系数 (绝对值)最大的项,有两点建议: 1)要通透公式,-?,?r 的来龙去脉',从簪一 C,l 去理解''为什么当是 l1rlnITIDJ 正自然数时,第项与第 I?lTlDlI?lTI口I +i项的系数绝对值相等且最大"及,.的取值范围是{1,2,3,…,}".. 2)求出r的递增(减)范围后,,要尽量画出系数绝对值递增(减)的示意图,这更有助于从直观上判明系数绝对值最大的项柱哪若做到了一kilii~点建议韵求解将变得更加灵活,更加宽松自如.这就是"简便公式法"优于"传统列组合数不等式组法"之所在. (收稿日期:20i0一i2—23)

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