拓展题型二次函数综合题

拓展题型二次函数综合题拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题拓展二二次函数与三角形面积问题拓展三二次函数与特殊四边形判定问题拓展一二次函数与线段和差问题典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、B（1,0)，与y轴交于点C，直线y=x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线l.（1)求抛物线的解析式；【思维教练】已知直线y=x-2经过点A、C，结合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可；例1题图①∴抛物线解析式为y=-x2+x-2；...

拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题拓展二二次函数与三角形面积问题拓展三二次函数与特殊四边形判定问题拓展一二次函数与线段和差问题典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、B（1,0)，与y轴交于点C，直线y=x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线l.（1)求抛物线的解析式；【思维教练】已知直线y=x-2经过点A、C，结合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可；例1题图①∴抛物线解析式为y=-x2+x-2；解：对于直线y=x-2，令y=0,得x=4,令x=0，得y=-2，∴点A（4，0），点C（0，-2），将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入抛物线解析式，得解得16a+4b+c=0a+b+c=0c=-2，a=-b=c=-2，例1题图①【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为顶点式即可得到点D的坐标和对称轴l；（2）求顶点D的坐标与对称轴l；例1题图②解：由抛物线y=-x2+x-2，得y=-（x2-5x）-2=-(x-)2+，∴抛物线顶点D的坐标为（,），对称轴l为直线x=；例1题图②【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要求点E的坐标，已知AE=CE，需先分别用含e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标（1）中已求得，则AE＝4-e,由题图可知点O、E、C三点可构成Rt△COE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标；例1题图③例1题解图①在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2=OC2+OE2=22+e2，∵AE=CE，∴(4-e)2＝22+e2，解得e=，则点E的坐标为（，0）；E解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e,0），则AE=4-e，连接CE，（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图④【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使GD+GB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B′,再连接B′D,B′D与y轴的交点即为所求的G点，求直线B′D的解析式，再求其与y轴的交点即可；设直线B′D的解析式为y=kx+d（k≠0），其中D(,)，则解得∴直线B′D的解析式为y=x+，令x=0,得y=，∴点G的坐标为（0，）；例1题解图②-k+d=0k+d=，k=d=，解：存在.如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（-1,0）.连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点.B′G（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；例1题图⑤【思维教练】要使△BCF的周长最小，因为BC长为定值，即要使CF+BF的值最小，由点A,B关于直线l对称，可知AC与l的交点为点F，即可使得CF+BF最小，将x=代入直线AC的解析式，即可求得F点的坐标，在Rt△AOC中可得AC的长，在Rt△OBC中可得BC的长，即可得到△BCF周长的最小值；在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾股定理得BC=为定值，∴当BF+CF最小时，C△BCF最小.∵点B与点A关于直线l对称，∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F，将x=代入直线y=x-2，得y=×-2=-，∴点F的坐标为（,-）.例1题解图③解：存在，要使△BCF的周长最小，即BC+BF+CF最小，如解图③所示.F在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得AC=2，∴△BCF周长的最小值为BC+AC=+2=3；例1题解图③F【思维教练】要使SD-SB的值最大，则需分两种情况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由三角形三边关系得到SD-SB

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