PAGE第27点 找准角度，灵活选用机械能守恒定律的
表
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达式机械能守恒定律的三种不同的表达式，实际上是从三个不同的角度对机械能守恒定律的理解.所以在应对有关机械能守恒的问题时，应该找准角度，选择出最佳的表达式，使问题解决起来更便捷.1.从守恒的角度来看，系统初、末两个状态的机械能相等，表达式为E初＝E末.选用这个表达式时，要注意选择合适的零势能参考平面，并说明其位置.2.从能量转化的角度来看，动能的增加量等于势能的减少量或动能的减少量等于势能的增加量，表达式为ΔEk＝－ΔEp.这个表达式的优点是不用选择零势能参考平面，而且解决多个物体组成的系统机械能守恒问题很方便.3.从能量转移的角度来看，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量，表达式为ΔEA增＝ΔEB减.这个表达式常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题.对点例题 如图1所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连.已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离(未落地)时，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？图1解题指导 解法一 用ΔEk增＝ΔEp减求解.在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为ΔEk增＝eq\f(1,2)(M＋m)v2系统减少的重力势能ΔEp减＝Mgh由ΔEk增＝ΔEp减得：eq\f(1,2)(M＋m)v2＝Mgh解得v＝eq\r(\f(2Mgh,M＋m))＝eq\f(2,3)eq\r(3gh).解法二 用E初＝E末求解.设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初始机械能E初＝－Mgx，系统的末机械能E末＝－Mg(x＋h)＋eq\f(1,2)(M＋m)v2.由E初＝E末得：－Mgx＝－Mg(x＋h)＋eq\f(1,2)(M＋m)v2，解得v＝eq\f(2,3)eq\r(3gh).解法三 用ΔEA增＝ΔEB减求解.在砝码下降的过程中，木块增加的机械能ΔEm增＝eq\f(1,2)mv2，砝码减少的机械能ΔEM减＝Mgh－eq\f(1,2)Mv2.由ΔEm增＝ΔEM减得：eq\f(1,2)mv2＝Mgh－eq\f(1,2)Mv2，解得v＝eq\f(2,3)eq\r(3gh).答案 eq\f(2,3)eq\r(3gh)如图2所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环并关于大圆环的竖直对称轴对称，它的两端都系上质量为m的重物.忽略小圆环的大小.将两个小圆环固定在大圆环与圆心O连线和竖直对称轴的夹角θ＝30°的位置上.在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M＝eq\r(2)m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速度地释放重物M，设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.图2答案 eq\r(2)R解析 解法一 利用E初＝E末设两小圆环下侧的绳长为L，两重物m所在位置的水平面为零势能参考平面，则初状态的机械能E初＝MgL重物M下降到最大距离h时速度为零，两重物m的速度也为零，各物体位置关系如图中的虚线所示，则末状态的机械能为E末＝2mg(eq\r(h2＋Rsinθ2)－Rsinθ)＋Mg(L－h)又由于E初＝E末，θ＝30°，M＝eq\r(2)m所以h＝eq\r(2)R(另解h＝0舍去).解法二 利用ΔEA增＝ΔEB减重物M先向下加速，然后向下减速，当重物M速度为零时，下降的距离最大.此时质量为m的重物速度也为零，根据系统机械能守恒，M机械能的减少量等于m机械能的增加量，设下降的最大距离为h.Mgh＝2mg[eq\r(h2＋Rsinθ2)－Rsinθ]，解得h＝eq\r(2)R(另解h＝0舍去).
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