PAGE17导数与三角函数压轴题归纳
总结
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近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化.零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解析】（1）设,则.当时,单调递减,而,可得在有唯一零点,设为.则当时,；当时,.所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）由（1）知,在单调递增,而,所以当时,,故在单调递减,又,从而是在的唯一零点.（ii）当时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而,,所以存在,使得,且当时,；当时,.故在单调递增,在单调递减.又,,所以当时,.从而在没有零点.（iii）当时,,所以在单调递减.而,所以在有唯一零点.（iv）当时,,所以<0,从而在没有零点.综上,有且仅有2个零点.【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明【解析】(1)由已知得对于任意的x∈(0,)，有,当a=0时,f(x)=−，不合题意；当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0,)单调递减，又函数(a∈R)在[0,]上图象是连续不断的，故函数在[0,]上的最大值为f(0)，不合题意；当a>0时,x∈(0,),f′(x)>0,从而f(x)在(0,)单调递增，又函数(a∈R)在[0,]上图象是连续不断的，故函数在[0,]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，综上所述,得；(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下：由(I)知,从而有f(0)=−<0,f()=π−32>0，又函数在[0,]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0,)内至少存在一个零点，又由(I)知f(x)在(0,)单调递增,故函数f(x)在(0,)内仅有一个零点。当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的，故存在m∈,π),使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0，从而g(x)在[,π]上单调递减。当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，从而f(x)在(,m)内单调递增故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0，从而(x)在(,m)内无零点；当x∈(m,π)时,有g(x)
0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数,为的导函数.(1)求证:在上存在唯一零点;(2)求证:有且仅有两个不同的零点.【解析】(1)设，当时，，所以在上单调递减，又因为，所以在上有唯一的零点，所以命题得证．(2)①由(1)知：当时，，在上单调递增;当时，，在上单调递减;所以在上存在唯一的极大值点所以又因为，所以在上恰有一个零点．又因为，所以在上也恰有一个零点．②当时，，，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点．③当时，设，所以在上单调递减，所以所以当时，恒成立所以在上没有零点．综上，有且仅有两个零点．【变式训练3】（2020年3月武汉市高三质检文）（1）研究函数上的单调性；（2）求函数的最小值解析（1）略【变式训练4】（2020年3月武汉市高三质检理）（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在上有且仅有一个极大值点，且【变式训练5】（2020年河北省九校高三第二次联考理科数学）【变式训练6】（2020年四川省八校高三第三次质检理科数学）解析：二、零点存在性赋值理论例、（2020年安徽省淮北一中模拟）已知函数（1）当，求证：；（2）若函数，求证：函数存在最小值.【变式训练1】已知函数（1）当时，证明：；（2）若在上有且只有一个零点，求的取值范围.
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