ModifiedbyJEEPonDecember26th,2020.直线方程的对称问题及最值恒过定点问题一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.练习：2若直线:3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线方程.求的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m:x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求的面积最小时直线l的方程;2.若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A1B2C3D4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢）3.已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。4.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标6．已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取一点P，使得||PM|-|PN||最大，则P点坐标是（）A（5,0）B（13,0）C（0,13）D（,0）变式：若使||PM|+|PN||最小呢7．函数y=eq\r(x2＋9)＋eq\r(x2－8x＋41)的最小值是六过定点6．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2)D．(－1，－2)7．当0＜k＜eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )A．(0,0)B．(eq\f(1,7)，eq\f(2,7))C．(eq\f(2,7)，eq\f(1,7))D．(eq\f(1,7)，eq\f(1,14))课后作业：1.已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。2光线由点P(2,3)射到直线x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求反射光线所在的直线方程．3．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．4．试求直线关于直线:对称的直线l的方程.5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)6．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( )A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0
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