第二章分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。令带入方程：令带入边界条件1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数利用正弦展开的系数公式可得代入可得定解问题的形式解▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。2解的性质其中：驻波法当弦振动时，两端始终保持不动，其余点在自己的平衡位置频率相同等于这样一种振动称为两端固定的有界弦的固有振动（或驻波）附近作简谐振动：振幅等于频率与初始条件无关，称为弦的固有频率。形成一个离散谱：称为弦的基频，其余称为倍频例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。解：弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。解：例2求下列定解问题初始条件若l=1,a=10时的震动。例3求下列定解问题解：例4求下列定解问题令带入方程：解：二有限长杆上的热传导令带入方程：解：令令带入方程：令例5求下列定解问题解：例6求下列定解问题解：若则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考若有界杆上的热传导（杆的两端绝热）分离变量
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图三拉普拉斯方程的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题解：例7求下列定解问题解：例8求下列定解问题解：2圆域内的拉普拉斯问题欧拉方程例9求下列定解问题解：欧拉方程令例10求下列定解问题解：欧拉方程令其它为零例12求下列定解问题解：欧拉方程其他为零例13求下列定解问题解：例13求下列定解问题解：例14求下列定解问题解法一：令解法二：令常用本征方程齐次边界条件
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