函数周期性的五类经典题型

函数周期性的五类经典题型TheStandardizationOfficewasrevisedontheafternoonofDecember13,2020函数周期性的五类经典题型周期性类型一：判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令 ∴ ∴∴T=2周期函数（2）∴T=4周期函数（3） ∴T=4（4） ∴T=8 类型二：求值1.已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝l...

TheStandardizationOfficewasrevisedontheafternoonofDecember13,2020函数周期性的五类经典题型周期性类型一：判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令 ∴ ∴∴T=2周期函数（2）∴T=4周期函数（3） ∴T=4（4） ∴T=8 类型二：求值1.已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2013)＋f(2014)的值为(　　)A．－1B．－2C．2D．1解析：选A　因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2013)＋f(2014)＝－f(2013)＋f(2014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2013)＋f(2014)＝－1＋0＝－1.2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，　　　　　　　x≤0，,fx－1－fx－2， x>0，))则f(2016)＝________.解析：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，进而f(2016)＝f(336×6)＝f(0)＝3－1＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，则f(6)＝______.（转化）答案　2解析　当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.5.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，则f(log220)＝________.（利用周期和奇函数改变范围）押题依据　利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性.答案　－1解析　由f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，因为40在[－1，3]上的解集为(　　)（数形结合，类似于正余弦函数图像）A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图．当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．因为f(x)在[0，2]上是增函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象．其图象也关于x＝－6对称，所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.类型五：综合1.偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝eq\r(2x－x2)，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是__________.答案　(eq\f(\r(15),15)，eq\f(\r(3),3))解析　因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1＋x)，即有f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数.由y＝eq\r(2x－x2)，得x2－2x＋y2＝0，即(x－1)2＋y2＝1，画出函数f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象.因为直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象易知，eq\f(\r(15),15)

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