数学物理方程(第三版)第一章练习答案全解

.......波动方程WaveEquation齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院htqisdu@gmail.com齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31/67目录...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32/67...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/67方程的导出、定解条件.Example1.1........细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x;t) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x;t)满足方程@@t�(x)@u@t!=@@xE@u@x!;其中�为杆的密度,E为杨氏模量.解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的.取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x;x+�x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x;t)和u(x+�x;t)=u(x;t)+�u,B段的伸长为u(x+�x;t)�u(x;t)=�u,相对伸长则为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/67方程的导出、定解条件.Example1.1........细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x;t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x;t)满足方程@@t�(x)@u@t!=@@xE@u@x!;其中�为杆的密度,E为杨氏模量.解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的.取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x;x+�x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x;t)和u(x+�x;t)=u(x;t)+�u,B段的伸长为u(x+�x;t)�u(x;t)=�u,相对伸长则为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/67方程的导出、定解条件u(x+�x;t)�u(x;t)�x=�u�x=@u@x(x;t);�x!0:由Hooke定律,B两端的张力分别为E(x)uxjx,E(x)uxjx+�x.B段的运动方程为S�(x)�x@2u@t2(x;t)=E(x)Suxjx+�x�E(x)Suxjx其中S为细杆截面面积,x为B段重心坐标.约去S,令�x!0,有@@t�(x)@u@t!=@@xE(x)@u@x!:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34/67方程的导出、定解条件.Example1.2........在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:(1)u(0;t)=u(l;t)=0;(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)@u@x(0;t)=0,即@u@x(0;t)=0.同理右端点@u@x(l;t)=0.(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则SE(0)@u@x(0;t)=ku(0;t);�@u@x+hu!������x=0=0;h=kE(x)S:同理右端:@u@x+hu!������x=l=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/67方程的导出、定解条件.Example1.2........在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:(1)u(0;t)=u(l;t)=0;(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)@u@x(0;t)=0,即@u@x(0;t)=0.同理右端点@u@x(l;t)=0.(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则SE(0)@u@x(0;t)=ku(0;t);�@u@x+hu!������x=0=0;h=kE(x)S:同理右端:@u@x+hu!������x=l=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/67方程的导出、定解条件.Example1.3........试证:圆锥形枢轴的纵向振动方程为E@@x"�1�xh�2@u@x#=��1�xh�2@2u@t2;其中h为圆锥的高.解:仿照第一题有(R为圆锥的底面半径)�V(x)@2u@t2(x;t)=ES(x+�x)@u@x(x+�x;t)�ES(x)@u@x(x;t)其中V(x)=�R2�1�xh�2�x+o(�x);S(x)=�R2�1�xh�2:令�x!0,即得结论.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/67方程的导出、定解条件.Example1.3........试证:圆锥形枢轴的纵向振动方程为E@@x"�1�xh�2@u@x#=��1�xh�2@2u@t2;其中h为圆锥的高.解:仿照第一题有(R为圆锥的底面半径)�V(x)@2u@t2(x;t)=ES(x+�x)@u@x(x+�x;t)�ES(x)@u@x(x;t)其中V(x)=�R2�1�xh�2�x+o(�x);S(x)=�R2�1�xh�2:令�x!0,即得结论.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/67方程的导出、定解条件.Example1.4........绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.解:设弦长为l,取弦上端点为原点,取铅垂向下的轴为x轴.设u(x;t)为时刻t,x处的横向位移.取位于(x;x+�x)的微元进行分析,由绝对柔软的假设,弦的张力T的方向总是沿弦的切线方向.又由微小振动的假设ux�1.因此认为弦在振动过程中不伸长,且张力T与时间无关.考察受力平衡(�1,�2为张力T的方向与竖直线的夹角)T(x+�x)cos�2�T(x)cos�1=��g�x;(1.1)T(x+�x)sin�2�T(x)sin�1=��xutt:(1.2)由(1.1)知dTdx=��g)T=��gx+C:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/67方程的导出、定解条件.Example1.4........绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.解:设弦长为l,取弦上端点为原点,取铅垂向下的轴为x轴.设u(x;t)为时刻t,x处的横向位移.取位于(x;x+�x)的微元进行分析,由绝对柔软的假设,弦的张力T的方向总是沿弦的切线方向.又由微小振动的假设ux�1.因此认为弦在振动过程中不伸长,且张力T与时间无关.考察受力平衡(�1,�2为张力T的方向与竖直线的夹角)T(x+�x)cos�2�T(x)cos�1=��g�x;(1.1)T(x+�x)sin�2�T(x)sin�1=��xutt:(1.2)由(1.1)知dTdx=��g)T=��gx+C:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/67方程的导出、定解条件而x=0时,T(0)=�gl,知C=�gl,所以T(x)=�g(l�x):又sin�2�tan�2=@u@x(x+�x;t);sin�1�tan�1=@u@x(x;t):由(1.2)知@@x"T(x)@u(x)@x#=�@2u@t2)@2u@t2=g@@x"(l�x)@u@x#:..O.x.T.T.x.x+�x齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38/67方程的导出、定解条件.Example1.5........一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.解:k,�为正常数8>>>>>><>>>>>>:utt�a2uxx+kut=0;0<x<l;t>0;ujt=0='(x);utjt=0=(x);ujx=0=0;(ux+�u)jx=l=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/67方程的导出、定解条件.Example1.5........一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.解:k,�为正常数8>>>>>><>>>>>>:utt�a2uxx+kut=0;0<x<l;t>0;ujt=0='(x);utjt=0=(x);ujx=0=0;(ux+�u)jx=l=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/67方程的导出、定解条件.Example1.6........若F(�),G(�)均为其变元的二次连续可导 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ,验证F(x�at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11)..Example1.7........验证u(x;y;t)=1/pt2�x2�y2在锥t2�x2�y2>0中满足波动方程utt=uxx+uyy.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/67方程的导出、定解条件.Example1.6........若F(�),G(�)均为其变元的二次连续可导函数,验证F(x�at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11)..Example1.7........验证u(x;y;t)=1/pt2�x2�y2在锥t2�x2�y2>0中满足波动方程utt=uxx+uyy.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/67...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.1........证明方程@@x"�1�xh�2@u@x#=1a2�1�xh�2@2u@t2(h>0常数)的通解可以写成u=F(x�at)+G(x+at)h�x;其中F;G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数,并由此求解它的初值问题:t=0:u='(x);@u@t=(x):解:(1)令v(x;t)=(h�x)u(x;t)并代入方程得vtt=a2vxx;齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.1........证明方程@@x"�1�xh�2@u@x#=1a2�1�xh�2@2u@t2(h>0常数)的通解可以写成u=F(x�at)+G(x+at)h�x;其中F;G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数,并由此求解它的初值问题:t=0:u='(x);@u@t=(x):解:(1)令v(x;t)=(h�x)u(x;t)并代入方程得vtt=a2vxx;齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/67达朗贝尔公式、波的传播进而u=vh�x=F(x�at)+G(x+at)h�x:(2)(vtt=a2vxx;t=0:v=(h�x)'(x);vt=(h�x)(x):由d’Alembert公式有v(x;t)=12[(h�x+at)'(x�at)+(h�x�at)'(x+at)]+12aZx+atx�at(h��)(�)d�:再由(1)知此定解问题的解........�此问题也可由(1)并利用初始条件决定F和G.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.2........问初始条件'(x)与(x)满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成?解:由题意知G(x)=12'(x)+12aZxx0(�)d��C2a�const:故G0(x)=0,即a'0(x)+(x)=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.2........问初始条件'(x)与(x)满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成?解:由题意知G(x)=12'(x)+12aZxx0(�)d��C2a�const:故G0(x)=0,即a'0(x)+(x)=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.3........利用传播波法,求解波动方程的古沙(Goursat)问题8>>>>><>>>>>:@2u@t2=a2@2u@x2;ujx�at=0='(x);ujx+at=0=(x);('(0)=(0)):解:设u(x;t)具有行波解u=F(x�at)+G(x+at),由边界条件得F(0)+G(2x)='(x);F(2x)+G(0)=(x):F(x)=(x/2)�G(0);G(x)='(x/2)�F(0);F(0)+G(0)='(0)=(0):)u(x;t)=�x�at2�+'�x+at2��'(0):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.3........利用传播波法,求解波动方程的古沙(Goursat)问题8>>>>><>>>>>:@2u@t2=a2@2u@x2;ujx�at=0='(x);ujx+at=0=(x);('(0)=(0)):解:设u(x;t)具有行波解u=F(x�at)+G(x+at),由边界条件得F(0)+G(2x)='(x);F(2x)+G(0)=(x):F(x)=(x/2)�G(0);G(x)='(x/2)�F(0);F(0)+G(0)='(0)=(0):)u(x;t)=�x�at2�+'�x+at2��'(0):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.4........对非齐次波动方程的初值问题(2.5)、(2.6),证明:当f(x;t)不变时,(1)如果初始条件在x轴的区间[x1;x2]上发生变化,那么对应的解在区间[x1;x2]的影响区域外不发生变化;(2)在x轴区间[x1;x2]上所给的初始条件唯一确定区间[x1;x2]的决定区域中解的数值.解:弄清影响区域、决定区域的定义.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.4........对非齐次波动方程的初值问题(2.5)、(2.6),证明:当f(x;t)不变时,(1)如果初始条件在x轴的区间[x1;x2]上发生变化,那么对应的解在区间[x1;x2]的影响区域外不发生变化;(2)在x轴区间[x1;x2]上所给的初始条件唯一确定区间[x1;x2]的决定区域中解的数值.解:弄清影响区域、决定区域的定义.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.5........求解8>>><>>>:utt�a2uxx=0;x>0;t>0;ujt=0='(x);utjt=0=0;ux�kutjx=0=0;其中k为正常数.解:波动方程的通解为u=F(x�at)+G(x+at),由初始条件得F(x)+G(x)='(x);�aF0(x)+aG0(x)=0F(x)�G(x)=C;F(x)=12'(x)+C2;G(x)=12'(x)�C2;其中C=F(0)�G(0).由于x+at�0,G(x+at)=12'(x+at)�C2.当x�at�0时,F(x�at)=12'(x�at)+C2.此时u(x;t)=12['(x+at)+'(x�at)]:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.5........求解8>>><>>>:utt�a2uxx=0;x>0;t>0;ujt=0='(x);utjt=0=0;ux�kutjx=0=0;其中k为正常数.解:波动方程的通解为u=F(x�at)+G(x+at),由初始条件得F(x)+G(x)='(x);�aF0(x)+aG0(x)=0F(x)�G(x)=C;F(x)=12'(x)+C2;G(x)=12'(x)�C2;其中C=F(0)�G(0).由于x+at�0,G(x+at)=12'(x+at)�C2.当x�at�0时,F(x�at)=12'(x�at)+C2.此时u(x;t)=12['(x+at)+'(x�at)]:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316/67达朗贝尔公式、波的传播当x�at<0时,由边界条件知(1+ka)F0(�at)+(1�ka)G0(at)=0)(1+ka)F0(�x)+(1�ka)G0(x)=0:对上式从0到x积分�(1+ka)F(�x)+(1�ka)G(x)=C1;C1=�(1+ka)F(0)+(1�ka)G(0):F(�x)=1�ka1+kaG(x)�C11+ka;F(x�at)=F(�(at�x))=1�ka1+kaG(at�x)�C11+ka:)u(x;t)=12'(x+at)+1�ka2(1+ka)'(at�x)+ka1+ka'(0):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.6........求解初边值问题8>>>>>><>>>>>>:utt�uxx=0;0<t<kx;k>1;ujt=0='0(x);x�0;utjt=0='1(x);x�0;ujt=kx=(x);其中'0(0)=(0).解:当x�t�0时,由d’Alembert公式有u(x;t)=12['0(x�t)+'0(x+t)]+12Zx+tx�t'1(�)d�:x�t<0时,取u=F(x�t)+G(x+t).当t=x时,它应与上式的解相同.当t=kx时,利用边界条件有齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.6........求解初边值问题8>>>>>><>>>>>>:utt�uxx=0;0<t<kx;k>1;ujt=0='0(x);x�0;utjt=0='1(x);x�0;ujt=kx=(x);其中'0(0)=(0).解:当x�t�0时,由d’Alembert公式有u(x;t)=12['0(x�t)+'0(x+t)]+12Zx+tx�t'1(�)d�:x�t<0时,取u=F(x�t)+G(x+t).当t=x时,它应与上式的解相同.当t=kx时,利用边界条件有齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318/67达朗贝尔公式、波的传播F(0)+G(2x)=12['0(0)+'0(2x)]+12Z2x0'1(�)d�;F((1�k)x)+G((1+k)x)=(x):由以上两式解F和G得u(x;t)=�x�t1�k�+12"'0(x+t)�'01+k1�k(x�t)!#+12Zx�t1+k1�k(x�t)'1(�)d�;x<t<kx齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.7........求解初边值问题8>>><>>>:utt�uxx=0;x<t<f(x);ujt=x='(x);ujt=f(x)=(x);其中'(0)=(0),t=f(x)为由原点出发的、介于特征线x=t与x=�t之间的光滑曲线,且对一切x,f0(x),1.解:设通解为u=F(x�t)+G(x+t),将边界条件代入得F(0)+G(2x)='(x);F(x�f(x))+G(x+f(x))=(x):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.7........求解初边值问题8>>><>>>:utt�uxx=0;x<t<f(x);ujt=x='(x);ujt=f(x)=(x);其中'(0)=(0),t=f(x)为由原点出发的、介于特征线x=t与x=�t之间的光滑曲线,且对一切x,f0(x),1.解:设通解为u=F(x�t)+G(x+t),将边界条件代入得F(0)+G(2x)='(x);F(x�f(x))+G(x+f(x))=(x):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320/67达朗贝尔公式、波的传播由f0(x),1,故有x�f(x)=y可解得x=h(y).由上面两式可解得G(x)='�x2��F(0);F(y)=(h(y))�'�h(y)�y2�+F(0);代入通解表达式得u='�x+t2��'�h(x�t)�x�t2�+(h(x�t)):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.8........求解波动方程的初边值问题8>>>>><>>>>>:@2u@t2�@2u@x2=tsinx;ujt=0=0;@u@t���t=0=sinx:解:u(x;t)=12Zx+tx�tsin�d�+12Zt0Zx+(t��)x�(t��)�sin�d�d�=tsinx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.8........求解波动方程的初边值问题8>>>>><>>>>>:@2u@t2�@2u@x2=tsinx;ujt=0=0;@u@t���t=0=sinx:解:u(x;t)=12Zx+tx�tsin�d�+12Zt0Zx+(t��)x�(t��)�sin�d�d�=tsinx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.9........求解波动方程的初边值问题8>>>>>>><>>>>>>>:utt=a2uxx+tx(1+x2)2;ujt=0=0;utjt=0=11+x2:解:u(x;t)=12aZx+atx�at11+�2d�+12aZt0Zx+a(t��)x�a(t��)��(1+�2)2d�d�=�14a3"12ln1+(x�at)21+(x+at)2�2atarctanx+(x+at�2a2)arctan(x+at)�(x�at�2a2)arctan(x�at)�:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.9........求解波动方程的初边值问题8>>>>>>><>>>>>>>:utt=a2uxx+tx(1+x2)2;ujt=0=0;utjt=0=11+x2:解:u(x;t)=12aZx+atx�at11+�2d�+12aZt0Zx+a(t��)x�a(t��)��(1+�2)2d�d�=�14a3"12ln1+(x�at)21+(x+at)2�2atarctanx+(x+at�2a2)arctan(x+at)�(x�at�2a2)arctan(x�at)�:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323/67...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-324/67初边值问题的分离变量法.Example3.1........用分离变量法求下列问题的解:(1)8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:@2u@t2=a2@2u@x2;ujt=0=sin3�xl;@u@t���t=0=x(l�x)(0<x<l);u(0;t)=u(l;t)=0:(2)8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:@2u@t2�a2@2u@x2=0;u(0;t)=0;@u@x(l;t)=0u(x;0)=hlx;@u@t(x;0)=0:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-324/67初边值问题的分离变量法解:(1)满足边界条件的解为u(x;t)=1Xk=1Akcosk�alt+Bksink�alt!sink�lx:由初始条件知:1Xk=1Aksink�lx=sin3�lx;1Xk=1Bkk�alsink�lx=x(l�x):)A3=1;Ak=0;k,3;Bk=2k�aZl0x(l�x)sink�xldx=8>>><>>>:8l3(2n�1)4�4a;k=2n�1;0;k=2n:)u(x;t)=cos3�altsin3�lx+8l3�4a1Xn=11(2n�1)4sin(2n�1)�altsin(2n�1)�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325/67初边值问题的分离变量法(2)满足边界条件的解为u(x;t)=1Xk=00BBBB@Akcos(k+12)�alt+Bksin(k+12)�alt1CCCCAsin(k+12)�lx:由初始条件知:1Xk=0Aksin(k+12)�lx=hlx;1Xk=0Bk(k+12)�alsin(k+12)�lx=0:)Ak=(�1)k2h(k+12)2�2;Bk=0;k=0;1;2;:::u(x;t)=1Xk=0(�1)k2h(k+12)2�2cosk+12l�atsink+12l�x:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-326/67初边值问题的分离变量法.Example3.2........设弹簧一端固定,一端在外力作用下作周期振动,此时定解问题归结为8>>>>><>>>>>:utt=a2uxx;u(0;t)=0;u(l;t)=Asin!t;u(x;0)=@u@t(x;0)=0:求解此问题.解:由于弦是在x=l端受迫作谐振动Asin!t情况下的振动,它一定有一个特解V(x;t)满足波动方程和非齐次边界条件,且在x=l端同步振动,其时间函数应为sin!t,即V(x;t)=X(x)sin!t代入方程得8>>><>>>:X00+!2a2X=0;X(0)=0;X(l)=A:)V(x;t)=Asin!lasin!xasin!t:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327/67初边值问题的分离变量法.Example3.2........设弹簧一端固定,一端在外力作用下作周期振动,此时定解问题归结为8>>>>><>>>>>:utt=a2uxx;u(0;t)=0;u(l;t)=Asin!t;u(x;0)=@u@t(x;0)=0:求解此问题.解:由于弦是在x=l端受迫作谐振动Asin!t情况下的振动,它一定有一个特解V(x;t)满足波动方程和非齐次边界条件,且在x=l端同步振动,其时间函数应为sin!t,即V(x;t)=X(x)sin!t代入方程得8>>><>>>:X00+!2a2X=0;X(0)=0;X(l)=A:)V(x;t)=Asin!lasin!xasin!t:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327/67初边值问题的分离变量法令u(x;t)=V(x;t)+W(x;t),则W(x;t)满足如下定解问题8>>><>>>:Wtt=a2Wxx;W(0;t)=0;W(l;t)=0;W(x;0)=0;Wt(x;0)=�A!sin!xa/sin!la:W(x;t)=1Xn=1�Ancosn�alt+Bnsinn�alt�sinn�lx;An=0;Bn=(�1)n2A!al1!2/a2�n2�2/l2;n=1;2;:::综上u(x;t)=Asin!lasin!xasin!t+2A!al1Xn=1(�1)n!2/a2�n2�2/l2sinn�altsinn�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-328/67初边值问题的分离变量法.Example3.3........求弦振动方程utt�a2uxx=0;0<x<l;t>0满足以下定解条件的解:(1)ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=sin32l�x;utjt=0=sin52l�x:(2)uxjx=0=uxjx=l=0;ujt=0=x;utjt=0=0:解:(1)满足边界条件的解为u(x;t)=1Xk=00BBBB@Akcos(k+12)�alt+Bksin(k+12)�alt1CCCCAsin(k+12)�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329/67初边值问题的分离变量法.Example3.3........求弦振动方程utt�a2uxx=0;0<x<l;t>0满足以下定解条件的解:(1)ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=sin32l�x;utjt=0=sin52l�x:(2)uxjx=0=uxjx=l=0;ujt=0=x;utjt=0=0:解:(1)满足边界条件的解为u(x;t)=1Xk=00BBBB@Akcos(k+12)�alt+Bksin(k+12)�alt1CCCCAsin(k+12)�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329/67初边值问题的分离变量法由初始条件知:1Xk=0Aksin(k+12)�lx=sin3�2lx;1Xk=0Bk(k+12)�alsin(k+12)�lx=sin5�2lx:)A1=1;Ak=0;k,1;B2=2l5�a;Bk=0;k,2:u(x;t)=cos3�a2ltsin3�2lx+2l5�asin5�a2ltsin5�2lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-330/67初边值问题的分离变量法(2)满足边界条件的解为u(x;t)=12A0+12B0t+1Xk=1Akcosk�alt+Bksink�alt!cosk�lx:由初始条件知:12A0+1Xk=1Akcosk�lx=x;12B0+1Xk=1Bkk�alcosk�lx=0:)A0=l;Ak=2l(�1)k�1k2�2;Bk=0:u(x;t)=l2�4l�21Xk=11(2k�1)2cos(2k�1)�altcos(2k�1)�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331/67初边值问题的分离变量法.Example3.4........用分离变量法求解初边值问题:8>>>>><>>>>>:utt�a2uxx=g;0<x<l;t>0;ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=0;utjt=0=sin�x2l;其中g为常数.解:先求解如下问题8>>><>>>:utt�a2uxx=0;0<x<l;t>0;ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=0;utjt=0=sin�x2l;其解为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-332/67初边值问题的分离变量法.Example3.4........用分离变量法求解初边值问题:8>>>>><>>>>>:utt�a2uxx=g;0<x<l;t>0;ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=0;utjt=0=sin�x2l;其中g为常数.解:先求解如下问题8>>><>>>:utt�a2uxx=0;0<x<l;t>0;ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=0;utjt=0=sin�x2l;其解为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-332/67初边值问题的分离变量法u1(x;t)=2l�asin�a2ltsin�2lx:再求解如下问题8>>><>>>:utt�a2uxx=g;0<x<l;t>0;ujx=0=uxjx=l=0;ujt=0=0;utjt=0=0;其解为u2(x;t)=Zt01Xk=02lg�2a(k+12)2sink+12l�a(t��)sink+12l�xd�:所以原定解问题的解为u(x;t)=u1(x;t)+u2(x;t).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-333/67初边值问题的分离变量法.Example3.5........用分离变量法求下面问题的解:8>>><>>>:utt=a2uxx+bshx;ujt=0=utjt=0=0;ujx=0=ujx=l=0:解:Bk(�)=2k�aZl0bsh�sink�l�d�=2blshla(l2+k2�2)(�1)k+1u(x;t)=Zt01Xk=1Bk(�)sink�al(t��)d��sink�lx=2bl2shl�a21Xk=1(�1)k+1l2+k2�21�cosk�alt!sink�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-334/67初边值问题的分离变量法.Example3.5........用分离变量法求下面问题的解:8>>><>>>:utt=a2uxx+bshx;ujt=0=utjt=0=0;ujx=0=ujx=l=0:解:Bk(�)=2k�aZl0bsh�sink�l�d�=2blshla(l2+k2�2)(�1)k+1u(x;t)=Zt01Xk=1Bk(�)sink�al(t��)d��sink�lx=2bl2shl�a21Xk=1(�1)k+1l2+k2�21�cosk�alt!sink�lx:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-334/67初边值问题的分离变量法.Example3.6........用分离变量法求下面问题的解:8>>>>><>>>>>:utt+2but=a2uxx(b>0);ujx=0=ujx=l=0;ujt=0=hlx;utjt=0=0:解:令u(x;t)=X(x)T(t),代入方程得:XT00+2bXT0=a2X00T)T00+2bT0a2T=X00X=��:得到如下特征值问题(X00(x)+�X(x)=0;X(0)=X(l)=0:)�=n2�2l2;Xn(x)=Cnsinn�lx;(n=1;2;:::)齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-335/67初边值问题的分离变量法.Example3.6........用分离变量法求下面问题的解:8>>>>><>>>>>:utt+2but=a2uxx(b>0);ujx=0=ujx=l=0;ujt=0=hlx;utjt=0=0:解:令u(x;t)=X(x)T(t),代入方程得:XT00+2bXT0=a2X00T)T00+2bT0a2T=X00X=��:得到如下特征值问题(X00(x)+�X(x)=0;X(0)=X(l)=0:)�=n2�2l2;Xn(x)=Cnsinn�lx;(n=1;2;:::)齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-335/67初边值问题的分离变量法T(t)满足如下方程T00+2bT0+a2n2�2l2T=0:详细过程参见《数学物理方程》（陈恕行、秦铁虎、周忆编著，复旦大学出版社，2003）P37-39.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-336/67...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337/67高维波动方程的柯西问题.Example4.1........利用泊松公式求解波动方程的柯西问题:(1)(utt=a2(uxx+uyy+uzz);ujt=0=0;utjt=0=x2+yz;(2)(utt=a2(uxx+uyy+uzz);ujt=0=x3+y2z;utjt=0=0:解:(1)u(x;y;z;t)=14�a2t"SatM(�2+��)dS=14�a2tZ�0Z2�0[(x+atcos'sin�)2+(y+atsin'sin�)(z+atcos�)]a2t2sin�d'd�=(x2+yz)t+a2t33:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337/67高维波动方程的柯西问题.Example4.1........利用泊松公式求解波动方程的柯西问题:(1)(utt=a2(uxx+uyy+uzz);ujt=0=0;utjt=0=x2+yz;(2)(utt=a2(uxx+uyy+uzz);ujt=0=x3+y2z;utjt=0=0:解:(1)u(x;y;z;t)=14�a2t"SatM(�2+��)dS=14�a2tZ�0Z2�0[(x+atcos'sin�)2+(y+atsin'sin�)(z+atcos�)]a2t2sin�d'd�=(x2+yz)t+a2t33:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337/67高维波动方程的柯西问题(2)u(x;y;z;t)=@@t26666414�a2t"SatM(�3+�2�)dS377775=@@t��3a2t3(3x+z)+(x3+y2z)t�=x3+y2z+(3x+z)a2t2:.Example4.2........试用降维法导出弦振动方程的达朗贝尔公式.解:由三维波动方程的Cauchy问题的Poisson公式有�=x+rcos�;�=y+rcos�sin�;�=z+rsin�sin�;(r=at)齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-338/67高维波动方程的柯西问题(2)u(x;y;z;t)=@@t26666414�a2t"SatM(�3+�2�)dS377775=@@t��3a2t3(3x+z)+(x3+y2z)t�=x3+y2z+(3x+z)a2t2:.Example4.2........试用降维法导出弦振动方程的达朗贝尔公式.解:由三维波动方程的Cauchy问题的Poisson公式有�=x+rcos�;�=y+rcos�sin�;�=z+rsin�sin�;(r=at)齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-338/67高维波动方程的柯西问题u(x;t)=@@t26666414�a2t"SMat'(�)dS377775+14�a2t"SMat(�)dS=@@t"14�aZ2�0Z�0'(x+rcos�)rsin�d�d�#r=at+"14�aZ2�0Z�0(x+rcos�)rsin�d�d�#r=at=@@t"�12aZ�0'(x+rcos�)d(x+rcos�)#r=at�"12aZ�0(x+rcos�)d(x+rcos�)#r=at=@@t"�12aZx�atx+at'(�)d�#�12aZx�atx+at(�)d�=12['(x+at)+'(x�at)]+12aZx+atx�at(�)d�:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-339/67高维波动方程的柯西问题.Example4.3........求解平面波动方程的柯西问题8>>><>>>:utt=a2(uxx+uyy);ujt=0=x2(x+y);utjt=0=0:u(x;y;t)=12�a2666664@@tZat0Z2�0(x+rcos�)2(x+rcos�+y+rsin�)p(at)2�r2rd�dr3777775=12�a@@tZat0�[2x2(x+y)+�r2(3x+y)]p(at)2�r2rdr=@@t[x2t(x+y)+a2t3(3x+y)/3]=x2(x+y)+a2t2(3x+y):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-340/67高维波动方程的柯西问题.Example4.3........求解平面波动方程的柯西问题8>>><>>>:utt=a2(uxx+uyy);ujt=0=x2(x+y);utjt=0=0:u(x;y;t)=12�a2666664@@tZat0Z2�0(x+rcos�)2(x+rcos�+y+rsin�)p(at)2�r2rd�dr3777775=12�a@@tZat0�[2x2(x+y)+�r2(3x+y)]p(at)2�r2rdr=@@t[x2t(x+y)+a2t3(3x+y)/3]=x2(x+y)+a2t2(3x+y):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-340/67高维波动方程的柯西问题.Example4.4........求二维波动方程的轴对称解(即二维波动方程的形如u=u(r;t)的解,其中r=px2+y2).解:二维波动方程的轴对称解应满足@2u@t2=a21r@@rr@u@r!:令u(r;t)=R(r)T(t),代入上式(注意:t!1时,解应有界)有T00a2T=R00+1rR0R=��2(�>0):)T(t)=C1cos�at+C2sin�at;R(r)=J0(�r);u(r;t)=(C1cos�at+C2sin�at)J0(�r):注:J0(x)为0阶第一类Bessel函数,参见教材附录III齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-341/67高维波动方程的柯西问题.Example4.4........求二维波动方程的轴对称解(即二维波动方程的形如u=u(r;t)的解,其中r=px2+y2).解:二维波动方程的轴对称解应满足@2u@t2=a21r@@rr@u@r!:令u(r;t)=R(r)T(t),代入上式(注意:t!1时,解应有界)有T00a2T=R00+1rR0R=��2(�>0):)T(t)=C1cos�at+C2sin�at;R(r)=J0(�r);u(r;t)=(C1cos�at+C2sin�at)J0(�r):注:J0(x)为0阶第一类Bessel函数,参见教材附录III齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-341/67高维波动方程的柯西问题.Example4.5........求解下列柯西问题:8>>><>>>:utt=a2(uxx+uyy)+c2u;ujt=0='(x;y);utjt=0=(x;y):解:令v(x;y;z;t)=ecz/au(x;y;t),则原定解问题转化为8>>><>>>:vtt=a2(vxx+vyy+vzz);vjt=0=ecz/a'(x;y);vtjt=0=ecz/a(x;y):由Poisson公式有齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-342/67高维波动方程的柯西问题.Example4.5........求解下列柯西问题:8>>><>>>:utt=a2(uxx+uyy)+c2u;ujt=0='(x;y);utjt=0=(x;y):解:令v(x;y;z;t)=ecz/au(x;y;t),则原定解问题转化为8>>><>>>:vtt=a2(vxx+vyy+vzz);vjt=0=ecz/a'(x;y);vtjt=0=ecz/a(x;y):由Poisson公式有齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-342/67高维波动方程的柯西问题v=@@t26666414�a2t"SMatec�a'(�;�)dS377775+14�a2t"SMatec�a(�;�)dS=@@t26666414�a2t"SMat'(�;�)ecaz�cap(at)2�(��x)2�(��y)2dS377775+14�a2t"SMat(�;�)ecaz�cap(at)2�(��x)2�(��y)2dS=ecaz2�a@@t26666664"�Mat'(�;�)ch�cap(at)2�(��x)2�(��y)2�p(at)2�(��x)2�(��y)2d�d�37777775+ecaz2�a"�Mat(�;�)ch�cap(at)2�(��x)2�(��y)2�p(at)2�(��x)2�(��y)2d�d�齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-343/67高维波动方程的柯西问题.Example4.6........试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程utt=a2(uxx+uyy)+f(x;y;t)在齐次初始条件ujt=0=0;utjt=0=0下的求解公式.解:由齐次化原理u(x;y;t)=Rt0w(x;y;t;�)d�,w(x;y;t;�)为以下定解问题的解wtt=a2(wxx+wyy)(t>�)wjt=�=0;wtjt=�=f(x;y;�):齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-344/67高维波动方程的柯西问题.Example4.6........试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程utt=a2(uxx+uyy)+f(x;y;t)在齐次初始条件ujt=0=0;utjt=