线性代数1课程教案

大学生电脑主页 —— dxsdiannao.com —— 大学生的百事通 《线性代数》Ⅰ课程教案 1． 课程名称：线性数学i \LINEAR ALGEBRA i 2． 学时与学分：54学时 3学分 3． 适用专业：计算机、测绘、房地产等专业。 4． 课程教材：《线性代数》，第2版. 金朝嵩等编，重庆大学出版社 1．居马余等编，《线性代数》，清华大学出版社，1995。 2．同济大学编，《线性代数》，同济大学出版社， 1992。 3．谢云孙等编，《线性代数与解析几何》，高等教育出版社， 1999。 5． 上课教师：数理学院《线性代数》公共课教师 6． 课程的性质、目的和任务：线性代数是工科大学生最重要的基础理论课之一，它作为 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。任务：通过本课程的学习，使学生理解行列式、矩阵、线性空间等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力，能用数学的语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。 七、教学方式（手段）：主要采用讲授新课的方式 第一章 线性空间 1、 教学目标与基本要求 数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中. 数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定 义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质. 1 线性空间的定义及例 定义1.1.1 设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系: 1.1.1 封闭公理 公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y. 公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为ax. 加法运算和数乘运算合称线性运算. 1.1.2 加法公理 公理3 (交换律) 对于任意x,y V,有 . 公理4(结合律) 对于任意x,y,z V,有 . 公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为 的零元素,对于任意x V,有 . 公理6 (负元素存在性)对于任意x V,V中存在记为 的x的负元素,使 . 1.1.3 数乘公理 公理7(结合律) 对于任意x V,任意实数a和b,有 . 公理8 (加法分配律)对于任意x,y V及任意实数a,有 . 公理9(实数相加分配律)对于任意x V,任意实数a和b,有 . 公理10(单位元素存在性)对于任意 x V,有 . 以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立. 从线性空间的公理体系容易推得以下结论: (1)零元素是唯一的. (2)任意元素的负元素是唯一的.将差 定义为 . (3)如果 ,则 或 . (4) ； ； (5)若ax ay且 ,则x y. (6)若ax bx且 ,则a b. (7) . (8) , ,一般地有:n个x相加等于nx. 定义1.1.2 设V是一个线性空间,S是V的一个非空子集.如果S对于V中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S为V的子空间. 推论:线性空间V的非空子集S成为V的子空间的充分必要条件是:S中加法和数乘两种运算满足封闭公理. 定义1.1.3 设S是线性空间V的一个非空子集.集合 x＝ x ︱ S； R；k是任意正整数 被称为S中元素的有限线性组合.由于这是V的一个子空间,故又被称为S生成的子空间,记为L(S) 2 线性空间中的相关集和独立集 定义1.2.1 设S是线性空间V的一个子集合.如果S中存在由不同元素构成的有限集 ,以及不全为零的一组数 ,使 x EMBED Equation.3 (1.2.1) 则S称是相关集(又称线性相关集). 当 不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素 的一种非平凡表示. 若S不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S中任意选定的不同元素 ,等式 x EMBED Equation.3 蕴涵了 ,则S是独立集. 定理1.2.1 设S 是线性空间V中k个元素构成的独立集,L(S)是S生成的子空间.则L(S)中任何k＋1个元素构成的集合是相关的. 3 基 维数与坐标 定义1.3.1 设S是线性空间V中的一个有限集.若S是独立集且V由S生成,则称S是V的一组有限基.若V有一组有限基或V只含零元素,则称V为有限维空间；否则称为无限维空间. 定理1.3.1 设V是有限维线性空间,则V的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同. 定义1.3.2 若线性空间V有一组由n个元素组成的基,则称整数n为V的维数,记为dimV .若 ,则规定dimV . R 的维数是n(这是称R 为n维向量空间的缘由), 是其一组基,被称为R 的常用基. 定理1.3.2 设V是n维线性空间,则 (a)V中任何独立集必是V的某组基的子集； (b)V中任何由n个元素组成的独立集必是V的一组基. 定义1.3.3 在 维线性空间V中,给定确定了元素顺序的一组基 ,则对任意x V,有 x . (称x可表为这组基的线性组合,或称x可被这组基线性表示)其中系数 是由元素x及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x在基 下的坐标,记为 . 4 内积 欧氏空间 范数 定义1.4.1 设V是实线性空间.如果对于V中任意元素x和y,对应着唯一的实数,记为(x,y),满足以下4条公理: 公理1(对称性) , 公理2(加性) ,任意z V, 公理3(齐性) ,任意c R, 公理4(正定性) ≥0,当且仅当x EMBED Equation.3 时, , 则称 是x,y的内积.并称V是一个欧几里德(Euclid)空间,简称欧氏空间. 定义1.4.2 在欧氏空间中,非负实数 被称为元素x的范数,记为 . 为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理. 定理1.4.1(柯西—许瓦兹(Cauchy—Schwarz)不等式) 在欧氏空间中,有 ≤ EMBED Equation.3 . 这里x,y是该空间中任意元素.当且仅当x与y相关时,上式取等号. 定义1.4.3 在欧氏空间中,任意两非零元素x和y之间的夹角 (0≤ ≤ )按下式定义 . 注意:正是柯西—许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性. 关于范数,本书将作较深入的讨论. 定理1.4.2 在欧氏空间中,范数具有以下性质: (1) ≥0,当且仅当 , (正定性)； (2) EMBED Equation.3 (正齐性)； (3) ≤ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (三角不等式). 这里, x,y是该空间任意元素,c是任意实数. 5 欧氏空间中的正交性 定义1.5.1 设是V一个欧氏空间.对于任意x,y V,如果 ,则称x与y正交.又:设S是V的一个子集,若对于任意相异的x,y S有 ,则称是S一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正交集. 显然,零元素与V中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素. 下面的定理表明了正交和独立之间的关系. 定理1.5.1 在欧氏空间V中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dimV n，则任何一个包含n个非零元素的正交集是V的一组基. 定理1.5.2 设V是有限维欧氏空间, dimV n， 是V的一组正交基.对于任意x V,若x关于基S的坐标是 ,则 , . 若进一步假设S是一组标准正交基,则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , . 定理1.5.3 设V是一个维欧氏空间, 是V的一组标准正交基.对于任意x,y V,若设x,y在这组基下的坐标分别是 , ,则有 EMBED Equation.3 (1.5.1) . (1.5.2) 定理1.5.4 设 是欧氏空间V中的一个有限或无限序列, 表示由该序列前 个元素生成的子空间.那么,V中存在序列 ,对于可能取到正整数 ,具有以下性质: (1) 元素 与 中任意元素正交； (2) ； (3)除去数量因子,序列 是唯一的(即若另有序列 满足性质(1)和(2),则有实数 使 EMBED Equation.3 , ). EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , , . 这里给出的由一组独立集 来构造由非零元素组成的正交集 的过程,称为施密特(Schmidt)正交化过程.而且, 生成的子空间与 生成的子空间完全相同.而当 是有限维欧氏空间的一组基时, 就是一组正交基.而且,每一个 除以它的范数,就得到一组标准正交基. 定理1.5.5 任何有限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到. 6 同 构 定义1.6.1 设V,W是两个非空集合.若给定一个法则T,使V中任何元素x都有W中唯一确定的元素y与之对应,则称T是V至W的一个映射,记为T: V→W. y被称为x在T下的像,记为 .x被称为y在T下的原像.称V为T的定义域.称V中全体元素在T下的像集合为T的值域,记为T(V). 据此定义知, V中元素x在T下的像是唯一的,但W中元素y在T下未必有原像,若有也未必唯一. 定义1.6.2 设T是V至W的映射.若T(V) W,则称为满射. 据此定义知,T为满射的充分必要条件是:对任意y W,存在x V,使y T(x).但这样的x未必唯一. 定义1.6.3 设T是V至W的映射.若V中相异的元素在映射T下的像也相异,即若有 ,则必有 ,则称T为单射. 据此定义知,若 蕴涵 ,则T为单射. 定义1.6.4 若V至W的映射T既是满射又是单射,则称T为双射,又称为1-1映射. 下面给出两个线性空间同构的定义. 定义1.6.5 设V, 均是线性空间.如果存在一个V至 的1-1映射T,对任意x,y V及任意实数 ,满足性质: (1) , (2) . 则V和 是同构的.这样的映射T被称为V至 的同构映射. 通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射. 定理1.6.1 任何 维线性空间与 是同构的. 定义1.6.6 设V, 均是欧氏空间,如果存在V至 的线性1-1映射T, 对任意x,y V,满足性质 , (1.6.1) 则称V和 是同构的.这样的映射T被称为V至 的同构映射. 由(1.6.1)式可以推得:对任何x V,有 .故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射. 由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何 维欧氏空间与 是同构的. 2、 教学内容及学时分配： 第一节 线性空间的定义 2课时 第二节 线性空间中的相关集和独立集 2课时 第三节 基 维数与坐标 2课时 第四节 内积 欧氏空间 范数 2课时 第五节 欧氏空间中的正交性 2课时 三、教学内容的重点及难点： 1．线性空间的概念 2．判定相关集和独立集； 3．判定线性空间的基及维数； 4．了解内积. 欧氏空间. 范数. 及欧氏空间中的正交性。 四、教学内容的深化和拓宽： 1．具体三维空间与一般空间的一致性及特别性； 2． 空间概念中的抽象几何意义. 五、思考题与习题 1 2 4(3) 5 (2) 6. 8. 9 10(4) 12 14 15 16 18 六、教学方式（手段） 本章主要采用讲授新课的方式。 第2章 线性变换与矩阵 代数学最基本的研究对象是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系.上一章,对线性空间这种最重要和最基本的代数系统作了比较深入的研究.本章讨论线性空间之间的联系,即线性空间之间的映射,而很多时候这种映射被称为变换. 一、教学目标与基本要求 线性变换和矩阵 掌握线性变换的概念及性质，以及逆变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示方法，掌握矩阵线性空间的概念以及矩阵的乘法，了解矩阵的转置及分块，掌握方阵的逆的概念及其求法，了解矩阵的初等变换及初等方阵的概念 （一）重要内容及定理 1．线性变换概念及其性质 设V,W是两个线性空间.一个V至W的线性映射T,就被称为V至W的线性变换. 定义2.1.1 集合 被称为线性变换T的零空间(或称为T的核),记为 . 定理2.1.1 T的值域 是W的一个子空间. T映V的零元素为W的零元素. 定理2.1.2 若V是有限维的,则 也是有限维的,且有 dim N(T) dim EMBED Equation.3 dimV 即一个线性变换的零维与秩之和等于其定义域的维数. 定义2.1.2 设S,T是任意的V至W的线性变换, 是任意实数.按如下方式定义线性变换的加法和数乘: . . 这里x是V中任意元素. 容易验证,按此定义的线性变换的加法和数乘,使全体V至W的线性变换构成之集成为一个线性空间,将其记为 . 定义2.1.3 设U,V,W是任意三个集合.T: U→V,S: V→W是两个映射,复合映射ST: U→W按如下方式定义: ,任意 . 映射的复合显然不满足交换律.但满足结合律,即若T: U→V,S: V→W, R: W→X,则有 . 定义2.1.4 对映射T: V→V按如下方式定义其幂: , (n≥1取整数) 这里 是恒等映射. 2．逆 变 换 定义2.2.1 给定集合V,W及映射T: V→W.映射S: →V 被称为T的左逆,如果对任何x V,有 .此时,若用 记V中的恒等映射,则有 EMBED Equation.3 . 映射R: →V 被称为T的右逆,如果对任意y ,有 .此时,若用 记 中的恒等映射,则有 EMBED Equation.3 . 定义2.2.2 设T: V→W是1-1映射,则T有唯一左逆(它同时是T的右逆),将其记为 .此时称T是可逆映射,并称 为的T逆. 定理2.2.1 一个映射T: V→W最多有一个左逆.若T有左逆S,则S也是T的右逆. 定理2.2.2 若映射T: V→W是单射,则T必有左逆.反之亦真. 定理2.2.3 设V,W是线性空间, ,则下列命题等价: (1)T是V和 间的1-1映射. (2)T是可逆映射,其逆 : →V是线性变换. (3) 蕴涵 .换言之,零空间N(T)只含V的零元素. 定理2.2.4 设V,W是线性空间, V是有限维的(设dimV ), .则下列命题等价: (1)T是V和 间的1-1映射. (2)若 是V中独立集,则 是 中独立集. (3) dim . (4)若 是V的一组基,则 是 的一组基. 3 线性变换的矩阵表示 定理2.3.1 设 是 维空间V的一组基, 是线性空间W中任意 个元素.则唯一存在线性变换T: V→W, 使 , . (2.3.1) 而且,此变换对任意 V,有 . 定理2.3.2 设V是n维线性空间, 是V的一组基；W是m维线性空间, 是W的一组基. T: V→W是线性变换, 是T在给定基下的矩阵表示.则对任意 V,若设 , 则 ， . 定理2.3.3 设V和W是有限维线性空间,dimV ,dimW , , 是T的秩.则存在V中一组基 及W中一组基 ,使 , , , . 4 矩阵线性空间 定义2.4.1 设 , 是两个同型矩阵, 是任意数.矩阵A与B的和(记为 )及数 与矩阵A的乘积(记为 或 )定义为 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 重要结论：设V和W是两个线性空间,dimV ,dimW ,V和W的基已经取定.则线性空间 与线性空间 是同构的 5 矩阵乘法 定义2.5.1 设 及 是任意两个 及 矩阵.则矩阵A与矩阵B的乘积AB定义为 ,这里 , ； . 6 矩阵的转置及分块 定义2.6.1 给定矩阵 .称第i行第j列元素为 的 矩阵为A的转置矩阵,记为 . 定义2.6.2 设 为n阶方阵.若有 ,即A的元素满足 ,则称A为对称阵. 7 方阵的逆 矩阵的初等变换和初等方阵 定义2.7.1 设A是一个n阶方阵.若另有n阶方阵B使得 ,则称A是非奇异方阵,并称B是A的左逆. (1)对调两行(对调i,j两行,记着 ). (2)以数 乘某一行中所有元素(第i行乘k,记着 ). (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行相应元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记着 ). 定理2.7.2 设A是一个 矩阵,对A施行一次行初等变换,相当于以相应的m阶初等方阵左乘A；对A施行一次列初等变换, 相当于以相应的n阶初等方阵右乘A. 定理2.7.3 设A是可逆方阵,则存在有限个初等方阵 , ,…, ,使 . （二）领会 1． 领会线性变换的定义； 2． 领会线性变换与矩阵的关系； 3． 领会线性变换空间与同型矩阵空间的同构； 。 （三）运用 1． 会判定是否是线性变换； 2． 会求在一个线性变换的矩阵； 3． 会矩阵的运算； 4． 会利用分块矩阵运算； 二、教学内容及学时分配： 第一节 线性变换概念及其性质 2学时 第二节 逆 变 换 2学时 第三节 线性变换的矩阵表示 2学时 第四节 矩阵线性空间 2学时 第五节 矩阵乘法 2学时 第六节 矩阵的转置及分块 2学时 第七节 方阵的逆 矩阵的初等变换和初等方阵 2学时 三、教学内容的重点及难点： 1． 线性变换； 2． 线性变换与矩阵的关系； 3． 初等变换及求逆； 四、教学内容的深化和拓宽： 1． 矩阵的深刻背景； 2． 初等变换求逆的应用； 五、思考题与习题 1 2 3 4 5(3)8 9(2) 11 13 14 15 16 17 18 23 25 26 28 29 30 32 第三章 行列式及其应用 本在线性代数应用于几何、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用. 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1 阶行列式的定义及性质 现将这些性质作为公理体系来定义 阶行列式.设 是任意一个 阶方阵,用 记其第i行元素为分量的 元向量,即 , , 并称其为行向量.有序向量组 所定义的实值函数 被称为n阶行列式函数,如果它满足下列公理: 公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t,有 , . 公理2 对每行都具加性.即对任意 元向量B,有 公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若 ,则 . 公理4 对于 中常用基 ,有 . 当 取定,则称 为一个n阶行列式.有时也简称为 阶行列式函数为 阶行列式. 行列式常被记为detA,| A|,或 . 公理4意味着,对于 阶单位方阵E,有 . 前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若 是任意 个实数, 是任意 个 元向量( 是任意正整数),有 定理3.1.1 满足公理1,2,3的行列式函数 具有以下性质: (1)若行列式某一行为零,则此行列式为零. (2)对调行列式任意两行,则行列式变号. (3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零. (4)若向量组 是相关的,则行列式 . (5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变. 2 行列式的计算 例3.2.2 设A是形如下式的n阶对角方阵 则 . 由该例可得到: 例3.2.3 设A是形如下式的n阶上三角方阵 (主对角线下方各元素为零) 则 . 定理3.2.1 设d是满足行列式公理1～4的n阶行列式函数,f是满足行列式公理1～3的n阶行列式函数,则对任意选定的n元向量 及 中常用基 ,有 . (3.2.2) 若f还满足行列式公理4,则有 . 定理3.2.2 若A是一个非奇异方阵(即 存在),则 ,且 定理3.2.3 设 是n个n元向量.该向量独立的充要条件是 . 本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法. 定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着 本定理可以推广到一般情形:若C是一个具有对角子块 的分块对角方阵,即 , 则 . 3 行列式的展开公式 定义3.3.1 给定n阶方阵 (n≥2).去掉其元素 所在的第k行和第j列后,余下元素按原来位置构成的 阶方阵,被称为元素 的余子阵,记为 .而称 为 的余子式. 定理3.3.1 对任意n阶方阵 (n≥2),有 , . (3.3.2) 从而有 , . (3.3.3) 此式被称为行列式按第k行的展开式. 定义3.3.2 对行列式detA而言,称 为元素 的代数余子式,记为 . 下面将利用数学归纳法来证明n阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式. 定理3.3.2 设 阶行列式函数存在.对任意n阶方阵 ,定义函数 , (3.3.4) 则它是n阶行列式函数 定理3.3.3 对任意n阶方阵 ,有 (3.3.6) (3.3.7) 定理3.3.4 对任意n阶方阵 ,有 . 4 伴随阵及方阵的逆 定义3.4.1 给定n阶方阵 ,称n阶方阵 为A的伴随阵,记为 . 据此定义知: A的伴随阵 位于第j行第i列的元素,就是A的元素 的代数余子式 . 定理3.4.1 对任意n阶方阵 (n≥2),有 . 又:若 ,则 存在,且有 . 定理3.4.2 对任意n阶方阵A而言, 存在得充分必要条件是 .当 ,就有 , 5 矩 阵 的 秩 定义3.5.1 在一个 矩阵A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式. A中不为零的子式. A中不为零的子式的最高阶数,被称为矩阵A的秩,记为 .若A没有不为零的子式(等价的说法是: A是零矩阵),则认为其秩为零. 推论 若A有一个r阶子式不为零,而所有 阶子式全为零,则 . 定理3.5.1 初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是:若A～B(即A与B等价),则 . 若A是n阶方阵且 ,则称A为满秩方阵.显然,下列命题等价: (1) A是满秩方阵. (2) . (3) A是可逆的(非奇异的). 6 克莱姆法则 定理3.6.1 对于含有n个未知量 的n个线性代数方程构成的方程组 (3.6.1) (或写为 , .) 如果其系数方阵 是非奇异的(即 ),则它是唯一解. 这里 是方阵A的元素 的代数余子式. 式(3.6.2)表示的线性代数方程组(3.6.1)的解亦可表示为 , . (3.6.3) 这里方阵 是A中第j列换为列阵b所成的n阶方阵.读者容易验证(3.6.3)式右端与(3.6.2)式右端相等. 二 本章重点及难点 1、 理解用公理定义行列式概念中的数学原理 2、 利用公理4进行行列式计算 3、 方阵的行列式及方阵可逆之间的关系 4、 矩阵的秩 5、 利用伴随阵求解方阵的逆 6、 克莱母法则 三：本章教学内容的深化和拓宽 1． 若第四个公理改变,行列式的值如何改变 2． 当克莱母法则法则的相关条件改变又如何? 四：思考题和习题 1(3)(4) 2 3(1) 4 5(2) 7(3) 9 10(2) 11 12 13 14 15 16(2) 五、教学方式（手段） 本章主要采用讲授新课的方式。 第四章：线性方程组 1、 本章的教学目标及基本要求 所谓线性方程组,其形式为 (4.0.1) 其中 代表n个未知量,m是方程个数, 被称为方程组的系数, 是常数项.方程组中未知量个数n与方程个数m不一定相等.系数 的第一个角标i表示它在第i个方程,第二个角标j表示它是未知量 的系数.因为未知量的幂次是1,故称为线性方程组. 如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,这个线性方程组就确定了.确切地说,线性方程组(4.0.1)可以用下列矩阵来表示: (4.0.2) 实际上,给定矩阵(4.0.2),除去代表未知量的字母外,线性方程组(4.0.1)就确定了,而采用什么字母来代表未知量是无关紧要的.以后如无特别声明,类似(4.0.2)的矩阵就被看做一个线性方程组. 对于线性方程组(4.0.1),设 , , ,由矩阵乘法的定义知,它可被表为 . (4.0.3) 当 ,A是一个n阶方阵.若 ,它存在唯一解,可用克莱姆法则求得.若 ,或 ,方程组(4.0.3)在什么条件下有解；如果有解,解是否唯一；如果解不唯一而且有无穷个,这些解是否可用简要形式表示以及如何表示等等问题,即为本章讨论的主要内容. 1 齐次线性方程组 在线性方程组(4.0.3)中,若 ,则有 . (4.1.1) 这被称为与线性方程组(4.0.3)对应的齐次线性方程组,A被称为它的系数矩阵. 线性方程组的三种初等变换,与矩阵的三种行初等变换完全对应. 任何矩阵均可经有限次行初等变换化为行最简形. 性质1 若 , 是 的解,则 也是 的解. 性质2 若 是 的解,k为任意实数,则 也是 的解. 的全部解构成一个线性空间,记为S,被称为齐次线性方程组 的解空间. 定理4.1.1 齐次线性方程组(4.1.1)有非零解的充要条件是 . 解空间S的基又被称为方程组(4.1.1)的基础解系.求得基础解系,就求得了全部解. 通解. 显然, 是齐次线性方程组的解,被称为零解或平凡解. 2 非齐次线性方程组 在线性方程组(4.0.3)中,若 ,则它被称为非齐次线性方程组.与它对应的矩阵 是一个 矩阵,它由系数矩阵 加上一列 组成,即 . 称B为线性方程组(4.0.3)的增广矩阵. 性质1 若 , 是 的解,则 是对应齐次线性方程组 的解. 性质2 若 是 的解, 是对应齐次线性方程组 的解,则 是 的解. 性质3 非齐次线性方程组的通解是对应齐次方程组的通解加上自身的任意一个解. 定理4.2.1 非齐次线性方程组 有解的充要条件是 ,即系数矩阵和增广矩阵有相同的秩. 定理4.2.2 设非齐次线性方程组 的系数矩阵A及增广矩阵B的秩相等: ,未知量个数为n.则它有唯一解的充要条件是 ；它有无穷多解的充要条件是 . 二、本章教学内容的重点和难点 1、齐次及非齐次线性方程组的解法 2、理解解空间与前面空间的关系。 三、本章内容的深化和拓广 了解求解方程组在实际问题中的应用。 四、本章教学方式 以讲课方式为主。 五、本章的思考题和习题 1(3)(4) 2 3 (3)(4) 4(2)(3) 5 6 7 8 9 第五章 特征值和特征向量 特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用. 由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量. 1、 教学目标与基本要求 1 线性变换的特征值和特征向量 定义5.1.1 设V是一个线性空间,T:V→V是一个线性变换.若对于数 ,存在一个非零向量x,使得 (5.1.1) 则称 为T的一个特征值,而称x为T的属于特征值 的特征向量. 定义5.1.2 设 是一个n阶方阵, 是一个变量,矩阵 的行列式 被称为A的特征多项式,记为 .这是一个变量 的n次多项式.而称以 为未知量的方程 EMBED Equation.3 为A的特征方程. 讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤: 1.求出方阵A的特征方程 的全部根,它们就是A的特征值. 2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组 ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量. 2 特征值和特征向量的性质 性质1 若 是方阵A的特征值,则 是 的特征值；若A可逆,则 是 的特征值. 性质2 设 , 是方阵A的相异的特征值, , 是分别属于 及 的A的特征向量,则 , 是独立的. 性质3 设V是n维线性空间,T:V→V是一个线性变换,它有n个彼此相异的特征值 , 是分别属于它们的特征向量.则 是V的一组基,且T在此基下的矩阵表示就是对角阵 . 性质4 若A是实对称方阵, , 是其相异特征值, , 是分别属于它们的特征向量,则 与 正交. 性质5 设 是n阶方阵 的全部特征值,则 (1) , (2) , (3) 3 相 似 矩 阵 定义5.3.1 设A,B都是n阶方阵,若有可逆方阵C,使 , (5.3.5) 则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.对A进行运算 ,被称为对A进行相似变换.可逆方阵C被称为将A变成B的相似变换矩阵. 相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有: (1)自反性: A与A相似.因为取单位阵E,有 . (2)对称性:若B与A相似,则A与B相似.因为(5.3.5)式两端左乘C,右乘 ,有 . (3)传递性:若B与A相似,D与B相似,则D与A相似.因为据假设,有可逆方阵 及 ,使 , ,故有 A ,故D与A相似. 定理5.3.1 若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.而且 . 推论 若n阶方阵A与对角阵 相似,则 即为A的n个特征值. 若一个n阶方阵A与一个对角阵 相似,就称A可以对角化. 定理5.3.2 实对称阵的特征值为实数. 定理5.3.3 设A为n阶实数对称阵, 是A的特征方程的r重根,则方阵 的秩是 ,从而属于 的特征向量中,恰有r个独立的特征向量. 定义5.3.2 由n个两两正交的n元单位列向量所构成的n阶方阵,被称为正交阵. 二、教学内容及学时分配： 第一节 线性变换的特征值和特征向量 2学时 第二节 特征值和特征向量的性质 2学时 第三节 相 似 矩 阵 2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、 重点：特征根及特征向量的求法 2、难点：什么时候可以将矩阵对角化 四、教学内容的深化和拓宽： 大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子. 五、思考题与习题 1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14 六、教学方式（手段） 本章主要采用讲授新课的方式。 第六章 二 次 型 二次型的一个重要议题就是化二次型为标准型,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的二次型.一个二次型总可与一对实对称方阵联系着,这实际上就是用一个线性变换将此方阵对角化.本章内容即以此议题为中心展开,兼及正定二次型及正定矩阵的一些基本性质. 一、教学目标与基本要求： 1 二次型与其标准型的矩阵关系 定义6.1.1 设A,B都是n阶方阵.若存在满秩(可逆)方阵C,使 ,则称B是A的合同矩阵,亦称B与A合同. 类似于矩阵的等价关系及相似关系,合同关系亦具有以下性质: (1)自反性:任意方阵与自身合同； (2)对称性:若B与A合同,则A与B合同； (3)传递性:若B与A合同,D与B合同,则D与A合同. 定理6.1.1 设A为对称阵.若B与A合同,则B亦是对称阵,且 . 2 化二次型为标准型 上一节的讨论表明,对于任意二次型 , 总可求得一个正交阵C,作变换 , 就把f化为标准型 . 这里 是A的全部特征值,对角阵 . 该节主要举例化二次型为标准型 还须指出,由于实对称阵的特征值是确定的,二次型经正交变换化得的标准型,在不考虑各平方项次序的意义下是唯一的.但是,所用的正交变换却不唯一,这因为在构造正交阵时,选取属于各特征值的特征向量的方式并不唯一,只要它们独立即可. 用正交变换化二次型为标准型,具有保持二次型所表示的几何图形的形状不变的优点.但是,也可以用别的多种方法去寻求多种满秩(可逆)的线性变换,把二次型化为标准型.如用初等变换法,拉格朗日(Lagrange)配方法等. 3 正定二次型 定理6.3.1 (惯性定理) 任意一个秩为r、系数为实数的二次型 均可化为规范型.而且,不论用何种满秩线性变换,所化得的规范型是唯一的.换言之,该二次型的正、负惯性指数是唯一确定的. 定义6.3.1设有实系数二次型 如果对于任意的 ,都有 (1) ,则称f为正定二次型,并称实对称阵A是正定的(可记为A＞0)； (2) ,则称f为负定二次型,并称实对称阵A是负定的(可记为A＜0). 如果一个二次型既不是正定的也不是负定的,则称它是不定二次型. 定理6.3.2对于实系数二次型 而言,下述命题等价: (1) f是正定的. (2) f的正惯性指数为n. (3)A的特征值均大于零. (4)存在n阶可逆实方阵B,使 . 定理6.3.3 对实对称阵A而言,下述命题等价: (1) A是正定的. (2) A的特征值全大于零. (3)存在可逆实方阵B,使 . (4) A与单位阵E合同. 推论 若A是正定的,则 . 定理6.3.4 n阶对称阵 正定的充分必要条件是: A的各阶主子式都为正,即 . 而A负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即 . 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 二次型与其标准型的矩阵关系 2课时 第二节 化二次型为标准型 2课时 第三节 正定二次型 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 本章主要学会如何对角化一个矩阵. 四、本章教学内容的深化和拓宽： 指导学生对角化矩阵解决几何实际问题。 五、本章的思考题和习题： 1(3) 2 (2) 3 (2)(4) 4 5 6 7 8(2)(3) 【本文由大学生电脑主页[ www.dxsdiannao.com ] — 大学生的百事通 收集整理】 _1182375891.unknown _1182376022.unknown _1182376087.unknown _1182376120.unknown _1182376136.unknown _1182376153.unknown _1182376161.unknown _1182376169.unknown _1182376174.unknown _1182376178.unknown _1182376182.unknown _1182376184.unknown _1182376185.unknown _1182376186.unknown _1182376183.unknown _1182376180.unknown _1182376181.unknown _1182376179.unknown _1182376176.unknown _1182376177.unknown _1182376175.unknown _1182376171.unknown _1182376173.unknown _1182376170.unknown _1182376165.unknown _1182376167.unknown _1182376168.unknown _1182376166.unknown _1182376163.unknown _1182376164.unknown _1182376162.unknown _1182376157.unknown _1182376159.unknown _1182376160.unknown _1182376158.unknown _1182376155.unknown _1182376156.unknown _1182376154.unknown _1182376145.unknown _1182376149.unknown _1182376151.unknown _1182376152.unknown _1182376150.unknown _1182376147.unknown _1182376148.unknown _1182376146.unknown _1182376141.unknown _1182376143.unknown _1182376144.unknown _1182376142.unknown _1182376139.unknown _1182376140.unknown _1182376138.unknown _1182376128.unknown _1182376132.unknown _1182376134.unknown _1182376135.unknown _1182376133.unknown _1182376130.unknown _1182376131.unknown _1182376129.unknown _1182376124.unknown _1182376126.unknown _1182376127.unknown _1182376125.unknown _1182376122.unknown _1182376123.unknown _1182376121.unknown _1182376104.unknown _1182376112.unknown _1182376116.unknown _1182376118.unknown _1182376119.unknown _1182376117.unknown _1182376114.unknown _1182376115.unknown _1182376113.unknown _1182376108.unknown _1182376110.unknown _1182376111.unknown _1182376109.unknown _1182376106.unknown _1182376107.unknown _1182376105.unknown _1182376096.unknown _1182376100.unknown _1182376102.unknown _1182376103.unknown _1182376101.unknown _1182376098.unknown _1182376099.unknown _1182376097.unknown _1182376091.unknown _1182376093.unknown _1182376095.unknown _1182376092.unknown _1182376089.unknown _1182376090.unknown _1182376088.unknown _1182376055.unknown _1182376071.unknown _1182376079.unknown _1182376083.unknown _1182376085.unknown _1182376086.unknown _1182376084.unknown _1182376081.unknown _1182376082.unknown _1182376080.unknown _1182376075.unknown _1182376077.unknown _1182376078.unknown _1182376076.unknown _1182376073.unknown _1182376074.unknown _1182376072.unknown _1182376063.unknown _1182376067.unknown _1182376069.unknown _1182376070.unknown _1182376068.unknown _1182376065.unknown _1182376066.unknown _1182376064.unknown _1182376059.unknown _1182376061.unknown _1182376062.unknown _1182376060.unknown _1182376057.unknown _1182376058.unknown _1182376056.unknown _1182376038.unknown _1182376046.unknown _1182376051.unknown _1182376053.unknown _1182376054.unknown _1182376052.unknown _1182376048.unknown _1182376050.unknown _1182376047.unknown _1182376042.unknown _1182376044.unknown _1182376045.unknown _1182376043.unknown _1182376040.unknown _1182376041.unknown _1182376039.unknown _1182376030.unknown _1182376034.unknown _1182376036.unknown _1182376037.unknown _1182376035.unknown _1182376032.unknown _1182376033.unknown _1182376031.unknown _1182376026.unknown _1182376028.unknown _1182376029.unknown _1182376027.unknown _1182376024.unknown _1182376025.unknown _1182376023.unknown _1182375956.unknown _1182375989.unknown _1182376005.unknown _1182376014.unknown _1182376018.unknown _1182376020.unknown _1182376021.unknown _1182376019.unknown _1182376016.unknown _1182376