LastrevisedbyLELEin2021关于高等数学大一上学期知识要点高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；①、定理若,则(加减运算)(乘法运算)(除法运算)推论1:(为正整数)推论2:②结论1:结论2:是基本初等函数，其定义区间为D，若，则2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；①定义1:若或（）则称是当(或)时的无穷小.定义2:是自变量在同一变化过程中的无穷小:若,则称与是等价无穷小,记为.②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理)设,且存在,则.(因式替换原则)常用等价无穷小:3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；①准则I(夹逼准则)若数列(n=1,2,…)满足下列条件:(1);(2),则数列的极限存在,且.②准则II:单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。5、利用洛必达法则。未定式为类型.①定理(时的型):设(1);(2)在某内,及都存在且;二、求导数和微分：1.定义①导数：函数在处的导数：函数在区间I上的导函数：②函数的微分：2.导数运算法则（须记住P140导数公式）函数和差积商求导法则：函数、可导，则：②反函数求导法则：若的导数存在且，则反函数的导数也存在且为③复合函数求导法则(链式法则)：可导，可导，则可导，且④隐函数求导法则:⑤参数方程求导法则:若则.3.微分运算法则三、求积分：1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。性质1：性质2：性质3：性质4：(去绝对值,分段函数积分)性质5：2.计算公式：P186基本积分
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；P203常用积分公式；①第一换元法(凑微分)：②第二换元法：③分部积分法：分部化简;循环解出;递推公式④有理函数积分：混合法(赋值法+特殊值法)确定系数⑤牛顿莱布尼茨公式：⑥定积分换元法：（换元换限，配元(凑微)不换限）⑦定积分分部积分法：⑧结论(偶倍奇零)：①若函数为偶函数，则。②若函数为奇函数，则注意:1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2.定积分几何意义求一些特殊的积分(如)⑨变限积分求导四、微分和积分的应用判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形判断单调性：第一步：找使的点和不可导点。第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论的正负，函数递增，函数递减。判断凹凸性：第一步：找使的点和不可导点。第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论的正负，，是凹区间，，是凸区间。（拐点：左右两边的符号相反）判断函数极值：第一步：找使的点和不可导点。第二步：判断这些点两边的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。定积分的几何应用---求面积，体积和弧长y=f上(x)y=f下(x)Oxyab所求图形的面积为：yydydOxycy所求图形的面积为：旋转体：由连续曲线yf(x)、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。Oxbayy旋转体：由连续曲线、直线yc、yd及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体定积分的物理应用变力沿直线做功；水(侧)压力；引力思路:建立坐标系，选取积分变量(如x)，在[x,x+dx]上给出微元第六空间解析几何向量在坐标轴上的投影分别为：；在坐标轴上的分量分别为：。，2.利用坐标作向量的线性运算，，数量积(数):向量积(向量)，，且，构成右手系，(几何意义:平行四边形的面积)3．向量之间的关系4．平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。①点法式方程：设平面过点法向量(其中不全为0),则平面的方程为②一般方程：[当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;当A=0时,By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面;Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面;Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面Cz+D=0表示平行于xoy面的平面;Ax+D=0表示平行于yoz面的平面；By+D=0表示平行于zox面的平面]设平面∏1的法向量为，平面∏2的法向量为，则两平面夹角的余弦为：。平面外一点到平面的距离：5．空间直线及其方程一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：方向向量:②点向式方程方向向量:③参数方程(求交点)小结:通过向量的点积和叉积，将对平面和直线的研究转化为法向量和方向向量的研究.
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