UpdatedbyJackonDecember25,2020at10:00am面积计算奥数题六年奥数综合练习题十
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.要会计算面积,首先要能识别一些特别的图形:正方形、三角形、平行四边形、梯形等等,然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上,不但容易识别,而且容易计算. 上面左图是边长为4的正方形,它的面积是4×4=16(格);右图是3×5的长方形,它的面积是3×5=15(格). 上面左图是一个锐角三角形,它的底是5,高是4,面积是5×4÷2=10(格);右图是一个钝角三角形,底是4,高也是4,它的面积是4×4÷2=8(格).这里特别说明,这两个三角形的高线一样长,钝角三角形的高线有可能在三角形的外面. 上面左图是一个平行四边形,底是5,高是3,它的面积是5×3=15(格);右图是一个梯形,上底是4,下底是7,高是4,它的面积是 (4+7)×4÷2=22(格). 上面面积计算的单位用“格”,一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积 用直线组成的图形,都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是: 三角形面积=底×高÷2. 这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用. 例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢? 解:三角形ABD与三角形ADC的高相同. 三角形ABD面积=4×高÷2. 三角形ADC面积=2×高÷2. 因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意:三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高. 例2右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积. 解:BC=2+4+2=8. 三角形ABC面积=8×4÷2=16. 我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半. 三角形DFE面积=16÷4=4. 例3右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积. 解:ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长. 而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是 FE×BE÷2, 它恰好是长方形ABEF面积的一半. 同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半. 因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是 20×12÷2=120. 通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半. 例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少? 解:把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC. 对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此 面积=4×10÷2=20. 对三角形ADC来说,DC是底边,高是8,因此 面积=7×8÷2=28. 四边形ABCD面积=20+28=48. 这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面. 例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积. 解:要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积 三角形ABE面积=3×6×2=9. 三角形BCF面积=6×(6-2)÷2=12. 三角形DEF面积=2×(6-3)÷2=3. 我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出: 三角形BEF面积=6×6-9-12-3=12. 例6在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影部分)的面积. 解:四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积. 把M与C用线段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×2÷2=7. 因为M是线段DE的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是7÷2=. 因为BE=8是CE=2的4倍,三角形MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是 ×4=14. 长方形ABCD面积=7×(8+2)=70. 四边形ABMD面积=70-7-14=49.二、有关正方形的问题 先从等腰直角三角形讲起. 一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度),还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形. 两个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形,如图(a).四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图(b). 一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图(a)知,它的面积是 直角边长的平方÷2. 当知道它的斜边长,从图(b)知,它的面积是 斜边的平方÷4 例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积. 解:从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2=32. 这一个图形的面积是 32+16+8+4+2+1=63. 例8如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么图中阴影部分的总面积是多少? 解:为了说明的方便,在图上标上英文字母D,E,F,G. 三角形ABC的面积=2×2÷2=2. 三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形. 三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形ADE面积=ABC面积×2=4. 三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2=1. 阴影部分的总面积是4+1=5. 例9如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7,BC=3,三个角的度数:角B和D是直角,角A是45°.求这个四边形的面积. 解:这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE. 因为 A是45°,角D是90°,角E是 180°-45°-90°=45°, 所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形. 四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即 7×7÷2-3×3÷2=20. 这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角A是45°,这一条件还用得上吗?图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角,你应首先考虑等腰直角三角形. 现在我们转向正方形的问题. 例10在右图11×15的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少? 解:长方形的宽,是“一”与“二”两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和. 长-宽=15-11=4 是“三”正方形的边长. 宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和,因此 中间小正方形边长=11-4×2=3. 中间小正方形面积=3×3=9. 如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了. 例11从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积. 解:剩下的长方形土地,我们已知道 长-宽=1(米). 还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢? 如果能求出,那么与上面“差”的算式就形成和差问题了. 我们把长和宽拼在一起,如右图. 从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和. 可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米. 现在,我们就可以算出大正方形面积: ×4+1×1=64(平方米). 64是8×8,大正方形边长是8米,也就是说长方形的 长+宽=8(米). 因此 长=(8+1)÷2=(米). 宽==(米). 那么划出的长方形面积是 ×1=4.5(平方米). 例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形AEG(阴影部分)的面积. 解:四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此 四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2 三角形ADG是直角三角形,它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长),因此 三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2. 四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此,三角形AEH与三角形HCG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有 阴影部分面积=三角形ECG面积 =小正方形面积的一半 =6×6÷2=18. 十分有趣的是,影阴部分面积,只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积 这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会. 例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图),求它的面积. 解:直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算. 周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为的三角形有1个,因此围成面积是 4×4-3-5=. 例6与本题在解题思路上是完全类同的. 例14下图中ABCD是6×8的长方形,AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积. 解:三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此 三角形AEF面积=(三角形AEB面积)-(三角形AFB面积) =8×6÷2-4×8÷2 =8. 这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路. 例15下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积(阴影部分)有多大? 解:我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出,底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10×2的长方形面积相等. 可以设想,把这个平行四边形换成10×2的长方形,再把横竖两条都移至边上(如前页右图),草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小,因此 草地面积=(16-2)×(10-2)=112. 例16右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积. 解:实际上,阴影部分是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积. 阴影部分与三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出,ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影部分面积等于 梯形ABCD面积=(8+8-3)×5÷2=. 上面两个例子都启发我们,如何把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领,首先要提高对图形的观察能力. 例17下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求这个图形的面积. 解:两个直角三角形的面积是很容易求出的. 三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18. 三角形CDE面积=(4+4)×3÷2=12. 这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG,只要减去这个重叠部分,所求图形的面积立即可以得出. 因为AF=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三个面积相等的三角形. 因为CB=BD=4,所以CGB,BGD是两个面积相等的三角形. 2×三角形DEC面积 =2×2×(三角形GBC面积)+2×(三角形GCE面积). 三角形ABC面积 =(三角形GBC面积)+3×(三角形GCE面积). 四边形BCEG面积 =(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积) =(2×12+18)÷5 =. 所求图形面积=12+18-=. 例18如下页左图,ABCG是4×7长方形,DEFG是2×10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差. 解:三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和. (三角形BCM面积)-(三角形DEM面积) =(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和 =(7+10)×(4+2)÷2-(4×7+2×10) =3. 例19上右图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少?解:所求的影阴部分,恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分,而面积为13,49,35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分,因此 (三角形ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35) =(长方形面积)+(阴影部分面积). 三角形ABC,底是长方形的长,高是长方形的宽;三角形CDE,底是长方形的宽,高是长方形的长.因此,三角形ABC面积,与三角形CDE面积,都是长方形面积的一半,就有 阴影部分面积=13+49+35=97.