江苏省高考数学试卷（解析版）

第一试卷网Shijuan1.Com提供下载2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合，则_____.【答案】【解析】根据集合交集即可计算.【详解】∵,∴,故答案为：.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知是虚数单位，则复数的实部是_____.【答案】3【解析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据的平均数为4∴，即.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法 流程 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图，若输出的值为，则输入的值是_____.【答案】【解析】根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值.【详解】由于，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.【答案】【解析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【答案】【解析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以,故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知=，则的值是____.【答案】【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为,圆柱体积为所求几何体体积为,故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】,当时,故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【解析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.12.已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】∵,∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】【解析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．14.在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．【答案】【解析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.【详解】设圆心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）通过证明，来证得平面.（2）通过证明平面，来证得平面平面.【详解】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.【详解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以所以.由于，所以.所以.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2） 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在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）米【解析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得米（2）设总造价为万元，，设，(0舍去)当时，；当时，，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长；（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆的方程为,∴,由椭圆定义可得：.∴的周长为（2）设，根据题意可得.∵点在椭圆上，且在第一象限，∴,∵准线方程为,∴,∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为.（3）设，点到直线的距离为.∵，∴直线的方程为,∵点到直线的距离为，∴,∴,∴①∵②,∴联立①②解得，.∴或.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.19.已知关于x的函数与在区间D上恒有．（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；（3）若求证：．【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析【解析】（1）求得与的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式.（2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围.（3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有对任意的恒成立.令，则，所以.因此即对任意的恒成立，所以，因此.故.（2）令，.又.若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.当时，，符合题意.当时，在上递减，在上递增，则，即，符合题意.综上所述，.由当，即时，在为增函数，因为，故存在，使，不符合题意.当，即时，，符合题意.当，即时，则需，解得.综上所述，的取值范围是.（3）因为对任意恒成立，对任意恒成立，等价于对任意恒成立.故对任意恒成立令，当，，此时，当，，但对任意的恒成立.等价于对任意的恒成立.的两根为，则，所以.令，则.构造函数，，所以时，，递减，.所以，即.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列．（1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】（1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得；（3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）（2）,，,（3）假设存在三个不同的数列为数列.或或∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且或有两个不等的正根.可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.①当时，，即，此时，，满足题意.②当时，，即，此时，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点．（1）求实数，的值；（2）求矩阵的逆矩阵．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点∴,∴，解得（2）设，则∴，解得,∴【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．【答案】（1）（2）【解析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，，因为点为直线上，故其直角坐标方程为，又对应的圆的直角坐标方程为：，由解得或，对应的点为，故对应的极径为或.（2），，当时；当时，舍；即所求交点坐标为当【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C．[选修4-5：不等式选讲]23.设，解不等式．【答案】【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】或或或或,所以解集为【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.详解】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为,令设平面一个法向量为令,因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【解析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1），，（2），，因此，从而，即.又的分布列为012故.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.