3.2.2 直线的两点式方程导学案

3.2.2　直线的两点式方程[学习目标]　1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一　直线的两点式方程1.直线的两点式方程的定义eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))思考　若直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1＝x2或y1＝y2时，直线l的方程是什么？答　当x1＝x2时，直线l平行于y轴，此时的直线方程为x－x1＝0或x＝x1；当y1＝y2时，直线l平行于x轴，此时的直线方程为y－y1＝0或y＝y1.知识点二　直线的截距式方程1.直线l与x轴交点A(a,0)，与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则得直线方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，叫做直线的截距式方程.2.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2),y＝\f(y1＋y2,2))).思考　截距式方程能否 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示过原点的直线？答　不能.因为ab≠0，即有两个非零截距.题型一　直线的两点式方程例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得eq\f(y－－4,－2－－4)＝eq\f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0.故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝eq\f(5＋0,2)＝eq\f(5,2)，y0＝eq\f(－4＋－2,2)＝－3.∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))，又BC边上的中线经过点A(－3,2).∴由两点式得eq\f(y－2,－3－2)＝eq\f(x－－3,\f(5,2)－－3)，即10x＋11y＋8＝0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.反思与感悟　(1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线.跟踪训练1　(1)已知直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，求直线l的方程；(2)已知点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，求m的值；(3)三角形的三个顶点分别是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在的直线的方程.解　(1)因为点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程.故所求直线方程为x＝2.(2)由两点式方程，得过A，B两点的直线方程为eq\f(y－－1,4－－1)＝eq\f(x－2,－3－2)，即x＋y－1＝0.又因为点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.(3)由两点式，得边AB所在直线的方程为eq\f(y－－1,0－－1)＝eq\f(x－3,－1－3)，即x＋4y＋1＝0.同理，边BC所在直线的方程为eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即2x＋y－5＝0.边AC所在直线的方程为eq\f(y－3,0－3)＝eq\f(x－1,－1－1)，即3x－2y＋3＝0.题型二　直线的截距式方程例2　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.解　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴eq\f(4,a)＋eq\f(－3,b)＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.反思与感悟　1.当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解.2.选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.跟踪训练2　(1)求在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程；(2)求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解　(1)根据直线方程的截距式，得直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,4)＝1，化简得4x－3y＋12＝0.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1.又因为l过点A(3,4)，所以eq\f(3,a)＋eq\f(4,－a)＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为eq\f(x,－1)＋eq\f(y,1)＝1，即x－y＋1＝0.当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝eq\f(4,3)x，即4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.分类讨论思想例3　求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.分析　直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点(4,2)求得直线方程.解　当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意.此时，直线的斜率为eq\f(1,2)，所以直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.又因为过点A，所以eq\f(4,a)＋eq\f(2,b)＝1.　①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|.②由①②联立方程组，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.))所以所求直线的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,6)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,－2)＝1，化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，综上，直线l的方程为x－2y＝0x＋y－6＝0，x－y－2＝0.解后反思　截距式方程不能表示过原点的直线，因而在未明确截距与0的关系时，要分截距为0和不为0两大类来讨论.另外截距有正有负，求解问题时要注意.1.已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是(　　)A.2x－3y＝4B.2x－3y＝0C.3x－2y＝4D.3x－2y＝0答案　A解析　∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上.同理(x2，y2)也在直线2x－3y＝4上.由两点确定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3y＝4.2.过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为(　　)A.4x－5y＋13＝0B.4x＋5y＋3＝0C.5x＋4y＋5＝0D.5x－4y＋8＝0答案　B解析　∵直线过点(－2,1)和(3，－3)，∴eq\f(y－1,－3－1)＝eq\f(x－－2,3－－2)，∴eq\f(y－1,－4)＝eq\f(x＋2,5)，化简得4x＋5y＋3＝0.3.过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条答案　B解析　当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条.4.过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)A.2x＋y－12＝0B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C.x－2y－1＝0D.x＋2y－9＝0或2x－5y＝0答案　D解析　当y轴上截距b＝0时，设直线方程为y＝kx.将点(5,2)代入，得y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0.当b≠0时，设直线方程为eq\f(x,2b)＋eq\f(y,b)＝1，将点(5,2)代入，得eq\f(5,2b)＋eq\f(2,b)＝1，解得b＝eq\f(9,2)，即直线方程为eq\f(x,9)＋eq\f(y,\f(9,2))＝1.整理，得x＋2y－9＝0.故选D.5.下列四个结论：①方程k＝eq\f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；④所有的直线都有点斜式和截距式方程.正确的为________.(填序号)答案　②③解析　①中两个方程的定义域不同；④中倾斜角为90°的直线没有点斜式方程，也没有截距式方程，倾斜角为0°的直线没有截距式方程.1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.3.对称问题的解决(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式.(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决.(3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解.(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.一、选择题1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)A.可以写成两点式或截距式B.可以写成两点式或斜截式或点斜式C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案　B解析　由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式.故选B.2.直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1过第一、二、三象限，则(　　)A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0答案　C解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.3.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)A.3x－y－8＝0B.3x＋y＋4＝0C.3x－y＋6＝0D.3x＋y＋2＝0答案　B解析　kAB＝eq\f(1－3,－5－1)＝eq\f(1,3)，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.4.已知△ABC三顶点坐标A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)A.2x＋y－8＝0B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0D.2x－y－12＝0答案　A解析　由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，即2x＋y－8＝0.5.两条直线l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)答案　A解析　化为截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,－b)＝1，eq\f(x,b)＋eq\f(y,－a)＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合.6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)A.2x＋y－7＝0B.x＋y－5＝0C.2y－x－4＝0D.2x－y－1＝0答案　B解析　因为点P的横坐标为2，所以点P的纵坐标为3，所以P(2,3).又因为|PA|＝|PB|，所以PA，PB的斜率互为相反数，所以PB的斜率为－1，所以直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.7.直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是(　　)A.eq\f(1,2)abB.eq\f(1,2)|ab|C.eq\f(1,2ab)D.eq\f(1,2|ab|)答案　D解析　直线ax＋by＝1可化成eq\f(x,\f(1,a))＋eq\f(y,\f(1,b))＝1.因为直线在两坐标轴上的截距分别为eq\f(1,a)和eq\f(1,b)，所以S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＝eq\f(1,2|ab|).二、填空题8.已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于______.答案　12解析　AB所在直线方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则eq\f(x0,3)＋eq\f(y0,4)＝1，即4x0＋3y0＝12.9.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_________________________________________________________________.答案　eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1解析　设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6).则l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1.10.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.答案　3或－3解析　设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－eq\f(d,3)，－eq\f(d,4)，∴6＝eq\f(1,2)×|－eq\f(d,3)|×|－eq\f(d,4)|＝eq\f(d2,24)，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.11.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.答案　3解析　直线AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq\f(3,4)y，∴xy＝3y－eq\f(3,4)y2＝eq\f(3,4)(－y2＋4y)＝eq\f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.三、解答题12.已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0).求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程.解　(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线.因为线段AB、AC中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，所以这条直线的方程为eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x＋\f(1,2),\f(7,2)＋\f(1,2))，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为eq\f(x,\f(13,6))＋eq\f(y,－\f(13,8))＝1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为eq\f(y＋4,3＋4)＝eq\f(x－1,2－1)，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为eq\f(x,\f(11,7))＋eq\f(y,－11)＝1.13.已知直线l：y＝－eq\f(1,2)x＋1，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋1,x0＋2)×－\f(1,2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝－\f(1,2)·\f(x0－2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(2,5)，,y0＝\f(19,5)，))即P′点的坐标为(eq\f(2,5)，eq\f(19,5)).直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y′,x－x′)×－\f(1,2)＝－1，,\f(y＋y′,2)＝－\f(1,2)·\f(x＋x′,2)＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(3x－4y＋4,5)，,y′＝\f(－4x－3y＋8,5).))把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，即直线l2的方程为7x－y－14＝0.(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x1,2)＝1，,\f(y＋y1,2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2－x，,y1＝2－y.))将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.