15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、有向图 电路的图是电路拓扑结构的抽象描述，若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。 有向图的性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。 二、关联矩阵1、支路和结点关联 设一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。2、关联矩阵 设有向图的结点数为n，支路数为b，且所有结点与支路均加以编号。 于是，该有向图的关联矩阵为一个(n×b)阶的矩阵，用Aa表示。 它的行对应结点，列对应支路。 它的任一元素ajk定义如下：它的任一元素ajk定义如下： ajk=+1，表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点； ajk=-1，表示支路k与结点j关联并且它指向结点； ajk=0，表示支路k与结点j无关联。Aa=1234123456-10+10-100+1+1-1000-1+1000+1-10+10-13、降阶关联矩阵 当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的。 或者说按Aa的每一列只有+1和-1两个非零元素这一特点。Aa中的任一行必能从其他(n-1)行导出。 如果把Aa的任一行划去，剩下的(n-1)×b矩阵用A表示，并称为降阶关联矩阵。 今后主要用这种降阶关联矩阵，往往省去“降阶”二字。 123456降阶关联矩阵A=被划去的行对应的结点可以当作参考结点。4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示 i=[i1i2…ib]TAi=结点1上的∑i结点2上的∑i……结点(n-1)上的∑i因此有用矩阵A表示的KCL的矩阵形式Ai=0A=Ai==-i1+i4+i5i1-i2+i3-i3-i4+i6=0例如：5、用矩阵A表示的KVL的矩阵形式电路中的b个支路电压可以用一个b阶列向量表示 u=[u1u2…ub]T(n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示 un=[un1un2…un(n-1)]T用矩阵A表示的KVL的矩阵形式u=ATun 上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压表示，这正是结点电压法的思想。（注：转置矩阵：A的每一行是AT的每一列）A===un1un2un3+un3+un3-un2-un2-un1-un1u=ATun例如：④是参考节点，电压为零三、回路矩阵1、独立回路矩阵：简称回路矩阵。一回路由某些支路组成，则这些支路与该回路关联。设有向图的独立回路数为l，支路数为b，对所有独立回路和支路均加以编号，于是，该有向图的回路矩阵是一个l×b的矩阵，用B表示。 B的行对应一个回路，列对应于支路， 它的任一元素，bjk定义如下： bjk=+1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向一致； bjk=-1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向相反； bjk=0，表示支路k与回路j无关联。B=1231234560001-11345261①②③④1231010-11011001例如：独立回路数为3，选其中一组2、基本回路矩阵 如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵，用Bf表示。 写Bf时，注意安排其行列次序如下： 1、把l条连支依次排列在对应于Bf的第1到第l列，然后再排列树支； 2、取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，（二者要一致） 3、以该连支的方向为对应的回路的绕行方向， Bf中将出现一个l阶的单位子矩阵， 即有Bf=[1l|Bt]l和t分别表示与连支和树支对应的部分Bf=123124356345261①②③④123选3，5，6为树支基本回路矩阵1l每一行中只有一个元素为1，是一个l阶的单位子矩阵1l3、用回路矩阵B表示的KVL的矩阵形式Bu=回路1中的∑u回路2中的∑u……回路l中的∑u因此有Bu=0电路中的b个支路电压 u=[u1u2…ub]T回路矩阵左乘支路电压，345261①②③④Bu==+u6u1u2+u3u4-u5+u3+u6+u6-u5=0123例如：用回路矩阵B表示的KVL的矩阵形式：4、用矩阵B表示的KCL的矩阵形式l个独立回路电流可用一个l阶列向量表示il=[il1il2…ill]Ti=BTil各支路电流 上式表明电路中各支路电流可以用与该支路关联的所有回路中的回路电流表示，这正是回路电流法的基本思想。BT的列对应于回路，行对应一个支路，B的行对应一个回路，列对应于支路，345261①②③④123==il1il2il1+il2il3-il1-il3il1+il2+il3i=BTil=例如：用矩阵B表示的KCL的矩阵形式：四、割集矩阵设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联。支路与割集的关联性质可用割集矩阵描述。下面仅介绍独立割集矩阵，简称割集矩阵。移去割集所有支路，G被分割成两部分后，从其中一部分指向另一部分的方向。每一个割集只有两个可能的方向。割集方向：设有向图的结点数为n，支路数为b，则该图的独立割集数为(n-1)。对每个割集编号，并指定一个割集方向。割集矩阵为一个(n-1)×b的矩阵，用Q表示。Q的行对应割集，列对应支路。割集矩阵Q的任一元素qjk定义如下：qjk=+1，表示支路k与割集j关联，并且它们的方向一致；qjk=-1，表示支路k与割集j关联，并且它们的方向相反；qjk=0，表示支路k与割集j无关联。1、独立割集矩阵（简称割集矩阵）割集矩阵Q=123123456345261①②③④-1-10-101-1-11000100110选支路3、5、6为树支，独立割集数为3Q1Q2Q3例如：2、基本割集矩阵 如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵就称为基本割集矩阵，用Qf表示。 写Qf时，注意安排其行列次序如下：1、把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第(n-1)列，然后再排列连支；2、取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同，3、选割集方向与相应树支方向一致， 则Qf有如下形式Qf=[1t|Ql]式中下标t和l分别表示对应于树支和连支部分。Qf=123345261①②③④-1-10-101-1-11000100110选支路3、5、6为树支Q1Q2Q3例如：356124写出基本割集矩阵Qf：3、用割集矩阵Q表示的KCL的矩阵形式Qi=0Qi==-i1-i2+i6-i1-i2+i3i1+i4+i5=0-i4即：属于一个割集的所有支路电流的代数和等于零（支路电流i=[i1i2…ib]T）Q1Q2Q34、用基本割集矩阵Qf表示的KVL的矩阵形式 由于通常选单树支割集为独立(基本)割集，此时树支电压又可视为对应的割集电压，所以ut又是基本割集组的割集电压列向量。 由于Qf的每一列，也就是QfT的每一行，表示一条支路与割集的关联情况，按矩阵相乘的规则可得支路电压：u=QfTut 上式表明电路的支路电压可以用树支电压（割集电压）表示，这就是割集电压的基本思想。假设(n-1)个树支电压：ut=[ut1ut2…ut(n-1)]T=支路电压u=[u3u5u6u1u2u4]Tut1ut2ut3-ut1+ut2-ut3-ut1-ut3ut2-ut3u=QfTut=割集(树支)电压：ut=[ut1ut2ut3]T选支路3、5、6为树支356124123
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