考点跟踪训练方案设计型问题

RevisedbyBLUEontheafternoonofDecember12,2020.考点跟踪训练方案设计型问题考点跟踪训练42　方案设计型问题一、选择题1．一宾馆有双人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间(每种房间至少有一间)，如果每个房间都住满，租房方案有(　　)A．4种B．3种C．2种D．1种答案　A解析　分类讨论：二人间、三人间、四人间分别为(1,2,3)、(2,4,1)、(3,2,2)、(5,2,1)，有4种租房方案．2．(2010·乌鲁木齐)有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片(　　)A．2张B．4张C．6张D．8张答案　B解析　要想拼成一个大正方形，即所用的正方形纸片与长方形纸片的面积需构成一个正方形，由完全平方公式，a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，还需4张面积为b2的正方形．3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(11,1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有(　　)A．4个B．6个C．8个D．10个答案　C解析　根据A、B两点的坐标，可知直线AB∥x轴，则到直线AB的距离为4的点在平行于直线AB的直线上且距离为4，有两条直线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以AB的中点为圆心，5为半径画弧与两直线的交点即为直角三角形的第三个顶点；若AB是直角边，则满足条件的有4个点(1,5)、(1，－3)、(11,5)、(11，－3)；若AB是斜边，设C(x,5)，过C作AB边上的高，由射影定理得，42＝(x－1)(11－x)，解得x1＝3，x2＝9，所以有(3,5)、(9,5)，根据对称性，得另外两点(3，－3)、(9，－3)．所以共有8个点符合要求．4．一次比赛期间，体育场馆要对观众进行安全检查．设某体育馆在安检开始时已有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加．又设各安检人员的安检效率相同．若用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用6名工作人员进行安检，时间则缩短为10分钟．现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排多少名工作人员进行安检(　　)A.9B．10C．11D．12答案　C解析　假设开始时已有m人等候安检，设工作人员每分钟检测x人，观众每分钟增加y人，至少安排z名工作人员安检，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x·25＝m＋25y，①,6x·10＝m＋10y，②,zx·5≥m＋5y，③))①－②，得15x＝15y，x＝y，把x＝y代入②，有60x＝m＋10x，m＝50x.∴zx·5≥50x＋5x,5xz≥55x，z≥11.∴至少要按排11名工作人员进行安检．二、解答题5．认真观察图1的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：__________________________________________________；特征2：__________________________________________________.(2)请在图2中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．解　(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等．(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个，即可以得满分．6．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图1、图2、图3)．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．解7．三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离(看守点到本区域内最远处的距离)相等．按照这两个原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点)看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：(1)牧童B的划分方案中，牧童______(填A、B或C)在有情况时所需走的最大距离较远；(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则，为什么(提示：在计算时可取正方形边长为2)解　(1)C；易得A、B的距离相等，设正方形的边长为1，他们到最远处的距离为这个直角三角形斜边的一半，根据勾股定理进行计算可得C的距离最大．(2)分别计算A、C的面积，比较它们是否相等再作出判断．牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．理由如下：如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN＝NP＝HG.可知EN＝NF，S矩形HENM＝S矩形MNFP.取正方形边长为2，设HD＝x，则HE＝2－x.在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN＝HG得：EH2＋EN2＝DH2＋DG2.即：(2－x)2＋12＝x2＋22.解得：x＝eq\f(1,4).∴HE＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).∴S矩形HENM＝S矩形MNFP＝1×eq\f(7,4)＝eq\f(7,4)，S矩形DHPG＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).∴S矩形HENM≠S矩形DHPG.∴牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形．(保留作图痕迹，不要求写作和证明)解　作法一：作AB边上的中线；作法二：作∠CBA的平分线；作法三：在CA上取一点D，使CD＝CB.9．某一广场进行装修，所用三种板材(a＝×，b＝×，c＝×规格如图所示(单位：米)．(1)根据铺设部分面积的不同大小，设计如下列图案1、2、3有一定规律的图案；中间部分由a种板材铺成正方形，四周由b种和c种板材镶边．①请直接写出图案2的面积；②若某一图案的面积为m2，求该图案每边有b种板材多少块(2)在第(1)题②所求图案的基础上，根据实际需要，中间由a种板材铺成的部分要设计成长方形，四周仍由b和c种板材镶边，要求原有的三种板材不能浪费，如果需多用材料，只能用b种板材不超过6块，请求出其余的铺设方案．解　(1)①.②设每边有b种板x块，依题意得：＋×2)2＝，整理为：＋＝±，解得：x1＝6，x2＝－(舍去)．∴x＝6.∴该图案每边有b种板材6块．(2)依题意，中间部分的a板材共有36块，36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6.i)b种板材共需(36＋1)×2＝74块；ii)b种板材共需(18＋2)×2＝40块；iii)b种板材共需(12＋3)×2＝30块；iv)b种板材共需(9＋4)×2＝26块．依题意，b种板材最多可用6×4＋6＝30块．∴符合条件的其余的铺设方案有2种．10．(2011·广安)广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠解　(1)设平均每次下调的百分率x，则6000(1－x)2＝4860，解得：x1＝，x2＝(舍去)．∴平均每次下调的百分率为10%.(2)方案①可优惠：4860×100×(1－＝9720(元)．方案②可优惠：100×80＝8000(元)．∴方案①更优惠．11．(2011·綦江)为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%.实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水．(1)请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元(2)请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；(3)若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在(2)的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少(总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费)解　(1)设一台甲型设备的价格为x万元，由题3x＋2×75%x＝54，解得x＝12,12×75%＝9.∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格为9万元．(2)设二期工程中，购买甲型设备a台，由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12a＋98－a≤84，,200a＋1608－a≥1300，))解得：eq\f(1,2)≤a≤4.由题意a为正整数，∴a＝1,2,3,4.∴所有购买方案有四种，分别为：方案一：甲型1台，乙型7台；方案二：甲型2台，乙型6台；方案三：甲型3台，乙型5台；方案四：甲型4台，乙型4台．(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，W＝12a＋9(8－a)＋1×10a＋×10(8－a)，化简得：W＝－2a＋192，∵W随a的增大而减少，∴当a＝4时，W最小(逐一验算也可)．∴按方案四，甲型购买4台，乙型购买4台的总费用最少．12．(2011·荆州)2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示的函数对应关系.型号　金额　　　Ⅰ型设备Ⅱ型设备投资金额x(万元)x5x24补贴金额y(万元)y1＝kx(k≠0)2y2＝ax2＋bx(a≠0)(1)分别求出y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．解　(1)由题意得：①5k＝2，k＝eq\f(2,5)，∴y1＝eq\f(2,5)x.②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＝，,16a＋4b＝，))解之，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,5)，,b＝\f(8,5)，))∴y2＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(8,5)x.(2)设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资(10－t)万元，共获补贴Q万元．∴y1＝eq\f(2,5)(10－t)＝4－eq\f(2,5)t，y2＝－eq\f(1,5)t2＋eq\f(8,5)t，Q＝y1＋y2＝4－eq\f(2,5)t－eq\f(1,5)t2＋eq\f(8,5)t＝－eq\f(1,5)(t－3)2＋eq\f(29,5).∴当t＝3时，Q有最大值为eq\f(29,5)，此时10－t＝7(万元)．即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴万元．