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理科一模参考答案2009年石景山区高三统一测试数学（理科）参考答案一、选择
题
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：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案DABDBACA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．题号91011121314答案,①③④注：第12、13题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分分）解：（Ⅰ）由题意得：，………………2分 ∴ ，即．………………4分 ∵ 为锐角， ∴ ,即．………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∴． ………………9分因为，所以，因此，当时，有最大值；当时，有最小值．所以函数的值域是.………………13分16．（本题满分分）解：（Ⅰ）设、两项技术指标达标的概率分别为、．由题意得：，解得：．………………4分∴ 一个零件经过检测为合格品的概率．………6分（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为：．………………9分（Ⅲ）依题意知 ～，，．………………13分17．（本题满分分）解法一：（Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连结．∵是正三角形，∴．又底面侧面，且两平面交线为，∴侧面．连结，则为直线与侧面所成的角．∴．………………2分在中，，解得．∴此正三棱柱的侧棱长为．………………4分（Ⅱ）过作于，连结．∵侧面，∴是在平面内的射影．由三垂线定理，可知．∴为二面角的平面角．………………6分在中，，又，，∴．又，∴在中，．………………8分故二面角的大小为．………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，∴平面平面，且交线为，过作于，则平面．∴的长为点到平面的距离．………………10分在中，．…………12分∵为中点，∴点到平面的距离为．…………14分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系．则．设为平面的法向量．由，得．取．…………6分又平面的一个法向量．…………7分∴．…………8分结合图形可知，二面角的大小为．…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ），，．…………10分∴点到平面的距离．∴点到平面的距离为．…………14分18．（本题满分分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，∵,，∴，即.∴.………………3分所以数列的通项公式.………………5分（Ⅱ）∵，,∴.………………7分∵当≥时，,∴数列是等比数列，首项，公比．………………9分∴．………………11分∵，又不等式恒成立，而单调递增，且当时，，∴≥.………………13分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）设双曲线的方程是（，），则由于离心率，所以，．从而双曲线的方程为，且其右焦点为（，0）．把直线的方程代入双曲线的方程，消去并整理，得．设，，则，．由弦长公式，得=6．所以，． 从而双曲线的方程是．………………5分（Ⅱ）由和，消去，得．根据条件，得且. ∴.设，，则，.由于以线段为直径的圆过原点，所以.即.从而有，即.…………8分∴点到直线：的距离为:.………………10分由≥，解得且．由，解得.所以当时，取最大值，此时.因此的最大值为，此时直线的方程是.………………14分20．（本题满分分）解：（Ⅰ）同学甲的判断不正确.依题意，，∴.当时，；当时，.所以，在上递增，在上递减.………………4分（Ⅱ）,记，∵，所以在上为减函数，则.∵，∴，即.………………9分（Ⅲ）同学乙的判断正确.∵，且当时，，又由（Ⅱ）知当时，，∴当时，，则的图象如下图所示.∴总存在正实数,且，使得.即,即，此时.………………13分1aebx0y注：若有其它解法，请酌情给分．
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