轴对称现象及简单的轴对称图形

轴对称现象及简单的轴对称图形 轴对称现象及简单的轴对称图形 知识梳理 1．​ 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2．​ 轴对称：对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形的对应点叫做对称点。 3．​ 轴对称的性质 (1)​ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等；（3）对应角相等 4．​ 利用轴对称的性质作图 5．等腰三角形定义及性质 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 性质：两边相等，两底角相等，底边上的“三线合一”。 判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形 （2）有两个角相等的三角形也是等腰三角形 6．等边三角形定义及性质 定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。 性质：三边相等，三个角相等都是60°，三边上的“三线合一” 判定：（1）三边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 7．垂直平分线的概念及性质 （1）概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线的垂直平分线，简称中垂线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 8．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 9．垂直平分线及角平分线的画法 例题精讲 考点1．轴对称图形与成轴对称 例1．下列图形中，轴对称图形是（ ） A．（1），（2） B．（1），（4） C．（2），（3） D．（3），（4） 变式1．下列语句中：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④轴对称图形的两个对应点一定在对称轴的两侧.正确的有 （ ） A．1个 B．2 C．3 D．4 变式2．将一正方形纸片按图1中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（ ） 变式3．小华在镜中看到身后墙上的钟如下，你认为实际时间最接近8点的是（ ） A B C D 小结： 考点2． 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计 例2．如图，是由三个阴影小正方形组成的图形，请在三个网格中各补画出一个有阴影的小正方形，使阴影组成的图形为轴对称图形 变式1．如图，把图中的某两个小方格图上阴影，使整个图形是以线段所在直线为对称轴的轴对称图形。 小结： 考点3．轴对称的性质 例3.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′ 的位置．若∠EFB′=65°，求∠AED′ 的度数？ 变式1．如图所示，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB与于点E，DF⊥AC，试说明E，F关于AD对称。 变式2．如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于直线AO，BO的对称点，连接MN，与AO交于点E，与BO交于点F，若△PEF的周长是15，求MN的长？ 小结： 考点4．轴对称的探索性问题 例4.如图，MN是一条河，A、B两点表示河同侧的两个牧场，要在河岸MN上修建一水塔C，使A，B两牧场到水塔C的距离之和最短，试确定水塔C的位置。 变式1．如图，点M，N分别为△ABC的边BC，AC上的点，在AB上找一点P，使△PMN的周长最短。 小结： 考点5．等腰（等边）三角形 例5.在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数。 变式1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F。 △​ AEF是等腰三角形吗？说明理由 变式2．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，试说明：AE=CD 小结： 考点2．垂直平分线 例2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC与E，连接CD，求∠DCB的度数。 变式1. 如图所示，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长。 小结： 考点3.角平分线 例3.如图，BC交∠A的两边于B,C两点，∠FCB的平分线与∠GBC的平分线相交于点P，试说明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等。 变式1 . 如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D， （1）OC=OD吗？为什么？(3分) （2）求证OP是线段CD的中垂线。 变式2 .如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若AB=16cm，求△DBE的周长. 小结： 考点4．尺规作图 例4.如图7—114，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短． 变式1 .八年级和九年级有两个班的学生在M，N处参加植树活动，现要在如图所示的道路AB，AC所夹区域内（∠BAC内部）设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你设法找出P点。 小结： 过关检测 1. 下列图形中,是轴对称图形的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.从镜子中看到钟的时间是8点25分，正确的时间应是几点？( ) A.3点25分 B.3点30分 C.3点35分 D.3点45分 3. 下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ） 4. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个. ①角；②线段；③等腰三角形；④等边三角形；⑤三角形 . A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个 5．如图1，将长方形 纸片沿对角线 折叠，使点 落在 处， 交AD于E，若 ，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中 的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图2，△AOD关于直线 进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是（ ）. A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线 垂直平分AB、CD C．△AO D和△BOC均是等腰三角形 D．AD=BC，OD=OC 7．将一个正方形纸片依次按图 ，图 的方式对折，然后沿图 中的虚线裁剪， 最后将图 的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）. a b c d 8．如图3，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm， △ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长 为（ ） 9．图4是小明在平面镜里看到的电子钟示数，这时的实际时间是（ ） A．12:01 B．10:51 C．10:21 D．15:10 10.已知互不平行的两条线段AB，A′B′关于直线 对称，AB和A′B′所在直线交于点P，且A′，B′的对称点分别是A，B，则下面的结论正确的有（ ） ①AB=A′B′；②点P在直线 上；③ 垂直平分线段AA′;④PB=P B′ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11.从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是 ，则该车的后5位号码实际是 . 12. 如图8，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是 . 13．如图9，在 中， ，AB=25cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若 的周长为43cm，则底边BC的长为 . 14．如图10，把宽为2cm的纸条 沿 同时折叠， 、 两点恰好落在 边的 点处，若△PFH的周长为10cm，则长方形 的面积为 . 三、解答题 15．如图14，在正方形网格上有一个△ABC. （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积. 16.（1）观察图15①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征； 　 （2）借助图15⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与图14①～④的图案不能重合）． 17．如图16，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分 线相交于点D，∠ADC=125°. 求∠ACB和∠BAC的度数． 18．如图17，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高， 点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC． （1）试说明△AEF是等腰三角形； （2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由.