初中数学二次函数难题

1077676的初中数学二次函数组卷 1077676的初中数学二次函数组卷 　 一．选择题（共2小题） 1．如图，已知动点P在函数y= （x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（　　） 　 A． 4 B． 2 C． 1 D． 　 2．如图，抛物线y=x2﹣ x﹣ 与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　） 　 A． B． C． D． 　 二．解答题（共28小题） 3．已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0． （1）当m取何整数值时，关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0的根都是整数； （2）若抛物线y=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3向左平移一个单位后，过反比例函数y= （k≠0）上的一点（﹣1，3）， ①求抛物线y=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的解析式； ②利用函数图象求不等式 ﹣kx＞0的解集． 　 4．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+m+n=0①． （1）求证：方程①有两个实数根； （2）求证：方程①有一个实数根为1； （3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2﹣（2m+n）x+m+n的解析式； （4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离． 　 5．某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出．如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大（总利润=总收入﹣总成本）？ 　 6．（2004•长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E． （1）求证：△ABP∽△PCE； （2）求等腰梯形的腰AB的长； （3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由． 　 7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y， （1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长； （3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论． 　 8．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 　 9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2． （1）求A、C的坐标； （2）求直线AC和抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 　 10．（2006•达州）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x= ，O为坐标原点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求证：∠ACB是直角； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 　 11．（A）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围． （3）对于二次三项式x2﹣10x+36，小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由． 　 12．（2012•赤峰）如图，抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 　 13．如图1，抛物线y=nx2﹣11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°． （1）填空：点B的坐标为（　_________　），点C的坐标为（　_________　）； （2）连接OA，若△OAC为等腰三角形． ①求此时抛物线的解析式； ②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值． 　 14．（2008•濮阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由； （4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值． 　 15．（2002•哈尔滨）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 　 16．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1； （1）求a的值； （2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式． 　 17．如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长分别是抛物线y=x2+2mx+m2﹣9与x轴的两个交点的横坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由． 　 18．（2011•永州）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当x为何值时，y＞0？ （3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标． 　 19．（2009•江西）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式． 　 20．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D． （1）求点A、B、D的坐标； （2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式； （3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值． 　 21．（2004•哈尔滨）已知：抛物线y=﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D； （3）过（2）中的点E的直线y= x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 　 22．（2008•莆田）如图，抛物线c1：y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值； （3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？ 　 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）． （1）求抛物线及直线AC的解析式； （2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围）． 　 24．（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值； ②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答． 　 25．已知，如图，抛物线y= x2+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4． （1）直接写出点B，C的坐标及b的值； （2）过射线CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t． ①当0＜t＜4时，求线段MN的最大值； ②以点N为圆心，NM为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求此时点M的坐标． 　 26．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣1，3 （点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 　 27．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的顶点D的坐标； （2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长； （3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由． 　 28．（2011•攀枝花）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的关系式； （2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜xB＜ ，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式； （3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等？若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由． 　 29．如图1，抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：y=﹣ x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上． （1）求直线l的解析式； （2）如图2，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB= •tan∠FNM，求抛物线C1平移的距离； （3）将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，抛物线C3与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF为直角三角形，求抛物线C3的解析式． 　 30．（2009•湘西州）在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C． （1）求k的值； （2）求直线BC和抛物线的解析式； （3）求△ABC的面积； （4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标． 　 1077676的初中数学二次函数组卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共2小题） 1．如图，已知动点P在函数y= （x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（　　） 　 A． 4 B． 2 C． 1 D． 考点： 反比例函数综合题。1077676 专题： 动点型。 分析： 由于P的坐标为（a， ），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE． 解答： 解：∵P的坐标为（a， ），且PN⊥OB，PM⊥OA， ∴N的坐标为（0， ），M点的坐标为（a，0）， ∴BN=1﹣ ， 在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）， ∴NF=BN=1﹣ ， ∴F点的坐标为（1﹣ ， ）， 同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a）， ∴AF2=（﹣ ）2+（ ）2= ，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2， ∴AF2•BE2= •2a2=1，即AF•BE=1． 故选C． 点评： 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值． 　 2．如图，抛物线y=x2﹣ x﹣ 与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 二次函数综合题。1077676 分析： 首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x= 的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x= 的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度． 解答： 解：如图 ∵抛物线y=x2﹣ x﹣ 与直线y=x﹣2交于A、B两点， ∴x2﹣ x﹣ =x﹣2， 解得：x=1或x= ， 当x=1时，y=x﹣2=﹣1， 当x= 时，y=x﹣2=﹣ ， ∴点A的坐标为（ ，﹣ ），点B的坐标为（1，﹣1）， ∵抛物线对称轴方程为：x=﹣ = 作点A关于抛物线的对称轴x= 的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′， 连接A′B′， 则直线A′B′与x= 的交点是E，与x轴的交点是F， ∴BF=B′F，AE=A′E， ∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′， 延长BB′，AA′相交于C， ∴A′C= + +（1﹣ ）=1，B′C=1+ = ， ∴A′B′= = ． ∴点P运动的总路径的长为 ． 故选A． 点评： 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用． 　 二．解答题（共28小题） 3．已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0． （1）当m取何整数值时，关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0的根都是整数； （2）若抛物线y=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3向左平移一个单位后，过反比例函数y= （k≠0）上的一点（﹣1，3）， ①求抛物线y=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的解析式； ②利用函数图象求不等式 ﹣kx＞0的解集． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 计算题；数形结合。 分析： （1）原方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，因此分m=0和m≠0两种情况，先求出两种情况下方程的根，再由根是整数确m定的值． （2）①先表示出平移后的抛物线解析式，然后将点（﹣1，3）代入其中求解即可； ②根据反比例函数过（﹣1，3）确定k的值，然后分别作出y= 和y=kx的函数图象，找出前者的图象在后者上方的部分即可． 解答： 解：（1）当m=0时，x=1； 当m≠0，可解得x1=1，x2= =2﹣ ； ∴m=±1、±3时，x均有整数根； 综上可得m=0、±1、±3时，x均有整数根． （2）①抛物线向左平移一个单位后得到y=m（x+1）2﹣3（m﹣1）（x+1）+2m﹣3，过点（﹣1，3），代入解得：m=3； ∴抛物线解析式为y=3x2﹣6x+3． ②∵反比例函数y= （k≠0）经过点（﹣1，3）， ∴k=﹣1×3=﹣3； 作出y=kx、y= （k≠0）的图象（如右图） 由图可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时， ＞kx； 即：不等式 ﹣kx＞0的解集为：x＜﹣1或0＜x＜1． 点评： 该题涉及到：方程与函数的联系、函数解析式的确定以及利用图象法解不等式的方法等知识．考查的内容较为基础，难度不大． 　 4．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+m+n=0①． （1）求证：方程①有两个实数根； （2）求证：方程①有一个实数根为1； （3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2﹣（2m+n）x+m+n的解析式； （4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离． 考点： 抛物线与x轴的交点。1077676 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）首先表示出方程①的根的判别式，若方程有两个实数根，那么判别式应大于等于0，结合非负数的性质进行证明即可． （2）可利用十字相乘法将方程左边进行因式分解，即可得到方程必有一根为1． （3）由（2）可得x1的表达式，即x1= ，若m+n=2，且x1为整数，那么m可取1或2，然后结合（1）（2）的结论将不合题意的m值舍去，即可确定m的值，进而可得抛物线的解析式． （4）首先根据已知条件确定出点C的坐标；然后设出平移后的点C坐标，由于此时C点位于抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可确定出平移后的点C坐标，进而可得平移的距离． 解答： 证明：（1）∵a=m，b=﹣（2m+n），c=m+n ∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+n）]2﹣4m（m+n） =4m2+4mn+n2﹣4m2﹣4mn =n2（1分） ∵无论n取何值时，都有n2≥0 ∴△≥0 ∴方程①有两个实数根．（2分） （2）∵原方程可化为：（mx﹣m﹣1）（x﹣1）=0，（3分） ∴ ； ∴方程①有一个实数根为1．（4分） （3）由题意可知：方程①的另一个根为 ， ∵m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根， ∴m=1， ∴二次函数的解析式：y=x2﹣3x+2．（5分） （4）由题意可知：AB=3， 由勾股定理得：AC=4 ∴C点的坐标为（1，4） 当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）（6分） ∵C在抛物线上， ∴ ∴ ，舍去负值， ∴ ； ∴△ABC平移的距离： ．（7分） 点评： 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数解析式的确定以及函数图象上点的坐标特征，难度适中． 　 5．某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出．如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大（总利润=总收入﹣总成本）？ 考点： 二次函数的应用。1077676 专题： 应用题。 分析： 此题关键是表示出价格变化后，销量与价格的关系式，设定价提高x%，销售量下降0.5x%，即当定价为100（1+x%）元时，销售量为1000（1﹣0.5x%）件． 解答： 解：设定价提高x%，则销售量下降0.5x%，即当定价为100（1+x%）元时，销售量为1000（1﹣0.5x%）件． 商场购这1000件西服的总成本为80×1000=80000元， 故y=100（1+x%）•1000（1﹣0.5x%）﹣80000 =﹣5x2+500x+20000 =﹣5（x﹣50）2+32500． 当x=50时，y有最大值32500． 100（1+50%）=150（元） 即定价为150元/件时获利最大，为32500元． 点评： 此题主要考查了：二次函数的应用中，总利润=总收入﹣总成本，但与以往题目不同的是表示价格与销售量时，提高与下降都是百分数，题目有一定抽象性，但这是中考中新题型． 　 6．（2004•长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E． （1）求证：△ABP∽△PCE； （2）求等腰梯形的腰AB的长； （3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由． 考点： 等腰梯形的性质；解分式方程；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质。1077676 专题： 几何综合题。 分析： （1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证； （2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值； （3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点． 解答： （1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP； ∵∠B=∠APE ∴∠EPC=∠BAP ∵∠B=∠C ∴△ABP∽△PCE； （2）解：过A作AF⊥BC于F； ∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm， ∴BF= ， Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2； ∴AB=4cm； （3）解：存在这样的点P． 理由是：∵ 解之得EC= cm． 设BP=x，则PC=7﹣x 由△ABP∽△PCE可得 = ， ∵AB=4，PC=7﹣x， ∴ = 解之得x1=1，x2=6， 经检验都符合题意， 即BP=1cm或BP=6cm． 点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质． 　 7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y， （1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长； （3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论． 考点： 二次函数的应用；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。1077676 分析： （1）运用三角形相似，对应边比值相等即可解决， （2）运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决， 解答： （1）解：∵PE⊥CP， ∴可得：△EAP∽△PDC， ∴ ， 又∵CD=2，AD=3，设PD=x， AE=y， ∴ ， ∴y=﹣ ， 0＜x＜3； （2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍， 则：相似比为2：1， ∴ ， ∵CD=2， ∴AP=1，PD=2， ∴PE= ，PC=2 ， ∴EC= ． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方． 　 8．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 压轴题。 分析： （1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； （2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）存在四个这样的点． ①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）； ②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+ ，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+ ，0）； ④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣ ，0）； 综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点． 解答： 解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3 ∴A（﹣1，0）B（3，0） 将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3 ∴C（2，﹣3） ∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1； （2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2） 则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1） E（x，x2﹣2x﹣3） ∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ， ∴当 时，PE的最大值= ； （3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+ ，0），F4（4﹣ ，0）． ①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）； ②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+ ，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+ ．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+ ，0）； ④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣ ，0）． 综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点． 点评： 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 　 9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2． （1）求A、C的坐标； （2）求直线AC和抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 综合题。 分析： （1）已知了直线AC的解析式，可确定点A的坐标；过C作CM⊥x轴于M，在Rt△CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标． （2）将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式；同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式． （3）此题应分作两种情况考虑： ①AB∥CD，此时CD与x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得； ②AD∥BC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD与BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可求得交点D的坐标． （由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BD∥AC等情况．） 解答： 解：（1）直线AC：y=mx+2m（m≠0）中， 当y=0时，mx+2m=0，m（x+2）=0， ∵m≠0， ∴x=﹣2； 故A（﹣2，0）； 过C作CM⊥x轴于M； Rt△CAM中，∠CAB=45°，则CM=AM； Rt△COM中，tan∠COM=2，则CM=2OM， 故CM=2OM=2AM； ∵OA=2，则OM=2，CM=4，C（2，4）， ∴A（﹣2，0），C（2，4）． （2）将点C坐标代入直线AC的解析式中，有： 2m+2m=4，m=1， ∴直线AC：y=x+2； 将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有： ， 解得 ； ∴抛物线：y=x2+x﹣2； 故直线AC和抛物线的解析式分别为：y=x+2，y=x2+x﹣2． （3）存在满足条件的点D，其坐标为（﹣3，4）或（5，28）； 理由：假设存在符合条件的点D，则有： ①CD∥AB，由于AB≠CD，此时四边形ABCD是梯形； 易知抛物线的对称性为：x=﹣ ； 由于此时CD∥x轴， 故C、D关于直线x=﹣ 对称， 已知C（2，4）， 故D（﹣3，4）； ②AD∥BC，显然BC≠AD，此时四边形ABCD是梯形； 易知B（1，0），用待定系数法可求得： 直线BC：y=4x﹣4； 由于AD∥BC，可设直线AD的解析式为y=4x+h， 则有：4×（﹣2）+h=0， 即h=8； ∴直线AD：y=4x+8； 联立抛物线的解析式可得： ， 解得 （舍去）， ， 故D（5，28）； 综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（﹣3，4）或（5，28）． 点评： 此题考查了函数图象与坐标轴交点的求法、解直角三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识点；要注意的是，在判定某个四边形为梯形时，一定要满足两个条件：①一组对边平行，②另一组对边不平行（或平行的对边不相等），两个条件缺一不可． 　 10．（2006•达州）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x= ，O为坐标原点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求证：∠ACB是直角； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 压轴题。 分析： （1）依题意可得A，B．C三点坐标； （2）设抛物线的对称轴交x轴于M点，则M为AB的中点，AB为⊙M的直径，故∠ACB=90°； （3）连接CD，求出D点坐标，如图1．设点P（x，y）是抛物线上任意一点，要使得∠APB为锐角，分情况讨论P点坐标． 解答： （1）解：D= A、B、C三点的坐标分别为（4，O），（﹣1，O），（O，2）． （2）证明：△BOC∽△COA，∠BC0=∠CAO． （3）解：设抛物线的对称轴交x轴于M点，则M为AB的中点， 且其坐标为（ ，0），∠BCA=90°， ∵B、C、A三点都在以BA为直径的0M上， 又抛物线y=﹣ + +2和⊙M都关于直线x= 对称． ∴c点关于x= 的对称点D必在抛物线上，也在⊙M上． 连接CD，交直线x= 交于N点，易知N点坐标为（ ，2），而N为CD的中点， ∴D点坐标为（3，2），（7分） 作出⊙M，则⊙M将抛物线分成BC段、CD段、DA段及x轴下方的部分（如图1所示）． 设点P（x，y）是抛物线上任意一点， 当P点在CD段（不包括C、D两点）及在x轴下方的部分时，P点均在⊙M外． 当P点在⊙M外时，不失一般性，令P点在CD段， 连接BP交OM于Q点，连接AQ、AP（如图2），则： ∠BQA是△PAQ的外角． ∴∠APQ＜AQB． 又AB是⊙M的直径∠AQB﹣90°， ∴∠APB＜90°， 故当P点在OM外时，P点对线段BA所张的角为锐角，即∠APB为锐角． 即当x＜﹣1或0＜x＜3或x＞4时，∠APB为锐角． 故抛物线上存在点P，当点P的横坐标x满足x＜﹣1或O＜x＜3或x＞4时，∠APB为锐角．（10分） 点评： 本题考查的是二次函数的两点坐标式以及圆的切线等综合知识，难度较大． 　 11．（A）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围． （3）对于二次三项式x2﹣10x+36，小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 代数几何综合题。 分析： （A）①利用二次函数的对称性求出对称轴，再求出M点的坐标，设出顶点式，代入另一点可求出； ②利用抛物线的解析式，求出C、B、M点的坐标，进一步求直线BM的解析式，用t表示出P点，最后用梯形的面积计算公式解答． （B）假设二次三项式x2﹣10x+36=11，如果求出方程有解，就说明小明的说法不正确． 解答： 解：（1）①x=0和x=2时y的值相等， ∴抛物线的对称轴为x=1， 又∵抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上， ∴M（1，﹣4）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4， ∵直线y=3x﹣7与抛物线的另一个交点为（4，5）， 代入y=a（x﹣1）2﹣4， 解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4 即为：y=x2﹣2x﹣3． （2）由y=x2﹣2x﹣3可得出， C（0，﹣3），B（3，0），M（1，﹣4）， 设直线BM的解析式为y=kx+b，把B、M两点代入求得， 直线BM的解析式为y=2x﹣6， ∴P（t，2t﹣6），QP=6﹣2t，CO=3，QO=t， ∴S梯形PQOC= （6﹣2t+3）t=﹣t2+ t， 因此S=﹣t2+ t，（1＜t＜3）． （3）不同意他的观点． 假设x2﹣10x+36=11， 解得x1=x2=5， ∴当X=5时x2﹣10x+36等于11， 因此无论x取什么实数，x2﹣10x+36的值都不可能等于11的说法是错误的． 点评： 此题利用二次函数的对称性、待定系数法、面积计算公式等知识来解决，渗透数形结合的思想． 　 12．（2012•赤峰）如图，抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 代数几何综合题。 分析： （1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式； （2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x0，﹣5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可； （3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可． 解答： 解：（1）∵y=x2﹣bx﹣5， ∴|OC|=5， ∵|OC|：|OA|=5：1， ∴|OA|=1， 即A（﹣1，0），…（2分） 把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得 （﹣1）2+b﹣5=0， 解得b=4， 抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；…（4分） （2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5）， ∴x02﹣4x0﹣5=﹣5， 解得x0=0（舍去），或x0=4， ∴F（4，﹣5），…（6分） ∴对称轴为x=2， 设直线AF的解析式为y=kx+b， 把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b， 得 ， 解得 ， 所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；…（8分） （3）存在．…（9分） 理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合， ∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点， ∴E（0，﹣1）， ∴P（0，﹣1），…（10分） ②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1）， ∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5）， ∴CE=CF， ∴EP=PF， ∴CP=PF， ∴点P在抛物线的对称轴上，…（11分） ∴x1=2， 把x1=2代入y=﹣x﹣1，得 y=﹣3， ∴P（2，﹣3）， 综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（2，﹣3）使△CFP是直角三角形．…（12分） 点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边与斜边两种情况讨论求解． 　 13．如图1，抛物线y=nx2﹣11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°． （1）填空：点B的坐标为（　（3，0）　），点C的坐标为（　（8，0）　）； （2）连接OA，若△OAC为等腰三角形． ①求此时抛物线的解析式； ②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值． 考点： 二次函数综合题。1077676 分析： （1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出； （2）①利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式； ②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可． 解答： 解：（1）∵抛物线y=nx2﹣11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx2﹣11nx+24n， 解得：x1=3，x2=8， ∴OB=3，OC=8， 故B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0）； （2）①如图1，作AE⊥OC，垂足为点E ∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC= ×8=4，∴BE=4﹣3=1， 又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴ = ， ∴AE2=BE•CE=1×4，∴AE=2， ∴点A的坐标为 （4，2）， 把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=nx2﹣11nx+24n，得n=﹣ ， ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x﹣12， ②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上， ∴点M的坐标为 （m，﹣ m2+ m﹣12），由①知，点D的坐标为（4，﹣2）， 则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y= x﹣4， ∴点N的坐标为 （m， m﹣4）， ∴MN=（﹣ m2+ m﹣12）﹣（ m﹣4）=﹣ m2+5m﹣8， ∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN= MN•CE= （﹣ m2+5m﹣8）×4， =﹣（m﹣5）2+9， ∴当m=5时，S四边形AMCN=9． 点评： 此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识，根据已知得出△ACE∽△BAE是解决问题的关键． 　 14．（2008•濮阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由； （4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 压轴题。 分析： （1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x﹣16就可以求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以求出函数的解析式； （2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ，很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式； （3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值； （4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标． 解答： 解：（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等， ∴c=16a+4b+c，（1分） ∴b=﹣4a， ∴x=﹣ =﹣ =2 将x=3代入y=4x﹣16，得y=﹣4， 将x=2代入y=4x﹣16，得y=﹣8．（2分） ∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8 将点（3，﹣4）代入，得﹣4=a（x﹣2）2﹣8， 解得a=4． ∴抛物线y=4（x﹣2）2﹣8，即y=4x2﹣16x+8．（3分） （2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，﹣8）代入，得k=﹣4， ∴y=﹣4x．（4分） 则点P（t，﹣4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t． S=S△COQ+S△OPQ= ×8×t+ ×t×4t=2t2+4t（5分） t的取值范围为：0＜t≤2（6分） （3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值． 从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大， 即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分） 此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分） 因而S= ×2×8+ ×2×8=16． 当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ， ∴四边形PQCO是平行四边形．（9分） （4）随着点P的运动，存在t= ，能满足PO=OC（10分） 设点P（t，﹣4t），PQ=4T，OQ=t． 由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2． ∵PO=OC， ∴17t2=82，t1= ＜2，t2=﹣ （不合题意） ∴当t= 时，PO=OC．（11分） 点评： 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．注意数与形的结合是解决本题的关键． 　 15．（2002•哈尔滨）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的解析式； （2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题。1077676 专题： 压轴题。 分析： （1）当x=0和x=2时，y的值相等，可知抛物线的对称轴为x=1，