2013年全国数学竞赛试题详细参考答案

PAGE 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2013年全国 初中数学 初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍 竞赛试题参考答案 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数 满足 ，则 的值为（ ）． （A）7 （B） （C） （D）5 【答】（A） 解：因为 ， ≥0，由已知条件得 ， ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 7． 另解：由已知得： ，显然 ，以 为根的一元二次方程为 ，所以　 故 ＝ 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数 的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A） （B） （C） （D） 【答】（C） 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知 ＝ ＞0，即 ＞4 . 通过枚举知，满足条件的 有17对. 故 . 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )． （A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条 【答】（B） 解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知 是半径为1的圆 的一条弦，且 ．以 为一边在圆 内作正△ ，点 为圆 上不同于点A的一点，且 ， 的延长线交圆 于点 ，则 的长为（ ）． （A） （B）1 （C） （D）a 【答】（B） 解：如图，连接OE，OA，OB． 设 ，则 ． 又因为 ， 所以 ≌ ，于是 ． 另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径 作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上， 由 所以 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）． （A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 【答】（D） 解：设 是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于 ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾． 又如果 （1≤i≤3）是偶数， 是奇数，则 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数． 所以 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为： ．若关于x的方程 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ． 【答】 ，或 ． 解：由 ，得 ， 依题意有 解得， ，或 ． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟． 【答】4． 解：设18路公交车的速度是 米/分，小王行走的速度是 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为 米． 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 ． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则 ． 　② 由①，②可得 ，所以 ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 8．如图，在△ 中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 ． 【答】9． 解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB． 又 ，所以 ， 所以 ． 因此 9． 另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交 AE于点N. 则 所以 .　又 ，所以四边形 是等腰梯形， 即 9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 ． 【答】 ． 解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r， BC边上的高为 ，则 ，　 　所以 ． 因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 故 ． 另解： ＝ （这里 ）　所以 ，　 由△ADE∽△ABC，得　 ， 即 10．关于x，y的方程 的所有正整数解为 ． 【答】 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数． 设 ，则 ， 同上可知，a，b都是偶数．设 ，则 ， 所以，c，d都是偶数．设 ，则 ， 于是 ＝ ， 其中s，t都是偶数．所以 ≤ ． 所以 可能为1，3，5，7，9，进而 为337，329，313，289，257，故只能是 ＝289，从而 ＝7．于是 因此 另解：因为 　则有 又y正整数，所以 令 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9 由 知 的个位数只能是1和1或6和6； 当 的个位数是1和1时，则 的个位数字可以为1或9 但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与 的十位数字为3矛盾。 当 的个位数是6和6时，则 的个位数字可以为4或6。 由 ，取 ＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入 得，只有当 ＝136时， =56，即 　解得 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） 11．在直角坐标系xOy中，一次函数 EMBED Equation.3 的图象与 轴、 轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于 ． （1） 用b表示k； （2） 求△OAB面积的最小值． 解：（1）令 ，得 ；令 ，得 ． 所以A，B两点的坐标分别为 ，于是，△OAB的面积为 ． 由题意，有　　 ， 解得 ， ．……………… 5分 （2）由（1）知　 ≥ ， 当且仅当 时，有 ，即当 ， 时，不等式中的等号成立． 所以，△ABC面积的最小值为 ． ……………… 15分 12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程 有有理数根？ 解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令 ， 其中n是一个非负整数．则 ． ……………… 5分 由于1≤ ≤q+n，且 与 同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形： 消去n，解得 ．……………… 10分 对于第1，3种情形， ，从而q＝5；对于第2，5种情形， ，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）． 又当 ，q＝5时，方程为 ，它的根为 ，它们都是有理数． 综上所述，存在满足题设的质数……………… 15分 ★12、已知 为正整数，关于 的方程 的两个实数根为 ， 关于 的方程 的两个实数根为 ，且满足 . 求 的最小值. 另解：由韦达定理，得　 ； 即 解得： 把 的值分别代入 　得 或 （不成立） 即 ， 因为 　所以 于是有　 　即 因为a,b都是正整数，所以 分别解得： 经检验只有： 符合题意. 所以b的最小值为： 13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论． 解：存在满足条件的三角形． 当△ABC的三边长分别为 ， ， 时， ．……………… 5分 如图，当 时，延长BA至点D，使 ．连接CD，则△ 为等腰三角形．因为 为△ 的一个外角，所以 ．由已知， ，所以 ．所以△ 为等腰三角形． 又 为△ 与△ 的一个公共角，有△ ∽△ ，于是 ， 即 ，　　 所以 ． 而 ，所以此三角形满足题设条件， 故存在满足条件的三角形． ……………… 15分 说明：满足条件的三角形是唯一的． 若 ，可得 ．有如下三种情形： （i）当 时，设 ， ， （ 为大于1的正整数）， 代入 ，得 ，解得 ，有 ， ， ； （ⅱ）当 时，设 ， ， （ 为大于1的正整数）， 代入 ，得 ，解得 ，有 ， ， ，此时不能构成三角形； （ⅲ）当 时，设 ， ， （ 为大于1的正整数）， 代入 ，得 ，即 ，此方程无整数解． 所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件． ★13、如图，△ABC的三边长 都是整数，且 的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且 ，求△ABC的周长. 另解：如图，连结GA，GB，过G，I作直线交BC、AC于点E、F，作△ABC的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P，内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为 易知： ,在 中， 即 ∴ 又∵ ，所以CE＝CF 由 得： 即 整理得　 ，即 设△ABC的周长为 ，则 为整数。 由已知 ，设 ，代入上式，得 ∵ ，∴ 是12的约数，即 ＝1，2，3，4，6，12 不妨设 ，则 ，得 经检验，只有 符合题意， 所以： 或 ，即所求△ABC的周长为35。 14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值． 解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．…………… 5分 当n＝5时，设 是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则 中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是 中必定有一个数是5． 若 中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾． 若 中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n的最小值为5．……………… 15分 ★★ 14、已知有6个互不相同的正整数 ，且 ，从这6个数中任意取出3个数，分别设为 ，其中 。记 证明：一定存在3个不同的数组 ，其中 ，使得对应着的3个 两两之差的绝对值都小于0.5.（征求答案） （第3题） （第4题） （第8题5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������） （第8题答案5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������） （第9题答案5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������） （第13（A）题答案5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������） PAGE _1265091966.unknown _1269713014.unknown _1269717997.unknown _1269719821.unknown _1269722581.unknown _1269722917.unknown _1269723007.unknown _1269723101.unknown _1269722846.unknown _1269719988.unknown _1269721120.unknown _1269721317.unknown _1269722546.unknown _1269721367.unknown _1269721145.unknown _1269720879.unknown _1269721015.unknown _1269721064.unknown _1269720802.unknown _1269719839.unknown _1269719551.unknown _1269719698.unknown _1269719527.unknown _1269718914.unknown _1269718338.unknown _1269718453.unknown _1269718317.unknown _1269716409.unknown _1269716518.unknown _1269717854.unknown _1269716430.unknown _1269714298.unknown _1269716374.unknown _1269714207.unknown _1269630423.unknown _1269632542.unknown _1269712934.unknown _1269712992.unknown _1269713003.unknown _1269712980.unknown _1269632657.unknown _1269712878.unknown _1269712916.unknown _1269632687.unknown _1269632914.unknown _1269633067.unknown _1269632736.unknown _1269632674.unknown _1269632558.unknown _1269632606.unknown _1269631145.unknown _1269631727.unknown _1269631873.unknown _1269632183.unknown _1269632504.unknown _1269632099.unknown _1269631765.unknown _1269631326.unknown _1269631367.unknown _1269631285.unknown _1269630824.unknown _1269630991.unknown _1269631079.unknown _1269630961.unknown _1269630614.unknown _1269630757.unknown _1269630482.unknown _1269607557.unknown _1269609111.unknown _1269610406.unknown _1269630381.unknown _1269610647.unknown _1269610875.unknown _1269610874.unknown _1269610491.unknown _1269609456.unknown _1269609650.unknown _1269609740.unknown _1269609921.unknown _1269610050.unknown _1269609711.unknown _1269609558.unknown _1269609289.unknown _1269609387.unknown _1269609139.unknown _1269608163.unknown 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