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解析第一章 章末检测题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合{1，2，3}的所有真子集的个数为( )A.3 B.6C.7D.8答案 C解析 含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1，2}，{1，3}，{2，3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个.2.下列五个写法，其中错误写法的个数为( )①{0}∈{0，2，3}；②{0}；③{0，1，2}{1，2，0}；④0∈；⑤0∩＝A.1B.2C.3D.4答案 C解析 ②③正确.3.已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于( )A.NB.MC.RD.答案 A解析 M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.4.函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为( )A.RB.[0，＋∞)C.[2，＋∞)D.[3，＋∞)答案 D解析 y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.5.某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )答案 D解析 t＝0时，学生在家，离学校的距离d≠0，因此排除A、C项；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.6.函数f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)的定义域为( )A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.[1，2)D.[1，2)∪(2，＋∞)答案 D解析 根据题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2.7.在下面的四个选项所给的区间中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是( )A.(－∞，－2)B.(－2，－1)C.(－1，1)D.(－∞，0)答案 C解析 函数f(x)＝x2－1为二次函数，单调减区间为(－∞，0]，而(－1，1)不是(－∞，0]的子集，故选C.8.函数f(x)＝x5＋x3＋x的图像( )A.关于y轴对称B.关于直线y＝x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y＝－x对称答案 C解析 易知f(x)是R上的奇函数，因此图像关于坐标原点对称.9.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1（x<\f(1,2)），,f（x－1）＋1（x≥\f(1,2)），))则f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(7,6))＝( )A.－eq\f(1,6)B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,6)D.－eq\f(5,6)答案 A解析 f(eq\f(1,4))＝2×eq\f(1,4)－1＝－eq\f(1,2)，f(eq\f(7,6))＝f(eq\f(7,6)－1)＋1＝f(eq\f(1,6))＋1＝2×eq\f(1,6)－1＋1＝eq\f(1,3)，∴f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(7,6))＝－eq\f(1,6)，故选A.10.函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如下图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是( )答案 A解析 由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图像在x＝0处是断开的，故可以排除C、D项；由于当x为很小的正数时，f(x)＞0且g(x)＜0，故f(x)·g(x)＜0，可排除B项，故选A.11.若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为( )A.{x|x>3或－3
3}D.{x|－30时，f(x)<1即f(x)3，当x<0时，f(x)<1即f(x)0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________.答案 f(x1)>f(x2)解析 ∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2).又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2).三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝eq\r(x－5)的定义域构成集合B，求：(1)A∩B；(2)(RA)∪B.解析 y＝eq\r(x－5)的定义域为B＝{x|x≥5}，则(1)A∩B＝{x|5≤x<8}.(2)RA＝{x|x<－4或x≥8}，∴(RA)∪B＝{x|x<－4或x≥5}.18.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像关于直线x＝1对称.(1)求实数a的值；(2)若f(x)的图像过(2，0)点，求x∈[0，3]时，f(x)的值域.解析 (1)二次函数f(x)＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝－eq\f(a,2)，∴－eq\f(a,2)＝1，∴a＝－2.(2)若f(x)过(2，0)点，∴f(2)＝0.∴22－2×2＋b＝0，∴b＝0，∴f(x)＝x2－2x.当x＝1时f(x)最小为f(1)＝－1，当x＝3时，f(x)最大为f(3)＝3，∴f(x)在[0，3]上的值域为[－1，3].19.(12分)已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值.解析 (1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,（x1＋1）（x2＋1）).∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在[1，4]上是增函数，∴最大值为f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5)，最小值为f(1)＝eq\f(2×1＋1,1＋1)＝eq\f(3,2).20.(12分)商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买1个茶壶赠送1个茶杯；(2)按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱.解析 由题知，按照第1种优惠办法得y1＝80＋(x－4)·5＝5x＋60(x≥4).按照第2种优惠办法得y2＝(80＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)，y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，当4≤x<34时，y1－y2<0，y134时，y1－y2>0，y1>y2.故当4≤x<34时，第一种办法更省钱；当x＝34时，两种办法付款数相同；当x>34时，第二种办法更省钱.21.(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝eq\f(2,x)－1.(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x<0时，函数的解析式.解析证明 (1)设00，x2－x1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(2)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(2,x)－1.又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－eq\f(2,x)－1.故f(x)＝－eq\f(2,x)－1(x<0).22.(12分)已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立.(1)求f(0)，f(1)的值；(2)求证：f(eq\f(1,x))＋f(x)＝0(x≠0)；(3)若f(2)＝m，f(3)＝n(m，n均为常数)，求f(36)的值.解析 (1)令a＝b＝0，则f(0×0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(1)＝f(x·eq\f(1,x))＝f(x)＋f(eq\f(1,x))，又f(1)＝0，∴f(x)＋f(eq\f(1,x))＝0.(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝2m，f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2f(3)＝2n，∴f(36)＝f(4×9)＝f(4)＋f(9)＝2m＋2n.
浙公网安备 33021202002483