向量在平面几何中解题的应用复习旧知:（1）向量共线的条件:与共线（2）向量垂直的条件：（3）两向量相等的条件：且方向相同。1.应用向量知识证明平面几何有关定理例1、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
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：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐标形式证明？练习１:证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD求证：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们
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示。ABDC解：设，则∴2.应用向量知识证明三线共点、三点共线例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析一：设AD与BE交于H，只要证CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证由此可设如何证？利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。2.应用向量知识证明三线共点、三点共线例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH设例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点HFABCDE分析二：如图建立坐标系，设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出 、 的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。再设H(0,m)F(x,y)由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：可得：例２、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点HFABCDE可得：可得：即 而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即AD、BE、CF交于一点CHCF//练习２：如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP解：设则由此可得练习２：如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP即故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线因为：３．应用向量知识证明等式、求值例３、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为16，求△AEM的面积ABCDMNEF分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2),N是AM的中点故N(2,1)=(2,1)-(e,0)=(2-e,1)解得：e=2.5故△AEM的面积为5例３、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)解得：e=5即AE=5练习３、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利用向量坐标知识进行求解。OABG·PQ由PO=mOA,QO=nOB可知：O分的比为，O分的比为-m -n? ?练习３、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：OABG·PQ 由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到mn的关系。练习３、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：OABG·PQ证：如图建立坐标系，设所以重心G的坐标为由PO=mOA,QO=nOB可知：即O分 的比为-m，O分 的比为-n练习３、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：OABG·PQ即O分的比为-m，O分 的比为-n，求得由向量 可得：化简得：巩固练习：1.证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.如图O为△ABC所在平面内一点，且满足求证：AB⊥OCABCO
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