苏教版高数选修22第5讲定积分的概念与微积分基本定理(学生版)

定积分的概念与微积分基本定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取一点，作和式：当）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为：即=其中函数叫做，叫做变量，区间为区间，积分，积分。说明：（1）定积分是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3（定积分的线性性质）性质4（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：②推广:③性质解释：性质4性质1微积分基本定理：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即=而。对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。注：1：定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则证明：因为=与都是的原函数，故-=C（）其中C为某一常数。令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有例1计算下列定积分1．2.；3.。例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.练习：1.【2014江西高考理第8题】若则（　　）A.B.C.D.12.【2014陕西高考理第3题】定积分的值为（　　）3．若则的大小关系为（　　）A．B．C．D．4．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（　　）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值5：已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（　　）A．B．C．D．二、定积分求面积1．【2014山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）A.B.C.D.42．直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（　　）A．B．2C．D．[来源:Zxxk.Com]3．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_________．一、选择题（共4小题，每小题10分，共40分）1.下列各定积分的值等于1的是（　　）A.B.C.D.2.将和式的极限表示成定积分（　　）A.B.C.D.3.求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（　　）A.［0，］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］4.如下图，阴影部分的面积为（　　）A.dxB.dxCdxD.dx二、填空题（每题10分，共40分）5.由定积分的几何意义分析，则=_________6.将和式表示为定积分___________7.按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，r为两质点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为b处，试求所做的功是（b＞a）________________．8.由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为_____________________．三、解答题（共20分）9.利用定义求定积分的值。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题AUTONUM\*Arabic\*MERGEFORMAT．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积错误的为（　　）A．B．C．D．AUTONUM\*Arabic\*MERGEFORMAT．(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数,则的值为（　　）A．B．C．D．AUTONUM\*Arabic\*MERGEFORMAT．(2011-2012学年厦门市3月份高三 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 质量检查试题(理科))如图,已知幂函数的图像过点,则图中阴影部分的面积等于（　　）A．B．C．D．AUTONUM\*Arabic\*MERGEFORMAT．(2012年高考(湖北理))已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（　　）yxO第４题图A．B．C．D．AUTONUM\*Arabic\*MERGEFORMAT．(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）A．B．C．D．6．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（　　）A．B．1C．2D．７．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若,则实数的值为（　　）A．B．C．D．８．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是（　　）A．1B．8C．D．９．(陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D是图中边长为的正方形区域,E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域.向D中随机投一点,则该点落入E中的概率为（　　）A．B．C．D．１０．(东北四校2012届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题)若,则a的值是（　　）A．2B．3C．4D．6１１．(2013湖北高考数学(理))一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是（　　）A．B．C．D．１２．（2013北京高考数学（理））直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（　　）A．B．2C．D．二、填空题１３．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）___________.１４．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为______________.能力提升１５．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））计算____________.１６．(2013湖南高考数学(理))若_________.１７．(2012年高考(江西理))计算定积分___________.１８．(福建省龙岩市高中毕业班数学3月质量检查(理科))设函数,若,其中,则=________.１９．(2012年高考(山东理))设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.２０．(湖北黄冈中学高三五月模拟)函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于_________.２１．(2012年石景山区高三数学一模理科)如图,圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为(图中阴影部分),随机往圆内投一个点,则点落在区域内的概率是_________.２２．(2012年高考(上海文))已知函数的图像是折线段ABC,若A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_______.２３．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）图中阴影部分的面积等于___________.２４．(惠州市2012届高三一模考试数学(理科)试题解析版)由曲线,围成的封闭图形面积为___________.２５．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）=___________.