轴对称及轴对称图形

第一部分：轴对称与轴对称图形--知识讲解 【学习目标】 1．通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点． 2．了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形． 3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值. 4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题． 5. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 要点一、轴对称与轴对称图形 1.轴对称的定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称图形的定义 把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 要点二、轴对称的性质 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等. 要点三、线段的垂直平分线 定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 要点四、线段的轴对称性 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点五、角的轴对称性 1.角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. （2）角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： （1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等. 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. （2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 2.角平分线的画法 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 【典型例题】 类型一、判断轴对称图形    1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （    ） A．2个    B．3个    C．4个    D．5个 【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是. 【答案】D； 【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合 【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏. 举一反三： 【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 (    ) 【答案】A； 提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴. 类型二、轴对称的基本应用 2、（2015春·启东市校级月考）如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长． 【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长． 【答案与解析】 解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点， ∴ME=PE，NF=PF， ∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长， ∵△PEF的周长等于20cm， ∴MN=20cm． 【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 举一反三： 【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的 处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD 的度数． 【答案】100°； ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40° 又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的 处，点D为AB边的中点， ∴BD＝D ，∠B＝∠D B＝40°， ∴∠BD ＝180°－40°－40°＝100°. 【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若 ＝56°,则∠AED的大小是_______. 类型三、轴对称的作图 3、如图，△ABC和△ 关于直线MN对称，△ 和△ 关于直线EF对称. （1）画出直线EF； （2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠ 与直线MN、EF所夹锐角 之间的数量关系. 【答案与解析】 （1）如图；（2）∠ ＝2 ； （2）∵△ABC和△ 关于直线MN对称， △ 和△ 关于直线EF对称. ∴∠BOM＝∠ ，∠ ＝∠ ， ∵∠ ＋∠ ＝ ∴∠ ＝2 【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上. 【练习题】 （2014秋·芜湖校级期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ． 【等腰三角形练习题】 1、将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（      ）                  　 A. 4个   　B. 3个   　C. 2个  　 D. 1个 2、 如图，D是AB边上的中点，将 沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若 ，则 度数是（    ）              A．60°      B．70°      C．80°    D．不确定  3、 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若AD+AE=8 ，则BC＝_________ ． 第二部分：轴对称及轴对称图形（等腰三角形）的应用 【巩固练习题】 1、选择与填空题 1、如图，等边△ABC的边长为2 ，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点 处，且点 在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为        ．. 2、如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°. 3、 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5 ，则直线AB与CD的距离为（    ）。若未知OE的长度，若△A0C的面积为6，OA=4，求OC、AC、OE的长度？ 4.（2015?泰安样卷）如图，Rt?ABC中，?C=90°，?B=45°，AD是?CAB的平分线，DE?AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（  ） A．2m        B．a﹣m        C．a        D．a+m 5、 中，AD是 的平分线，且 .若 ，则 的大小为 （    ）  A．       B．       C．       D．   二、解答题 1、如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，求BD的长度。 2、在 中， ，点 是直线 上一点（不与 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作 ，使 ，连接 ． （1）如图1，当点 在线段 上，如果 ，则 _________； （2）设 ， ． ①如图2，当点 在线段 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点 在直线 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 3、如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形． 4、如图，OA、OB是两条相交的公路，点M是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮递员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？ 5、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 6、已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．