概率论与数理统计总结

3、分布函数与概率的关系 F(x),P(X,x),,,,x,, P(a,X,b),P(X,b),P(X,a) ,F(b),F(a)4、离散型随机变量的分布函数 k1,kP(X,k),p(1,p),k,0,1(1) 0 – 1 分布 kkn,k(2) 二项分布 B(n,p)P(X,k),Cp(1,p),k,0,1,？,nn k,kkn,k,,limCp(1,p),ennnn,,泊松定理 有 limnp,,,0k!n,,nk,0,1,2,？ k,,,P(X,k),e,k,0,1,2,？(3) 泊松分布 = P(,)k! k,1P{X,k},qpk,1,2,？q,1,p(5)几何分布 xF(x),f(t)dt则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数， ,,, 2、分布函数的性质: (1)连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 (2)对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即P{X=a}=0。 3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 U(a,b) 0,,1,,,a,x,bx,a,,b,aF(x),,f(x), ,,b,a,,0,其他,,1, (2) 指数分布 E(,) ,,x,e,x,0,,0,x0,,f(x), , F(x),,,,x1,e,x,0,0,其他,, (3) 正态分布 N (, , , 2 ) 22,,(t),()x,,,x11222,2,F(x),edt() fx,e,,,x,，,,,,,,22,, N (0,1) — 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布 22xt,,x1122,()x,e,,,x,，,,(x),edt,,,x,，, ,,,2,,2 2、连续型随机变量函数的分布: ,,，，Fy,PX,l,f(x)dx,f(x)dx(1)分布函数法; YyXX,,lg(x),yy (2)设随机变量X具有概率密度f(x)，又设函数g(x)处处可导且恒有g,(x)>0 (或恒有X ,,,,，，,,fhy，，hy,y,X，，,其中x=h(y)为g,(x)<0) ，则Y=g(X)的概率密度为fy,Y0其他, ，，，，，，，，，，，，y=g(x)的反函数，,,ming,,,g，,,,,maxg,,,g，, 3、 二维连续型随机变量 yx(1)联合分布函数为函数 f(x,y)称为二维向量(X,Y)的(联合)F(x,y),f(u,v)dudv,,,,,, ,,概率密度. 其中: ， f(x,y),0f(x,y)dxdy,1,,,,,, (2)基本二维连续型随机向量分布 1,(x,y),G,均匀分布: f(x,y),A, ,0其他, 22,,,,()()()()x,x,y,y,11122,[2],,，2221,,,,,2(1),1212f(x,y),e2二维正态分布: 21,,,,,12 ,,,x,，,,,,,y,，,3、离散型边缘分布律: 4、 连续型边缘概率密度 ，,，,f(y),f(x,y)dxf(x),f(x,y)dy, YX,,,,,, F(x，y)=F(x)F(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的 xY 3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，f(x)，f(y)分别xY 为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x，y) = f(x)f(y) xY 对f(x，y)，f(x)，f(y)的所有连续点成立. xY 五、条件分布 1、离散型随机变量的条件分布律: (3)条件分布函数: 2、连续型随机变量的条件分布 xf(u,y)dux,f(u,y),,F(x|y),，或写成F(x|y),du(1)条件分布函数 ||XYXY,,,f(y)f(y)YY (2)条件概率密度 f(x,y)f(x|y)在Y=y条件下X的条件概率密度, XY|f(y)Y f(x,y)同理 X=x条件下X的条件概率密度 f(y|x),YX|f(x)X六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布: 二项分布:设X和Y独立,分别服从二项分布b(n,p), 和b(n,p)，则 Z=X+Y的分布律:Z,12b(n+n,p). 12 ,,,它们分别服从 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 为的泊松分布,则Z=X+Y服从参数为泊松分布:若X和Y相互独立,12,，,的泊松分布。 12 2、连续型随机变量函数分布: ，,，,(1)Z=X+Y 或 f(z),f(z,y,y)dyf(z),f(x,z,x)dxZZ,,,,,,若X和Y相互独立时， ，,，,f(z),f(z,y)f(y)dy;f(z),f(x)f(z,x)dx ZXYZXY,,,,,, 正态分布的特点: 22a设X,Y相互独立且X,N(μ，σ)，Y,N(μ，σ经过计算知Z=X+Y 112222仍然服从正态分布,且有Z,N(μ+μ，σ+σ). 1212 ,X,*2b若X,N(µ,σ)，则 X~N(0,1),, 22c 若X,N(µ,σ)，则 ，，Y,kX，k~N(k,，k,k,)12121(2)M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和F(y) M=max(X,Y):Y F(z),F(z)F(z) maxXY F(z),1,[1,F(z)][1,F(z)]N=min(X,Y): minXY (2)几种常见分布的数学期望 i. X服从参数为p的(0,1)分布:E(X)=0×(1-p)+1×p=p ii. 若X,b(n,p),则E(X)=np iii.若X,π(λ)，则 E(X)=λ 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若 2、连续型随机变量的数学期望 积分 ，,xf(x)dx,,, ，,绝对收敛,则称积分xf(x)dx的值为随机变量(1)定义: ,,, X的数学期望,记为E(X).即 ，,E(X),xf(x)dx.,,, (2)几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若X,U(a,b),则E(X)=(a+b)/2 2ii. 若X,N(µ,σ)，则E(X)=μ ,,x,ex,0,iii.若X服从指数分布 , ，则E(X)=1/, f(x),0x0,, 3、函数 Y = g(X ) 的数学期望 , P(X,x),p,i,1,2,？g(x)p(1)离散型:离散型变量X 的概率分布为若无穷级数,iiiii,1 , E(Y),g(x)p绝对收敛，则。 ,iii1, ，,(2)连续型:连续型随机变量X的 概率密度为f (x)，若广义积分绝对收敛，g(x)f(x)dx,,, ，,则。 E(Y),g(x)f(x)dx,,, 4、数学期望的性质: i C为常数,则有E(C)=C; ii 设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X); iii 设X，Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况: E(X，X，？，X),E(X)，E(X)，？，E(X) 12n12n iv 设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况E(X,X,？,X),E(X)E(X)？E(X) 12n12n 二、方差 22E{[X,E(X)]}E{[X,E(X)]}1、定义:设X是一个随机变量，若存在，则称为X 方差，记为D(X)或Var(X).称它的平方根为标准差，记作(X) 2、计算方法: ，,2D(X),[x,E(X)]p,(1)用定义:离散型: ,kkk1, ，,2连续型: D(X),[x,E(X)]f(x)dx,,,, 22D(X),E(X),[E(X)].(2)用公式: 3、方差的性质 (1) 设C是常数，则D(C)=0; 22(2) 设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=aD(X),从而 D(aX+b)=aD(X); (3) 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X?Y)=D(X)+D(Y); 2 (4) 对任意常数C, D (X ) , E(X – C), 当且仅当 C = E(X )时等号成立 (5) D (X ) = 0 则P (X = E(X))=1称为X 依概率 1 等于常数 E(X) 4、常见分布的方差 (1) (0-1)分布，其分布律为P{X=0}=1-p，P{X=1}=p,则D(X)=p(1-p) kkn,k(2)二项分布 X,b(n,p),，其分布律为则P{X,k},Cpqk,0,1,2,....,n.n E(X)=np,D(X)=npq k,,e,(3)泊松分布 X,,(,),其分布律为P{X,k},k,0,1,2,..... 则k! E(X)=,, D(X)=, 2()b,a(4)均匀分布 X在区间(a，b)均匀分布E(X)=(a+b)/2， (). DX,12 2,，，x,,12222,f(x),e,(5)正态分布X,N(µ,σ)，E(X)=μ，D(X)=σ. ,,2 25、契比雪夫不等式:设随机变量X的期望和方差都存在，且 E(X)=μ,D(X)=σ，则对任意 2,,,P{|X,|,},.的ε>0,有 2, 6、矩的概念: kE(X)(1)设X和Y是随机变量，若存在，k,1,2,？称为k阶原点矩，简称k阶矩。 kE{[X,E(X)]},k,2,3,？(2)若存在，称为k阶中心矩。 klE(XY),k,l,1,2,？(3)若存在，称为k+l阶混合矩。 klE{[X,E(X)][Y,E(Y)]},k,l,1,2,？(4)若存在，称为k+l阶混合中心矩。 7、标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) ? 0, 则称 X,E(X),,,E(X),0,D(X),1为 X 的标准化随机变量，显然， X, D(X) 三、协方差和相关系数 1、协方差 (1)定义:E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。 ,, 离散型: Cov(X,Y),[x,E(X)][y,E(Y)],p,,iiij11ij,, ,, 连续型: Cov(X,Y),[x,E(X)][y,E(Y)],p,,iiij11ij,, (2)关系公式: i协方差与方差的关系:D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) ii协方差与数学期望的关系:Cov(X，Y)= E(XY)-E(X)E(Y) iii若X，Y独立，则Cov(X，Y)=0,但反之不成立。 (3)协方差的性质 Cov(X，Y)= Cov(Y，X);Cov(aX，bY)= abCov(X，Y); Cov(X+X，Y)= Cov(X，Y)+ Cov(X，Y) 1212 2、相关系数 (1)定义:若Cov(X，Y)存在，并且D(X)、D(Y)存在且不为零，则称 Cov(X,Y)为随机变量X与Y的相关系数。 ,,XYD(X),D(Y) (2)性质:i |ρ|?1 ii |ρ|=1 , 存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1. XYXY 3、利用相关系数计算协方差 1 Cov(X,Y),[D(X，Y),D(X),D(Y)],E(XY),E(X),E(Y),,,D(X),D(Y)XY2 4、不相关:若X与Y的相关系数ρ=0，则称X与Y不相关。假设随机变量X，Y的相关系XY 数ρ存在，当X与Y相互独立时,ρ=0,即X与Y不相关，反之若X与Y不相关，X与Y却XYXY 不一定相互独立。 5、协方差矩阵 i定义:对于n维随机向量(X,X,…,Xn),把向量(X,X,…,Xn)用列向量形式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示并记为X，即1212 X=(X,X,…,Xn),设X=(X,X,…,Xn), 为n维随机向量,并记μ=E(X) ，，C,Cov(X,X)i,j,1,2,？,n1212iiijij CC？C,,11121n,,CC？C,,21222n则称μ=(μ,μ,…,μn),为向量X的数学期望或均值，称矩阵 为C,12,,？？？？,,,,CC？Cn1n2nn,, 向量X的协方差矩阵。 ii性质: (1)协方差矩阵对角线上的元素C为X的方差即C=D(X) i=1，2…，n; iiiiii(2)协方差矩阵C为对称矩阵,即C=C ,i，j=1，2，…，n; ijji (3)C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=(t，t，…，t),,有t,Ct?0; 12n 6、多维正态分布及其性质 (1)定义:若n维随机向量X=(X，…，Xn)的概率密度为 1 11,1,f(x,x,,x)？,exp{,(x,,)Cx,,}其中X=(X，，，…，Xn),,μ=(μ，μ，…，11212n/2n1/22，，2|C|, μn),为n维实向量，C为n阶正定对称矩阵，则称向量X=(X，…，Xn),服从n维正态分布，1记为X,N(µ,C) .对于n维正态分布X,N(µ,C) ，X的期望为µ，X的协方差矩阵为C。 (2) 性质 n维正态分布具有下述性质: I n维随机向量(X，…，X)服从n维正态分布的充要条件是X，…，Xn的任意线性组合 1n1 lX+lX+…+lX(l,l,…,l不全为0 )服从一维正态分布。 1122nn 12n Ii 若X=(X,…,Xn),,N(µ,C)，设Y=(Y,Y,…,Ym),=AX,即Y为X(j=1，2，…，n)的线性函数,i=1，2，…，112ij m，则Y,N(A×µ，ACA,)，其中A为,m行n列且秩为m的矩阵。 iii设(X，…，Xn)服从n维正态分布，则“X，…，Xn相互独立”与“X，…，Xn两两不相关”是111等价的。 第五章 大数定律与中心极限定理 一、大数定律: 1、定义1:设X,X,…,X,…为一随机变量序列,如果对于任意正整数k(k?2)及任意k个随机变12n 相互独立，则称随机变量序列X,X,…,X,…相互独立。 量X,X,？X12niii12k lim1,PXX,,,,,,nn,，,定义2:设{X}是一随机变量序列，若对任意ε>0，有则称随机变量序列{X}nn PXX,,,.依概率收敛于随机变量X。常记为 n nn11XEXn,,,,,，，1,2,,,ii,,11nn 定义3设{X}为一随机变量序列,E(X)存在，若依概率收敛nnii nn,,11PXEX,，，,,lim1,,,,,，,,,ii11,,nn于零，即对任意ε> 0，有 则称n,,ii 随机变量序列{X}服从(弱)大数定律。 n 2、几个常见的大数定理: 定理1(契比雪夫大数定律)设 ,XX, …是相互独立的随机变量序列，且有常数C，使得即 D(X) 12i nn11limP{|X,E(X)|,,},1?C，i=1,2, …，则{X}服从大数定律。即对任意ε> 0，有 n,,ii,,nnn,,11ii ,推论(契比雪夫大数定律的特殊情况)设X,X, …X… 独立同分布，且E(X) = ，D(X)= ，12n ii n12limP{|X,,|,,},1， i=1,2,…, 则对任给 >0, ,,,i,,nn,1i 定理2 贝努利大数定律 (贝努利定理) 设n是n重贝努利试验中事件A发生的次数，pA 是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有 ,,nAlim1.,Pp,,,,, ,，,nn,,贝努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率n/n与事件A的概A率p有较大偏差的概率很小。 二、中心极限定理 定理1(独立同分布下的中心极限定理/ Levy-Lindberg ) 2,设X,X, …是独立同分布的随机变量序列，且E(X)= ，D(X)= ，i=1,2,…，则 ,12ii 2xn,xX,,1,,22itlimPxedx,,,,x,,,12,,,，,n,edt 2n,,1,,,i,,,2, Y定理2 (棣莫佛,拉普拉斯定理) 设随机变量服从参数n, p(0 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2(1) 设随机变量X，X，…,相互独立同分布，E(X)=µ，D(X)=σ?0,(k=1,2,…),由定理1，当n12kk n ,,Xn,kk,1充分大时，近似服从标准正态分布。 n, ,np,n(2) 设η,b(n,p), 由定理2, 当n充分大时，近似服从标准正态分布。 n，，np1,p