第二十四届(2013年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题

第二十四届(2013年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题 初中一年级 一、选择题 1．若 M－(－1)2＋ 1)1(2 2)1(1 3   ＝2，则 M＝（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．根据上图，有如下四个表述： （1）英国获得金牌数在 4个国家中连续两届奥运会排在第四位； （2）中国是唯一曾在一届奥运会获得 50块金牌以上的国家，2008年金牌数排名第一； （3）俄罗斯三届奥运会获得金牌数都在 20块以上，3块以下； （4）美国连续两届奥运会金牌数排名第一。 其中错误的是（ ） 3．如果一个三角形的三个内角的度数正好公差不为 0的等差数列，则下面命题中正确的是 （ ） A．这个三角形一定是锐角三角形。 B．这个三角形不可能是直角三角形。 C．这个三角形不可能是钝角三角形。 D．这个三角形不可能是等边三角形。 4．若 N是能够被所有小于 8的正整数整除的第二小的正整数。则N的各数字之和是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 5．若 x2－2x＝3，则 2x3－7x2－2004＝（ ） A．2012 B．－2012 C．2013 D．－2013 6．在△ABC中，∠A＋∠C＝2∠B，2∠A＋∠B＝2∠C，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．If 2005－200.5＝x－20.05，then x equals to（ ） A．1814.55 B．1824.55 C．1774.45 D．1784.45 8．在平面直角坐标系中，若点 M(x－2，3－x)不在第一、二象限，则 x的取值范围是（ ） A．x＞3 B．x≥3 C．x＝2或 x＞3 D．x＝2或 x≥3 9．△ABC外角的度数之比为 3:4:5，则与之对应的三个内角度数之比为（ ） A．5:4:3 B．3:4:5 C．3:2:1 D．1:2:3 2012年 2008年 2004年 60 50 40 30 20 10 0 俄罗斯中国 英国美国 夏季奥运会金牌柱状图 10．若 a＝ 2011 999 ，b＝ 2012 1000 ，c＝ 2013 1001 ，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b 11．爸爸妈妈要重新粉刷两个卧室的墙壁和天花板，两个卧室分别为长 4米，宽 4.5米；长 3.5米，宽 4米。房子的高度都是 2.8米。两个房间各有一个长 120厘米，高 120厘米的窗 户；各有一扇高 2米，宽 90厘米的门。如果 1升涂料可以粉刷 4平方米，容量 5升的涂料 每桶售价是 160元，则粉刷（门窗不粉刷）的预算接近于（ ）元 A．500 B．1000 C．1500 D．2000 12．《中国好声音》的媒体评审团一共有 99名媒体评审员，在为 3名选手投票时，每位评审 员最大只能投 2票，下面 4组投票统计： 第一组：84，97，29． 第二组：66，54，70． 第三组：66，84，95． 第四组：76，82，40． 其中肯定不正确的投票统计有（ ）组。 A．1 B．2 C．3 D．4 13．关于多边形，下面结论中不正确的是（ ） A．正多边形的内角都一样大 B．正多边形都是轴对称图形 C．正多边形都是中心对称图形 D．正多边形的个边长度相等 14．As in the figure，find the point C on the line l，so that PC＝3CQ．Then the point C should be （ ） A．between P and Q B．on the left of P C．on the right of Q D．between P and Q，or on the right of Q 15．下列命题中，正确的是（ ） A．若 a＞0，则 a2＞a B．一个数的绝对值的相反数和这个数的相反数的绝对值不可能相等 C．倒数等于其自身的数只有 1 D．负数的任意次幂都不会是 0 16．电视机的售价连续两次下降 10%，降价后每台电视机的售价为 a 元，该电视机的原价 为（ ） A．0.81a B．1.21a C． 21.1 a D． 81.0 a 17．△ABC 的内角为∠A，∠B，∠C，且∠1＝∠A＋∠B、∠2＝∠B＋∠C、∠3＝∠A＋ ∠C，则∠1、∠2、∠3（ ） A．中至少有一个锐角 B．一定都是钝角 C．中至少有两个钝角 D．中可以有两个直角 18．一个多边形的内角和为 900°，则从这个多边形的某一个顶点引出的对角线有（ ） 条。 A．3 B．4 C．5 D．6 l QP 19．如下图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝130°，将它向右平移到△DEF 的位置，使 AB＝BE，若 BD和 AF 相交于点 M，则∠BMF 等于（ ） A．130° B．142.5° C．150° D．155° 20．点 A、B、C、D在一个圆上，一条与圆没有公共点的直线上有八个点 E、F、G、H、K、 L、M、N，通过十二个点中的任意两点作直线，那么作出的直线最多有（ ）条。 A．12 B．48 C．32 D．39 21．有理数 a，b，c，d满足 a＜b＜0＜c＜d，且|b|＜c＜|a|＜d，则 a＋b＋c＋d的值（ ） A．大于 0 B．等于 0 C．小于 0 D．与 0的大小关系不确定 22．方程|x＋1|＋|2x－1|＝1的整数解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．△ABC的三边长分别是 a，b，c。如果 b2＋c2－bc＝a(b＋c－a)，那么△ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 24．如下图，AB∥CD，ER∥MS，∠CPN＝60°，∠RQD＝75°，则 α＋β＝（ ） A．120° B．135° C．150° D．180° 25．一个三位数 abc可以被 3整除，则以下四个式子中一定可以被 3整除的是（ ） A．a－b＋c B．abc C．a＋b－c D．a＋b－2012c 26．用 8个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图 4，那么这个几何体的左视图一 定不是（ ） 27．点 M、N、P在数轴上的位置如下图所示，若这三个点对应的有理数 a、b、c满足 ab＜ 0，a＋b＜0，ac＜bc，则表示数 b的点是（ ） A．M B．N C．P D．O A B C D E F M β α 75°60° R Q G S H M A B C D E F A B C D 0 x PNOM 28．自然数 n 是两个质数的乘积。这个数包含 1，但不包含 n 的所有因数的和等于 1000， 则 n的值是（ ） A．1994 B．1496 C．2090 D．2013 29．若两位数 ab和ba都是质数，则 ab称为两位的绝对质数。那么，两位数中绝对质数的 个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 30．△ABC中，AB＝BC，在 BC上取点 N和 M（N比 M更靠近 B），使得 NM＝AM且∠ MAC＝∠BAN，则∠CAN＝（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空题 31．若 a，b，c 都是质数，其中 a最小，且 a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，则 ab＋c＝________ 32．以小于 20的质数为边长的各边不等的三角形有______个 33．If a and b are integers．Let a□b＝2a－3b＋ab，and a b＝a＋b－ab，then [2□(－3)] [3 □(－2)]＝______ 34．已知 n是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则 3 1 a a ＋ 4 2 a a ＋…＋ 2012 2010 a a ＋ 2013 2011 a a ＝______ 35．如图 6，射线 OC、OD、OE、OF 分别平分∠AOB、∠COB、∠AOC、∠EOC。若∠FOD ＝24°，则∠AOB＝______ 36．李强用 15 分钟完成了某项工作的 25 4 ，若他将工作效率提高到原来的 2 3 倍，则他再需 _______小时即可完成这项工作。 37．若整数 a，b同时满足 a2＝2b，b2＝2a，则 a，b的值分别是________ 38．算式 32013×410×520的结果末尾有_________个 0. 39．若 a b ＝ b c ＝ c 2 ，则 b2－c2－ac＋bc－2a＋2b＝_________ 40．某学校七、八、九年级分别有学生 374人、420人、406人，如果把三个年级的学生人 数制成扇形统计图，那么八年级学生对应的圆心角的度数为________ 41．在图 7中共有_________个正方形 O A B C D E F 42．计算：20124－2011×(20123＋20122＋2012－2)＝________ 43．同一地区随着海拔的上升，温度逐渐下降，经测量 A地区高度每上升 100 米，气温下 降 0.6 度。小明和小芳在同一时刻分别在 A地区的某上顶和山底测温度，分别是 28.6℃和 16℃。则这座山的高度是_______米。 44．在 224－1的因数中两位数的正因数有_______个 45．小球 P 从点 A开始左右来回滚动 8次，若规定向右为正，向左为负，且这 8次滚动的 记录为（单位：毫米）：＋12，－10，＋9，－6，＋8.5，－6，＋8，－7 （1）求小球 P 停止时所在位置距 A点有________毫米； （2）如果小球每滚动 1毫米耗时 0.02秒，则小球 P的这 8次滚动共用时间_______秒。 46．现有边长为 a的 A类正方形卡片和边长为 b的 B类正方形卡片，及长为 a、宽为 b的 C 类长方形卡片若干张，如果要拼成一个长为(a＋2b)、宽为(2a＋b)的大长方形，需要 A类卡 片_______张，B类卡片_______张，C类卡片_______张。 47．在下图的正方形区域中再放置一个色块，使之与原有的色块形成轴对称图形，共有 _______种放法。 48．如上图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点 E是 AD中点，点 F 是 CD上一 点，若 S△ABE＝8，S△DEF＝3，则 S△BEF＝________ 49．若(x－2)2＋(x＋3)2＝15，则(2－x)(3＋x)＝__________ 50．若关于 x 的一元一次方程 ax＋b－5＝0 的解为 x＝2，则 4a2＋b2＋4ab－2a－b＋3＝ __________ 51．如下图，在△ABC 中，BC＞AC，∠A＝60°，D、E 分别为 AB、AC 的中点，若 PC 平分∠ACB，PD平分∠ADE，则∠DPC＝_______ 52．对自然数列 1，2，3，4，5，6，…进行淘汰，淘汰的原则是：凡不能表示为两个合数 之和的自然数均被淘汰，如：“1”应被淘汰；但 12可以写成两个合数 8与 4的和，不应被淘 汰。被保留下来的数按从小到大的顺序排列，第 2004个数是__________ 53．有些数既能表示成 3个连续自然数的和，又能表示成 4个连续自然数的和，还能表示成 5个连续自然数的和。例如 30就满足上述要求，因为 30＝9＋10＋11；30＝6＋7＋8＋9；30 ＝4＋5＋6＋7＋8。则 1949至 2013之间满足上述要求的数有________个。 54．如上图，在直角三角形 ABC的两直角边 AC、BC上分别作正方形 ACDE和 CBFG，连 接 DG，连接 AF 交 BC于 W，连接 GW。若 AC＝14，BC＝28。则△AGW的面积为______ A B C D E F A B C D EP W G A B C D E F 55．若 3a＝2b，则 22 22 ba baba   ＝__________ 56．四个人的年龄分别是 a、b、c、d，任取三人的平均年龄加上余下一个人的年龄分别得 到 w、x、y、z，那么 dcba zyxw   ＝_________ 57．有一堆小正方形如下图放置，从上面拿掉一个或者几个小正方形（不能直接拿掉被压在 下面的小正方形）而不改变几何体的三视图的方法有________种。 58．甲、乙、丙、丁四个数之和等于 94，甲数减负 8，乙数加负 7，丙数乘 6，丁数除以负 5所得结果相等，则四个数中最大的一个数比最小的一个数大_________ 59．如图 13，已知 C、D是线段 AB上的两点，且 AC＝ 3 1 AB，BD＝ 3 1 BC，图中一共有_______ 条线段，若所有线段长度的总和为 31，则 AD＝________ 60．体积为 2013立方厘米的一个长方体，长、宽、高都是大于 1的自然数。将它的表面涂 上黄色后，切成边长为 1厘米的小正方体有 2013个，那么恰好有两个面为黄色的小正方体 有________个。 61．小明每个月有 10元零花钱，一块巧克力 3角钱，一张玩具卡片 2角钱。小明的幸福值 可以用下面这个公式来表示：幸福值＝巧克力块数×玩具卡片数。小明一个月可达到的幸福 值最高为________。 62．同学们在玩数 7的游戏，从 1开始轮流数，凡是碰到含有数字 7的数或者 7的倍数， 63．某城市的汽车牌照前 3 位是 3 个英文字母而后三位是 3 个数字。这个城市一共能发放 ______个车牌。 64．如图 14，从路口 A到路口 B有四条东西向的马路，四条南北向的马路。某人从 A到 B 的最短了路线一共有_______条。 65．张军星期五下午 5 点从多伦多出发开车去迈阿密旅行，根据车载 GPS（全球卫星定位 系统）预计在星期六下午 5 点到达。张军按照规定的时速（GPS 预设时速）开了半小时之 A B C D B A 后发现自己没有带手机，马上掉头超速回家，并在取到手机后全程以这样的速度行驶，最后 于周六下午 1点 50分到达了迈阿密。则张军开车超速_______（用百分比表示）。 66．w，x，y and z are all whole numbers．If 2w·3x·5y·7z＝588，then 2w＋3x＋5y＋7z＝______ 67．分数 19 7 的分子和分母加上同一个数 A后，分数变成 23 19 ，则 A＝_______ 68．如图 15，半径为 r 的圆中内接一个正方形，则阴影部分的面积为_________。 69．同学们经常用扑克牌玩 24点的游戏，即随意拿出 4张牌，每张牌上的数字只能用一次 且只能用四则运算＋、－、×、÷列算式，算式的最终结果为 24。这天出现了这四张牌：1、 3、4、6，你知道这 4个数怎样得出 24吗？ 请写出表达式________________________ 70．观察图 16，按照图中的规律，第 2013图中有___________个最小的单位三角形。 71．小强的妈妈在超市按原价买了两包卫生纸，在另一家超市看到同样的纸在打 8折，就又 买了两包。在第三家超市这种卫生纸卖 15.12元一包，小强妈妈算了一下，发现自己如果再 买 5包就可以把每包的成本降到原价的 7折。于是推知卫生纸的原价是_________元。 72．如图 17，在光明街和幸福路交界的地方有一栋大楼，那么请根据条件画出大楼的三视 图： 73．一些学生帮助学校筹备校运会，派出 9名女生布置主席台后，负责组织工作的老师发现 剩下的女生是男生的一半，再派出去 14名男生整理体育器材，这时剩下的女生和男生的人 数比是 3:4，则参加此次活动共有_________名女生 …… 第3图第2图第1图 从正上方飞过的飞机看 (俯视图) 从光明街看 (左视图) 从幸福路看 (主视图) 街 明 光 幸福路 74．下表列出了几个城市和北京市的时差，其中正数表示同一时刻比北京时间早的小时数。 如果现在北京时间是 2013年 2月 28日 10:00。 城市名 时差 柏林 －7 莫斯科 －5 纽约 －13 温哥华 －16 那么，莫斯科时间和温哥华相差________小时；此刻纽约的时间为 2013 年______月_____ 日_________时 75．从 1到 2013这 2013个自然数中，与 21互质的数共有_________个。 三、解答题 76．已知：(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2，求证：a＝b＝c 77．设 E、F 分别是平行四边形 ABCD的边 AB和 BC的中点，线段 DE和 AF 相交于点 P。 点 Q在线段 DE上，且 AQ∥PC。 求： 的面积平行四边形 的面积梯形 ABCD APCQ ＝？ 78．已知 a，b，c 均不为 0且满足 ab2＝ a c －b。求证： 2 22 c ba ＋ 2 1 c ＋ 22 1 ba ＋ 2 2 c ab － c 4 ＋ ab 2 － abc 2 － c ab2 ＝0 79．如图 19，D、E分别是边 AC的两个四等分点，试在△ABC内找一点 O，分别在边 AB、 BC上找一点 F、G，使得 OD、OE、OF、OG把△ABC分成面积相等的四部分。 80．宝石鉴定师张宝不小心在 26颗 0.5克拉（1克拉＝0.2克）的钻石中混入了 1颗外观一 样的立方氧化锆仿钻。张宝除了一台非常准的宝石天平以外没有其他检测设备，他用天平只 称了 3 次，就把这颗仿钻挑出来了，你知道他是怎么做的吗？（立方氧化锆比钻石重 60－ 70%） Q P F A B C E D E D CB A