多元函数极值及其应用

多元函数极值及其应用 学士学位论文 论文 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目——多元函数极值及其应用 王一 姓 名: 刘海明 指导教师: 数学系 系 别: 08级一班 年 级: 数学与应用数学 专 业: 目 录 1函数极值理论 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2 多元函数极值的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13 3多元函数极值的奇异性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 多元函数极值及应用 摘要:本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲 解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词:函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性 Extreme value of function and application Abstract:This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords:Function extreme: function extend application 一函数极值理论 [3]000定义2.1.1设元函数在点的某个(2)n,zfxxx,(,,)n(,,,)xxx12nn12 000邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点都有(,,)xxx(,,,)xxx12nn12 000000(或)，则称函数在fxxxfxxx(,,)(,,,),fxxxfxxx(,,)(,,,),nnnn12121212 000000点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极fxxx(,,,)(,,,)xxxnn1212 值，使函数取得极值的点称为极值点. [3]定义2.2.1函数在个约束条件 zfxxx,(,,,),(,,,)0xxx,m12nin12 下的极值称为条件极值. (1,2,,;)immn,, 3. 多元函数普通极值存在的条件 000定理3.1(必要条件)若(2)n,元函数zfxxx,(,,,)在点(,,,)xxxn12nn12 000存在偏导数，且在该点取得极值，则有 fxxx(,,,)0,(1,2,,)in,xn12i 备注:使偏导数都为的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 0 [3]000定理3.2(充分条件)设元函数在附(2)n,fxxx(,,,)n(,,,)xxx12nn12 000近具有二阶连续偏导数，且为的驻点.那么当二次zfxxx,(,,,)(,,,)xxx12nn12 型 n000 gfxxx()(,,,),,,,,12xxnijij,,1ij 000000正定时，为极小值;当负定时，为极大值;fxxx(,,,)fxxx(,,,)g(),nn1212 000当不定时，不是极值. fxxx(,,,)g(),n12 000，并记 记afxxx,(,,,)ijxxn12ij aaa，，111213,,aaa212223,, ， A,k,, ,,aaakkkk12，， 它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下定理: fg(),Hessek [3]定理3.3若 ，则二次型是正定的，此时det0A,(1,2,,)kn,g(),k 000k为极小值;若 ，则二次型是负fxxx(,,,)(1)det0,,A(1,2,,)kn,g(),nk12 000定的，此时为极大值. fxxx(,,,)n12 特殊地，当时，有如下推论: n,2 推论3.1若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续zfxyxy,(,)(,)在点的00偏导数，且 fxyfxy(,)0,(,)0,,xy0000 令 AfxyBfxyCfxy,,,(,),(,),(,) xxxyyy000000 A,0,取极大值,2则 ?当时，. ACB,,0,A,0,取极小值, 2 ?当时，没有极值. ACB,,0 2?当时，不能确定，需另行讨论. ACB,,0 4(介绍多元函数条件极值的若干解法 4.1代入消元法 通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决. 例4.1.1求函数在条件下的极值. fxyzxyz(,,),xyz,，,0 由 解得， 解xyz,，,0zxy,,，2 将上式代入函数，得 fxyz(,,)g(x,y)=xy(2-x+y) 2,gxyy'2y20,,，,,x解方程组 ,2,gxxyx,，,,220,y, 22得驻点 PP=(0，0)，(，-)1233 ,,,,,,，， gxy,,，222g,,2ygx,2xyxxyy 在点处， PABC,,,0,2,01 22，所以不是极值点 P,,,,,,,=0240ACB1 从而函数在相应点处无极值; fxyz(,,)(0,0,2) 44在点处， PABC,,,,2,233 442422， ,,,,，，,,,ACB()03333 4又，所以为极小值点 PA,,023 222因而，函数在相应点处有极小值 fxyz(,,)(,,),333 2228极小值为. f(,,),,,33327 [3]4.2拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用. 求目标函数在条件函数组fxxx(,,),(,,)0,(1,2,,,)xxxkmmn,,,12nkn12 限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵 fxxx(,,),(,,)xxx12nkn12 ,,,,,,,,111,,,,,xxx12n,, ,,,,,,,,222,,,,,xxx,J的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值. m12n,, ,, ,,,,,mmm,,,,,,,,,,xxx,,12n 首先，构造拉格朗日函数 mLxxxfxxxxxx(,,,,,,)(,,)(,,),,,,,, ,1211212nmnkkn,1k ,L,0,1,2,,,,in,,x,i然后，解方程组 ,,L,0,,2,,,kim,,,k, 000从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极Pxxx(,,)(1,2,,)ik,in12 值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值. 000定理4.2.1(充分条件) 设点及个常数 xxxx,(,,,),,,,,,mn12m012 m,,,,Lf,i0,,,,,,i满足方程组 ， (1,2,,;1,2,,)knlm,,,,,xxx,1i,kkk ,0,,l, 2,,,L则当方阵 (,,,),,,x,,m0,12,,xxkl,,，nn为正定(负定)矩阵时，为满足约束条件的条件极小(大)值点，因此为xfx()00 满足约束条件的条件极小(大)值. 222xyz例4.2.1求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体，，,1222abc 的最小体积. 解 此椭球在点处的切平面为 Pxyz(,,)000 222xyz000 ()()()0xxyyzz,，,，,,000222abc xyz000化简,得 xyz，，,1222abc 222abc此平面在三个坐标轴上的截距分别为: ,,xyz000 222abc则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 V,6xyz000 由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大; xyzV000 222xyz即求目标函数在条件下的最大值， fxyzxyz(,,),，，,1222abc 其中，拉格朗日函数为 xyz,,,0,0,0 222xyz Lxyzxyz(,,,)(1),,,,，，,222abc ,Lx2,,,,,yz0;2,,xa,,Ly2,,,,,xz0;2,,ybabc,由 解得xyz,,,,,; ,,Lz2333,,,,,xy0;2,,zc,222xyz,，，,1222,abc, abc3 VVabc,,(,,)min2333 说明:以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法. 4.3 标准量代换法 求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. [4]222例4.3.1设,求的最小值. xyza，，,uxyz,，， xyza，，,解 取 为标准量, 33 aa令 , xy,,,,,,,33 az则 (为任意实数), ,，，,,,,,3 aaa222从而有 u,,，,，，，()()(),,,,333 2a22 ,，，，222,,,,3 22aa222 ,，，，，,(),,,,33 a等号当且仅当, 即xyz,,,时成立， ,,,,03 2a所以的最小值为. u3 [4]4.4 不等式法 4.4.1利用均值不等式 aaa，，，12nn均值不等式是常用的不等式，其形式为， aaa,12nn 这里，且等号成立的充分条件是. akn,,0,1,2aaa,,,k12n 1111例4.4.1.1 已知，，求的极，，,(0,0,0)xyz,,,fxyzxyz(,,)222,，，xyz2 小值. 解 xyz,,,0,0,0, ？,，，fxyzxyz(,,)222 1 ,，，4()xyz2 111 ,，，，，4()()xyzxyz xyyzxz,，，，，，，4(3) yxzyzx ,，，，,4(3222)36 当且仅当时，等号成立. xyz,,,6 4.4.2利用柯西不等式 柯西不等式:对于任意实数和，总有 aaa,,,bbb,,12n12n 2()ababab，，，, nn1122 222222 ,当且仅当实数与()()aaabbb，，，，，，aRbR,,,aaa,,,nnii12n1212 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，bbb,1,2n 进 而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 222例4.4.2.1已知，求的最值. fxyzxyz(,,)22,,，(2)(1)(4)9xyz,，，，,, 解 首先将 变形为 fxyzxyz(,,)22,,， ; fxyz(,,),2(2)2(1)(4)10xyz,,，，,，再设 ， gxyzxyz(,,)2(2)2(1)(4),,,，，,于是，根据柯西不等式及已知条件，有 2222222，，，，2(2)1(2)(1)(4)81，,，，,，，，,,xyz 2(2)2(1)(4)xyz,,，，,,,,，，，，即: ,,,,，，,,92(2)2(1)(4)9xyz xyz,，,214,,,,k,当且仅当 时，等号成立; 221,,222,(2)(1)(4)9xyz,，，，,,, k,1, ,x,4,即当 时，; gxyz(,,)9,,maxy,,3, ,z,5, k,,1, ,x,0,当 时，， gxyz(,,)9,,,miny,1, ,z,3, 所以，，. fxyz(,,)19,fxyz(,,)1,maxmin4.5 二次方程判别式符号法 [5]222例4.5.1若,试求的极值. fxyz,,，22xyz，，,1 1解 因为 , yxzf,，,(2)2 222代入 得 xyz，，,1 1222 xxzfz，，,，,,(2)104 222即 (1) 5(42)(844)0xzfxzfzf，,，，,,, 的二次方程要有实数解, 必须 这个关于x 222 ,,,,，,,,(42)20(844)0zfzfzf 22即 fzfz,，,,4950 解关于的二次不等式,得: f 22 25(1)25(1)11zzfzzz,,,,，,,,,显然,求函数的极值, 相当于求 f 2 (2) fzzz,，,,,,25(1)11 或 2 (3) fzzz,,,,,,25(1)11 的极值. 22由(2)得 (4) 9450zfzf,，,, 这个关于z的二次方程要有实数解,必须 22, ,,,,,1636(5)0ff 2即 90,,f 解此关于的二次不等式,得 . ,,,33ff 所以 ,. f,3f,,3maxmin 2把 代入(4),得 f,3z,3 21再把,代入(1),得, f,3z,x,33 2112最后把,,代入,得. f,3z,x,y,,yxzf,，,(2)3332 122所以,当,,时,函数达到极大值3. x,z,fy,,333 122同理可得,当,,时,函数达到极小值-3. x,fy,z,,333也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3. f [6]4.6 梯度法 用梯度法求目标函数在条件函数时 fxxx(,,),(,,,)0xxx,12nin12 组限制下的极值，方程组 (1,2,,,)immn,, m,gradfxxxgradxxx(,,,)(,,,),,,,,1212niin ,1,i ,(,,,)0,(1,2,,)xxxim,,,12,in 的解,就是所求极值问题的可能极值点. ,,,fff其中表示目标函数的梯度向量， gradffxxx(,,)(,,,)12n,,,xxx12n ,,,,,,iii表示条件函数的梯度向量 grad,,(,,,)xxx(,,,)iin12xxx,,,12n例4.6.1 从斜边之长为的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形. l 222解:设两条直角边为,本题的实质是求在条件 fxyxyl(,),，，xy,xyl，, 下的极值问题. 222,gradxylgradxyl()(),，，,，,,根据梯度法,列出方程组 ,222xyl，,,, ,,1,12,2,xy,,,,,进一步求解得 ,222xyl，,,, lxy,,容易解出 2 ll,,根据题意是唯一的极大值点,也是最大值点. ,,,22,, l所以，当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大. 2 4.7 数形结合法 数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆 的半径等几何性质决定目标的条件极值. 2222例4.7.1 设，求的最值. xxyy，，,19xy， [7]解法一 数形结合法 解 设 xuvyuv,，,,,, 222则， xxyyuv，，,，,319 22uv即 ，,1 219(19)2()3 2222表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍 xyuv，,，2() 38显然最大值为长轴的长38，最小值为 3 解法二 消元法 解 设 ，， yr,sin,xr,cos, 1222则 ，，,，,,xxyyr(1sin2)192 19222 ，,,xyr1,，1sin22 193822故当，即时，达到最小值. xy,,sin21,,xy，,33 22当，即时，达到最大值. xy，,38xy,,,,19sin21,,, 解法三 均值不等式法 22xy，xy,解 (1)若注意到 xy,,0,0,2当且仅当时等号成立 xy, 22xy，2222因此:， 01919,，，,,，，,xxyyxy2当且仅当时等号成立 xy, 322即 ()19xy，,2 193822故 ，此时 xy,,xy，,33 2222(2)若，设，则问题变为求的最值 xy,,0,0yu,,xxuu,，,19xu， 22xu，由于， xu,2 2222xuxu，，2222xxuuxu,，,,，,所以 22 2222因此 xuxxuu，,,，,2()38 即最大值为38 (3)若，做变换，则问题转化为(1) xy,,0,0xuyv,,,,, (4)若，则问题转化为(2) xy,,0,0 解法四 拉格朗日乘数法 2222解 设 Fxyxyxxyy(,,)(19),,,，，，，, ,,F,，，,2(2)0xxy,,,x,,F,,，，,2(2)0yyx令 ,,,y, ,,F22,，，,,xxyy190,,,, 22则 xy, 192若 ，则， xy,xy,,319x,3 3822此时 ; xy，,3 2若 ，则，或 xy,,xy,,,19xy,,,,19x,19 22此时 xy，,38 从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率. 二.多元函数极值的应用 多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用. 5.1 不等式证明 y例5.1.1证明不等式:. exxxxyxy，,,,,,ln0,(1,0) y证 令，则只需证明 fxyexxxxy(,)ln,，,, 函数在区域上存在最小值， fxy(,)Dxyxy,,,{(,)|1,0}0 y对于，令， fxyex(,)0,,,x,1y 得，且当时， yx,ln0ln,,yxfxy(,)0,y 当时，. yx,lnfxy(,)0,y 由一元函数取极值的第一充分判断法，为最小值点， yx,ln 即在曲线上取得最小值， yx,lnfxy(,) lnx最小值. fxxexxxxx(,ln)lnln0,，,,, y故在D上，即. fxy(,)0,exxxxy，,,,ln0 5.2 物理学中光的折射定律证明 例5.2.1设定点A和B位于以平面分开的不同光介质中，从A点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为，，求需时最短的传播方式. vv12 解 设A到平面的距离为，B到平面的距离为，(如图)， ab a，光线从A点射到M点所需时间为， CDd,vcos,1 b光线从M点射到B点所需时间为 vcos,2 且，即abdtantan,,，, CMMDd，, ab问题转化为函数在条件 f(,),,,，vvcoscos,,12 下的最小值. tantan,,，,bd ab作拉格朗日函数 Labd(,,)(tantan),,,,,,,，，，,1vvcoscos,,12 aasin,,,L,，,0,,,122,vcoscos,,1, bbsin,,,令 L,，,0,,,122,vcoscos,,2, ,,Labd,，,,tantan0.,,1,,, sinsin,,由此解得，即光线的入射角与折射角应满足: ,,,,1vv12 sin,v1(光的折射定律)时光线传播时间最短. ,sinv,2 5.3 生产销售 在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润. 5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 [10]例5.3.1.1设生产某产品需要原料A和B，它们的单价分别为10元、15元，用x 22单位原料A和单位原料B可生产单位的该产品，现要以最低成本y,，,xxyy208 生产112单位的该产品，问需要多少原料A和B, 【分析】由题意可知，成本函数. Cxyxy(,)1015,， 22该问题是求成本函数在条件下的条件极值问题， ,，,,xxyy208112 利用拉格朗日常数法计算. 22解 令 Fxyxyxxyy(,)1015(208112),,，，,，,,, ,f,,,，,102200xy,,,,x,,f,,,，,1516200yx解方程组 ,,,,,,yyx2,2()4,舍去,,,,y,22,,，,,,xxyy2081120,, 这是实际应用问题，所以当原料A和B的用量分别为4单位，2单位时，成本 最低. 5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案 [10]例5.3.2.1为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为时，销售量是xy, 200100xy1，若销售产品所得利润是销量的减去广告费，现要使用广告费S,，5510，，xy 25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少, 解 依题意，利润函数为 14020xy,,,,，, S2525，，5510xy 且 xy，,25 4020xy设 ,，,，，,, Fxy25(25)，，510xy 200,,F,，,,0x2,(5)，x, 200,,F,，,0令 ,,y2(10)，y, ,xy，,25,, x,15, ,得 y,10, ,,,,0.5, 依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元 利润最大. [3]例5.3.2.2 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据: (1)根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台; (2)去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元; (3)仅生产1台电视机的成本为4000元;但在批量生产后，生产1万台时成本降 低为每台3000元. 问:在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少, 数学模型建立如下: 设这种电视机的总销售量为，每台生产成本为，销售价格为， xcv 那么厂家的利润为 ucvxvcx(,,)(),, 根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系: ,avxMeM,,,,0,0,, 这里为市场的最大需求量，是价格系数(这个 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 也反映出，售价越高，销M, 售量越少).同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算: cckxckx,,,ln,,,0, 00 这里是只生产1台电视机时的成本，是规模系数(这也反映出，产量越大即销ck0 售量越大，成本越低).于是，问题化为求利润函数 ucvxvcx(,,)(),, ,av,xMe,在约束条件 下的极值问题. ,lncckx,,0, 作Lagrange函数 ,av LcvxvcxxMecckx(,,,,)()()(ln),,,,,,,,,,,，0就得到最优化条件 Lx,,,,,0,(1),c,,avLxMe,,,0,(2),,v, ,k,Lvc,,,,,0,(3) ,,,xx,,av,xMe,,0,(4) ,cckx,，,ln0.(5),0, 由方程组中第二和第四式得到 1 ，即 ,=,,=1, 将第四式代入第五式得到 cckMv,,,(ln),0 再由第一式知 . ,,,x 将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 1 ,,,,，,,vckMvk((ln))0,0, 1,，,ckMkln0*,由此解得最优价格为 ,。v,1k, 只要确定了规模系数与价格系数，问题就迎刃而解了. ,k 现在利用这个模型解决本段开始提出的问题.此时，. c,4000M,10000000由于去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元，因此得到 lnlnln1000000ln100000Mx,, ; ,,,,0.00058v4000 又由于生产1万台时成本就降低为每台3000元，因此得到 cc,40003000,0 . k,,,108.57lnln10000x *将这些数据代入的表达式，就得到今年的最优价格应为 v 14000108.57ln1000000108.57,，,*0.00058 (元/台). v,,439210.00058108.57,， 参考文献: [1] 唐军强.用方向倒数法求解多元函数极值[J].科技创新导报，2008，(15):246-247 [2] 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵阳师范学院学报，2008，27(2):14-15. [3] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析.下册/—2版[M].北京:高等教育出版社，2004.10 [4] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法-北京:高等教育出版社，1993.5 [5] 王延源.条件极值的六种初等解法[J], 临沂师专学报, 1999(12):21-24. [6] 肖翔，许伯生.运用梯度法求条件极值[J]，上海工程技术大学教育研究，2006(1): 35-37 [7] 陈传理，张同君(竞赛数学教程(第二版)[M](北京:高等教育出版社，2004:147 [8] 法博齐(投资管理学[M].北京:经济科学出版社，1999 [9] 林德光.《多元统计教程》[M].华南热带作枋学院印，1988 [10] 陈文灯.考研数学基础核心讲义/经济类[M].北京:北京理工大学出版社，2010.1