上三角矩阵代数上的保不变子空间格映射

上三角矩阵代数上的保不变子空间格映射 上三角矩阵代数上的保不变子空间格映射 第22卷第4期纺织高校基础科学Vo1.22,No.4 2009年l2月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESDec..2009 文章编号:1006—8341(2009)04-0418-03 上三角矩阵代数上的保不变子空间格映射 冯敏,张建华 (陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062) 摘要:设是数域F上的×凡阶上三角矩阵代数,其中F是实数域R或复数域C.利用矩阵的 可加性,证明了上的每一个保不变子空间格的可加映射为:(A)=etA+(A),(V? ),其中是非零常数,一F是可加映射,,E是单位算子. 关键词:上三角矩阵;可加映射;不变子空间格 中图分类号:0177.1文献标识码:A 0引言 设是数域F上的Banach空间,其中F是实数域R或复数域C,)表示上的全体有界线性算 子构成的代数.设c钡)是一个代数,:一是一个映射,如果VA?有Lat~(A)=LatA,则 称是上的保不变子空间格映射,其中La={:A}为的所有不变子空间之集.近年 来,许多学者对算子代数上的保持映射进行了深入的研究,如保幂等j,保相似J,保交换J,保不变子空 间格刮等其中在保不变子空间格方面,Jafarian和$ourouru4证明了线性映射:预)一顶)保不变 子空间格的充分必要条件是存在非零常数和线性映射:)一F,使得VA?顶)有(A)=aA+ (A),;Dolinar证明了若:预)一以)是非线性映射,那么VA,B?取)有Lat(A+B)= Eat((A)+()),当且仅当存在非零常数Ot和线性映射:)一F,使得VA?觑)有(A)= +(A)本文给出了上三角矩阵代数上保不变予空间格的可加映射的一个刻画. 为了方便读者,给出本文的一些记号.设是数域上的nx/7,阶上三角矩阵代数,(,,)是由Y生成的 中的线性闭子空间,其中Y?F.设E;是第i行第.『列处为1,其余处为0的凡×凡阶矩阵,ei是第i个位 置为1,其余位置为0的n维向量.若,Y?F,Y表示由:(,,,>定义的一秩算子. 1主要结论 1.1足理 定理1设(n?3)是数域F上的n×n阶上三角矩阵代数,:一是一个可加映射,则保不 变子空间格,当且仅当存在非零Ot?F和可加映射:一F,使得VA?,有(A)=+(A),,其中 ,?是单位算子. 1.2引理 引理l设B?,Y?,若LatB包含(y)的所有子空间,则限制在(y)J.上是数乘单位算子. 证明设?(Y).由于x)?(Y),则由条件知()?LatB,即Bx?(),故?F,使得Bx= . 因此下面只需证明Vz?(y),有Bz=分2种情况来讨论. 收稿日期:2009-05.18 基金项目:国家ca然科学基金资助项目(10571114);陕西省自然科学研究 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 资助项目(2004A17) 通讯作者:张建华(1965-),男,河南省商丘市人,陕西师范大学教授.E—mail:jhzhang@snnu.edu.13n 第4期上三角矩阵代数上的保不变子空间格映射419 (1)若与线性相关,即y?F,使得z=yx,则 Bz=(yx)=(Bx)=()=(yx)= (2)若与z线性无关.由于(z),(+>?(,,)J.,则j,?F,使得Bz=,(+)=(+ ),进一步(戈+z)=Bx+Bz=+1z,从而J92(+)=+.,即(2一)+(一卢1)z=0.又 因为戈与z线性无关,所以(一卢)=(卢:一JB)=0.于是==卢..故Bz=.引理1证毕. 引理2设A,B?(n?3).若La=LatB,则当A是一秩算子时,,?F且?0,使得B =+B1. 证明由于A是一秩算子,则存在非零向量,Y?,使得A=Y,显然Lat(x,,)包含(,,>的 所有子空间,而Lat()=LatB,所以LatB也包含(y>的所有子空间.于是由引理1可知限制在 (y)J.上是数乘单位算子,即jEF,使得VzE(y)有Bz=,从而B一是一秩算子,不妨设B= 厂g+,其中f,g?F为非零向量.于是Eat(xY)=Latg+卢,)=Latg).则可断言Y与 g线性相关,与厂线性相关. 由于凡?3,所以存在线性无关的向量,t?(Y)J-.又由引理1可知厂g限制在(,,)是数乘单位算 子,从而存在常数AEF,使得 (s,g=厂@g(s)=As(1) 和 (t,g:厂g(,)=A,.(2) 由式(1)和(2)可得A=0,所以(,,>ker0g),(,,)J.<g)-L.同理可得(g>J.<>,于是有(> : (g>,所以Y与g线性相关. 下面证明与厂线性相关.设(,),)?0,由于(>cEat(x),):Lat0g)=LatY),则厂 y(x)?(),即(,y)f?(),所以与厂线性相关.设(,y>=0,则一定有,,,>=0.否则若),)?0, 类似上面的证明过程可知戈与厂线性相关,而<,y)=0,所以Y)=0,矛盾.从而当(,Y)=0时,有 ,,>=0.令=V{,Y),则cEat(x0Y)=Lat,,),取E,使得(,,,)?0,则有0,,(2) = (,),>,?,也就是了,?F,使得f=+y(,?F),从而0=,y)=(+,y)=<y, y>,而(y,y)?0,则有=0,从而f=.即与厂线性相关.所以j,卢EF且?0,使得B=g+ =Y+=+引理2证毕. 引理3设1?i?J.?n,?F\{0},则jOL??F且?0,使得(E)="(E)+卢 证明因为r是一秩算子,由引理2可知j,?F且?0,使得(E=Ol(r,E)+ 同理可知当i?.『时,,EF且?0,使得(E)=(E)+卢,;且j,p?F(?0), 使得 (FiiE+E)=(FiiE+r)+P,.(3) 又因为(rE"+E)=(rE")+(E)=(rE)+I+(E)+I,(4) 结合式(3),(4)可得(+r)+p,="(riiE)+d,+()+,,从而(一)+( 一%)r?FI.又因为n?3,且r?0,所以Vi?(1?i<.『?n)有=n=?0.从而j, 卢?F且?0,使得()=(E)+卢L 引理4设r?F\{0}(1?i?n),则存在非零?F,使得V有(rE")=(r,Ed)+,,卢" 是与r有关的常数. 证明由引理3知.I',_I.f?F且0lH. ?0,使得(gi-l,iEH.i)=-l'(Fi-1,iE,i)+_1- 一 方面,r+Fi-l, i E? , i是一秩算子,所以j一?F且一?0,使得 (r"E"+Fi-1,iE一1,f)=f.1—1(rE"+ri-l,iEi—1. i)+6,1,;(5) 另一方面,由于是可加映射,则有 (E+ri-l,iE?. )=(riiE")+(ri-l,iE.f)= (r"E")+",+乜一1,'一1(Fi-1,igi一1.i)+一1,i,,(6) 结合式(5)和(6)可得 ,一1(r,E+FI-I, iEl一 1.f)+6i.~-1,=仅"(riilF,")+d,+i—l.i—l(Fi-l,iE'一1.i)+卢i—l.i,, 420纺织高校基础科学第22卷 故(1一r"E+(,1一?, Hr , . E, fEFL又因为n?3,且r?-l'?O,所以Vi(2?i? n)有一1==卜l?0.即存在非零?F,使得Vi有(rE)=Ix(rilE)+L 2定理1的证明 (1)充分性显然 (2)必要性设A=?A0E(AEF).由引理3和引理4知,对任意的非零常数A,都]Ix,3? F且?0,使得(AijE)=(hoE)+,(1?i??n).又因为(0)=0,所以VAEF,|仪, EF且?0,使得(AEf)=(AE)+,,从而 (A)=(?A)=?(AE)=?(ix(AE)+JB,)=?A+?卢,= 以+J,其中:?13旷定义映射妒:一F为(A)=.从而存在非零EF和可加映射:—F, 使得(A)=aA+(),(VA?)都成立.定理1证毕. 参考文献: BRE~ARM,~EMRLP.Onlocalautomorphlsmsandmappingsthatpreserveidempotents[J] .StudiaMath,1995,113:101- 108. JIG,wuB.Similaritypreservinglinearmapsonuppertriangul82"matrixalgebras[J].Linear AlgebraAppl,2006,414:278? 287. RALFB,MARTINM.Commutativitypreservingmappingsonsemiprimerings[J].Comm Algebra,1997,25:247-265. JAFARIANAA,SOUROURAR.Linearmapsthatpreservethecommutant,doublecommut antorthelatticeofinvariantsub- spaces[J].LinearMuhilinearAlgebra,1994,38:117—129. DOLINARG,DUS,HOUJ,eta1.Generalpreserversofinvariantsubspacelattices[J].Linear AlgebraAppl,2008,429:100— 1o9. JAFARIANAA,RODMANL,~EMRLP.Linearmapspreservingtheisomorphismclassoflatticesofinvarlantsubspaees [J].ProcAmerMathSoc,1998,126:3607—3617. Additivemapspreservingthelatticesofinvariantsubspaces onuppertriangularmatrixalgebras FENGMin,ZHANGJian.hua (CollegeofMathematicsandInformationScience.ShaanxiNormalUniversity,Xian71006 2,China) Abstract:Letbethealgebraofalln× nuppertriangularmatfixsoverF,whereFistherealfieldRorthe complexfieldC.Usingtheadditivityofthematrix,itisprovedthateveryadditivemappreservi ngthelatticesof invariantsubspacesisoftheform:(A)=aA+(A),(VA?),whereisanonzeroscalar,:-+Fis alladditivemapandJ?isallidentity. Keywords:uppertriangularmatrix;additivemap;lattice 编辑:黄燕萍;校对:武晖 1J1J1J1j1J1j