Delta算子系统的极限环问题分析

Delta算子系统的极限环问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析 Delta算子系统的极限环问题分析 第4卷第2期 1999年6月 电路与系统 JoURNALOF0lRCU?苫ANDSYSTEMS VoI4No.2 Junel999 Delta算子系统的极限环问题分析+ 墅杨成梧(南京理工太学动力学院南京210094) /,, 【?蔓】凸z算子数字控制器的实现和有限字长研究在高速采样情形下显得尤为重要.奉文研究了高速采样 利用Lyapunov方法给出Delta系统极限环的判别条时凸蛔算子系统极限环问题. 件,井给出具体实现倒子 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了 结论的有效性-,), ',_竖了尸 Delta算子作为一种新的离散化方法得到较为系统深入的研究,敏得不少成果….采样周期很小 时,Z域离散化方法将导致采样系统所有极点位于Z=1处,在有限字长计算机中实现时会产生数值 不稳定问题,且易引入非最小相位零点,使离散化后的系统性能变差.为此,Goodwin教授等[2建 议采用Delta算子来离散化连续系统,在快速采样情形下使其离散模型趋近原来的连续模型,在高速 信号处理与数字控制等领域具有重要的应用价值. 数字控制器实现时因有限字长会对存储数据进行截尾或舍入处理,导致差分方程系数或状态变 量数值产生量化误差,引入非线性,从而控制系统发生极限环振荡等数值不稳定现 象[5】.迄今De/ta 算子有限字长研究已取得一些进展[2.】,文[2]证明了计算机字长较少时,Delta模型比Z域模型的 量化误差小,数值上更接近原连续模型;文[4]的研究 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明Delta算子实现方法在系数有限字长表示, 运算中对舍入及截尾误差的影响,有限字长非线性对极限环振荡的影响方面,都优于Z变换的实现方 法 本文研究Delta算子系统在高速采样时的极限环问题,首先介绍了Delta算子系统模型描述.接着 基于Lyapunov方法给出Delta形式极限环不存在的判据条件,最后运用实例说明了定理的有效性. 1Ddta算子横蔓描述 Delta算子定义为: 6:(1) ? 其中?为采样周期,q为前向移位算子,qx(k)=x(k+1). 考虑线性定常连续系统 瓤f)=A(f)+Bu(t),y(f)=(r)(2) 式中,H,Y分别为tl,m,p维状态,控制,输出向量.A,B,C分别为相应维数的常值矩阵. 其Z域离散化模型为 qx(k)=Aq()+Bq"(),y()=)(3) 其中A.=,, (2)式的6域离散化模型为 岛=AeAtB出,Cq=c '国家自然科学基金f674021)和博士点基金资助项目.收藕日期1998.4-3{At,hi3.1998) ,. (4) 邵锡军等:Delta算子系统的极限环问题分析 &()=如()+Bau(k),y(k)=)(5) 式中A:(Aq—I)/A巩=Bq/A,c=Cq(6) 当?0时,由(4)和(6)式分别得到. - A目J,B口0;如A,巩B(7) 由此可见,当采样频率增加时,Delta变换模型更趋近于原连续时间系统,并建立起 连续系统和 离散系统之间的密切联系. Delta算子控制器或滤波器可直接在计算机中实现,其基本运算单元为,,定义如 下 妁=麒t):七一+酿七一D(8) 从而(5)式的解可表示为? (七)=一'(Aax(k)+Bau(k)}=量+1)+?{A(七一J)+u(k—1)),y(七)=c(七)(9) 2Delta算子系统极限环爿据 考虑如图1装置的数字控制系统. 图中是线性子网状系统矩阵,包 含了加法器,乘法器以及联络线,但不 存在时滞;信号量化和溢出的控制由量化 器Qn=1,2,AN执行,量化器含单位 时滞.?是采样周期. 图1装置的系统的状态空间表达式 如下 蠡(t)=州)+bu(k) y()=CT()+du(k) 当系统为零输入时即?(t)=0,(10)式可表示为 &()=A() (七)=c(七) Delta算子的定义为 蠡(t)=—x(k_+1)-x一(k) 圈1N阶带量化器韵数字控制罴 从图1中可以得到 州)=(J+?)() x(k+1)=Q((,.?)())=州) 其中州)是w()的量化形式含有一些非线性和某些时变函数两者具有如下关系 Wn(k)=Q(W(尼)) 定理式(n)描述的6算子系统,若lWnI??1w(t)ln=1,2.AN,当下式成立时 P+l^圃+?A户A0 (10) (12) (13) (14) (15) (16) 邵锡军等:DeI乜算子系统的极限环问题分析 该系统不存在极限环. 证明构造上叩"nDv函数 V(k)=y((七))=XT(k)Px(k)(17) 其中P=P?R…为对角阵,若P>0,则V(k)为正定函数. 根据的定义有: 西(七)=—V(k+1)— - V(k)=:. x .. r .. (. k ... + .. 1 . ). P .. x .. (.. k .. + ...I . ).. - ... x . r .. (. k .. ).. P .. x .. (. k —— ) ?? :二?!?丛巡?二 ? …)塑)一?一】 =c坝P++M?t一 姜w:ct一:c圳 式中P为P对角线上的元素是和时刻kA相联系的非负实数. 根据Lyapunov方法,若(t)?0,系统(1)是渐近稳定的, 证了(18)式第二项为非正数,故当式(16)成立时有 (18) 条件一<k)l~1w(=l'2,AJ?保 (t)?0(19) 数字控制器都是有限维装置,信号Xn()经过一定数量的数字控制器处理后要么恒为零,要么出 现周期性振荡.对于第一种情况,系统肯定不会产生极限环;对于第二种情形,(t)中至少存在一 个信号设为Xi()在作周期性振荡,但由式(19)我们可以知道通过每一个控制器对信号的修正使得振 荡的幅值逐渐变小,因此信号Xi()经过在一定数量的数字控制器后变成了零,当N足够大时,由条 件()I?(t)ln=1,2,AJ?和式(16)成立就能确保极限环不存在?故定理得证? 3算饲 图2为二阶数字控制系统,虚框中的结构就是的实现形式,采样周期A=0.1.则该系 统的状态 空间表达式为 (t)=(t)+bu(k) (t)=CT(t)+du(k) 其中 卦=c= 当系统输入为零时并设满足上述量化器条件,且取正定对角阵_P=,则 = 蜘.-0一.5] : l一.?一625l?0I一 6.25—7.55I ?r_I藉蕊蕊一? 邵锡军等;Dalm算子系统的极限环问题分析 显然满足定理.因此此数字控制器能够 消除零输入极限环. 注记定理给出了零输入情形下 Delta算子系统极限环不存在的判据,算 例是在实际系统中的应用.从中可以看出 当采样周期A越小时式(16)越容易满足. 由此可知本定理适用于高速采样系统.' 4螬语 本文研究Delta算子系统在高速采样 时的极限环问题,给出了系统在高速采样 情形下基于Lyapunov稳定性理论极限环 不存在的判据.算例结果表明了结论的有 效性.本文进一步方向是2.DDelta系统 或m-DDelta系统的极限环问题研圈2二阶数字系统的实现 ^) ?膏文? 【1】张靖金,扬成梧.反馈控制系统Delta算子理论的研究与发展.控制理论与应 用,1998.15(2):153.160 【2]MiddlemnRHandGoodwinGC—lmprovedFinitewordLengthCharacteristicsinDi【gitalCont~'olUsingDeltaOperators. IEEETrans.onAutomaticControl?1986?31(11):1015—1021 【3]MMdletonRHandGoodwinGC-DigitalContxolandEstimation:AUnifiedApproach.PrenticeHall,Englewood Cliffs,1990 [4]陈宗基.高金源,张建贵z变换和A变换的有限字长特性研究.自动 化,1992,18(6):662..669 [5]AntoniouA.DigitalFilters:Analysis,DesignandApplications?NewYork:McGrawHill,1993 [6]LiGandGerversM.Comp~afiveSmdyofFiniteWord?lengthEffectsinShihandDeltaOperatorParameterizations.Proc. 29thIEEEConferenceDecisionControl,1990?954-959 【7】Premara~eKandBauerPH.LimitCyclesandAsymptoticStabilofDelta— operatorFormulatedDiscreteTimeSystems ImplementedinFixed?pointArithmetic-IEEEInt.SymposiumCircuitsandsystem,1994,461?464 【8】 BauerPHandPremaratoeK.LimitCyclesinDelta-operatorFormulated1-Dandm.DDiscrete-timeSystemswith Fixed.pointArithmetic.IEEETrans.CircuitsandSystem-,,1997,44(6):529-537 ??覃男,28岁,博士生.研究领域为计算机控制,高速采样系统等. 鼍?童男,32岁,博士,讲师.研究领域为高速采样系统,系统辨识. 插^槽男,62岁,教授,博士导师.研究领域为复杂系统控制,高速采样系统等. LimitCycleAnalysisofDeltaOperatorSystems ShaoXijunZhangDuanjinYa?罟Chengwu (SchoolofDynamicEngineering-Nanji"gUniversityofScience&Technology— Nanji"g210094) AbstractDigitalcontrollerimplementationandfinitewordlengthanalysisusingdeltaoperatorareveryimportantin highspeedsamplingsystem.Thelimitcyclesproblemsateconsideredinthispaper.andnewcriteriaforfimitcyclesindelta operatorformul~edsystemswithapunovmethodsampresented-Theresultofanexampleprovesthetheoretical correctness? KeywoedsDensoperator,Digitalcon~ol,Discretesystem,Limitcycles ?目.