矩阵的特征根的求法及应用[修订]

矩阵的特征根的求法及应用[修订] 矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质; 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 Ax,,xnn,A 设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称x x,AA,为的特征值，为的对应于特征值的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括: ,是A的rA对应特征值,有s(1)若重特征值，则个线性无关的特征向量，iiii其中s,r. ii ,(2)若线性无关的向量x,x都是矩阵的对应于特征值的特征向量，则A012 ,kx，kx当k,k不全为零时，仍是的对应于特征值的特征向量.A0121122 ,,,,？,,是矩阵A(3)若的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12n x,x,？,x，则这组特征向量线性无关. 12n ,,,,？,,，， (4)若矩阵的特征值分别为，则 A,a12nijn，n ,,？,,A,，,，？，,,a，a，？，a ，.12n12n1122nn (5)实对称矩阵的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交.A (6)若是实对称矩阵的重特征值，则对应特征值恰有个线性无关,r,rAiiii的特征向量. (7)设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式，，，，，，PxP,PA,A 的特征值. 2(特征值与特征向量的常规求法; ,1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| E- A| = 0, 求出A的特征 ,,值, 对于A的任一特征值, 特征方程(E- A)X= 0的所有非零解X即为矩阵A的属于特征值?的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. ,1:特征方程(E- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。 ,122，， ,,A,,,212列1:求实数域上矩阵的特征值与特征向量。,, ,,221,,，， 传统解法;解 ,,，,,，,,122142 EA,,,，,,，212232,,, ,，,221001,, ，,14,,2,,,,,，115，，，，，，,,,,,,，23,,, ccrrkc,,，，，，，，ijjii 11,,,EA,,0,,,,1,,,5r令,得(二重)，是A的全部特征i123,,kk,, ,ckcrkr，,，，，，jiij 值。 当时，对应的特征方程; ,,,,112 2220xxx,,,,123 , ,，，,2220xxx123, ,,，，,2220xxx的基础解析为 123, 11，，，， ,,,,,,1,,012,,,,， ,,,,01，，，， 所以A的属于全部特征向量为，其中，为不全为零的常数;,,,,1kk,,，kk12112212 当时，对应的特征方程 ,,53 ,,,,4220xxx,123 , ,,，,2420xxx ,123 ,,，,,2240xxx123,的基础解析为 1，， ,,,,13,,,,5k,k所以A的属于的全部特征向量为其中不为零.3333 ,,1，， ,,定理1,A 是n 阶方阵, 为待求特征值.若对矩阵(A- E) 施行一系列行初等变 ,,,,BB换, 可得到上三角矩阵 () , 令 () 的主对角线上元素乘积为零, 求得? 值即为矩阵A 的特征值. 例 求实数域上矩阵 ,122，， ,,A,,,212,, ,,221,,，， 的特征值与特征向量. 解 T，，AEE,,|，，，， ,,,122...100，，, ,,,,,,212...010,,, ,,,,,221...001，，, 221...001,,,，，,,,~212...010,,,,,, ,,,,122...100，，, ，， ,,221...001,,,,,,~011...011,,，,,,,,,,15,，，，，，3，,,00...11,,,,,,，，22 ,，，DP|，，，， ，，,, D,15,，,,令的主对角线元素之积为零, 即=0，特征值为(二重);,,,,1，，，，，，12 ,,5 3 222...001,,，， ,,000...011,DP,,|,,,,1，，时;=。 ，，，，1112，，,, ,,000...112,，，RD,,1,,,,1，于是对应的特征向量为 ，，，，112 10,,,,TT,,,,,,,,,1121,,,,0111 , ，，，，12,,,,,,,,2,1,,,, ,,,,1kk,,，kk所以A 的属于全部特征向量为，其中，为不全为零的常数;12112212 ,,5当时。 3 1，，212...00,,,2224...001,，，,,11,,,,,011...0,=~066...011,,DP,,|，，，，，，33，，,,,,66,,,,000...111,,，，000...111,,,, ,,，， ，于是对应的特征向量为，其中不为零。RD,,2,,5k,k，，，，33333 2:列行互逆变换法 定义1:把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换; 1:互换i.j两列cc,，同时互换j.i两行rr, ，，，，ijji 11,,kc2:第i列乘以非零数k，同时i行乘; r，，ii,,kk,, ckc，rkr,3:第i列k倍加到第j列，同时第J行-k倍加到第i行。，，，，jiij TA,,J,,一系列列行互逆变换,,,,,,,,,,,定理1:A为任意n阶方阵，若,其中IP,,,, j(),(),...,(),,,jjPP...，，,,J=diag是jordan标准型矩阵，P=k12kkn1r12n TA证:任一矩阵必相似于jordan标准型矩阵，有矩阵A的转置矩阵相识于一 ,1TTTTJjordan矩阵J，即纯真可逆矩阵P，使得,故AP=P，其中PAPJ,，， P= ‘ ,,,,.........，，1111rr ,10...00,00...00,,,,ii,,,,01...0010...00,,ii,,,,T,,,, JJ....................................kk11,,,,000...1000...0,,ii,,,,,,,,000...0000...1i,,,,i,,kk11 T,,Jk1,,0所以A= ,,,,.........,,,,.........，，，，,,1111rr1111rrT,,Jkr,, 固有Air,,,,,1...。 ，，ii ,,,,,所以为A的特征值，为A对于的的特征向量。iiiiki 列1: 解 2,111,11200，，，，，， ,,,,,,03,113,112,1,,,,,,CC，cc，1321,,,,,,A213004004，，rr，rr，1231,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)(1),,,,,,,, ,,,,,,,,I1001001,10，，,,,,,,010010010,,,,,, ,,,,,,,101,111001，，，，，， 200200，，，， ,,,,11201202c3cc,,,,,3221,,,,1004004r3rr，232,,,,2,,,,,,, (3),,,, ,,,,1,1121,11,,,,01,1201,1,,,, ,,,,,1112,111，，，， ,,4,,,,2,,,,2所以，特征值，对应特征值的特征向量为31212 ,11，，，， ,,,,,,1,，对应特征值的特征向量为。 ,,1,,4133,,,, ,,,,11，，，， 注:解答过程中(1)处的K=-1是由方程2+3K+(2+k)(-K)=0确定的，(2)处的K=-1是由方程-1+K+(3K)(-K)=0确定的，(3)处的K=-1/2是由方程-1+2K+4(-K)=0确定的。