各向异性媒质中双折射现象的讨论

各向异性媒质中双折射现象的讨论 各向异性媒质中双折射现象的讨论 学术论坛 QQ: SClenceandTechnologyInnovationHerald 各向异性媒质中双折射现象的讨论 刘毅'朱春莺 (1.深圳大学物理科学与技术学院广东深圳518060;2.深圳大学师范学院广东深圳518060) 摘要:各向异性是物质的基本性质.本文讨论了平面电磁波在各向异性媒质中的传播,解释了双折射现象产生的物理规律,并对教学中容 易混淆的一些概念进行了说明,在此基础上介绍一种波法线面作图法,可以确定单轴晶体产生双折射时O光和e光的光线方向. 关键词:各向异性双折射相速度 中图分类号:TP33文献标识码:A文章编号:1674—098x(2008)05(a)一0137--02 各向异性是物质的重要基本性质,在 当前存储技术,显示技术等现代科技中有 着重要作用和应用价值.在大学物理教学 中,双折射现象就是 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 各向异性的典型 现象.目前各类教科书中,在解释晶体的 双折射现象时,均采用惠更斯原理定性作 图法,得到寻常光与非常光的传播方向. 该作图法方法简单,从图中可以看出非常 光的传播方向与波阵面并不垂直,但物理 图像不清楚,即使教科书指明了非常光的 传播方向与波阵面并不垂直,一般并不进 行解释Il】.由于在大学物理中,我们一般处 理的都是各向同性介质,学生通常认为光 的传播方向应与波阵面垂直,甚至一部分 教师也有这样的模糊认识,造成学生概念 上的混乱,甚至有的认为非常光完全不遵 守光的折射定律.本文从媒质的电各向异 性出发,讨论单色平面电磁波在各向异性 媒质中的传播,解释双折射现象产生的物 理规律,并介绍一种物理图像更清晰的波 法线作图法. 当晶体或材料为各向同性时,光通过 晶体的传播方向始终与波阵面垂直,也即 坡印廷矢量与波法线方向相同,而当材料 为各向异性时,情况完全不同.光斜入射 晶体产生不同的传播方向的两束光,实际 上是由材料的电各向异性引起的.本文 中,假设媒质是均匀的,不导电((=0)和磁 各向同性的(或磁各向异性对光传播的影 响很小,可以忽略),但是具有电各向异性, 即所考虑的物质的电激发依赖于电场的方 向.描述介质中电磁场,除麦克斯韦方程 组的积分形式【2外.还需要物性方程 p 图1电磁场矢量示意图 (1) (2) (3) (1),(3)式为各向同性介质的物性方 程,也是一般电磁学教科书中常用的,其中 (1)式中的(为媒质的介电常数,为一标量. 上式表明各向同性介质中电位移矢量与 电场强度矢量云方向相同,而对于本文讨 论的电各向异性媒质,与一般方向不 同',(3)式为0,即介质中无传导电流,(1) 式则必须改写为 D磁 (4)式中为二阶张量,称为介电张量, 表明介质的电激发与电场的大小和方向均 有关.高阶张量是表征介质的各向异性性 质的特殊物理量…,一般物理学中常见的为 二阶张量,但也有三阶张量,如压电系数, 电光系数,以及四阶张量,如弹性模量等. (4)式写成分量形式为 (D:,xE+,E+,x:E:, D=s,+sE. +SI=E: lD=:s,,++巴 f:X.y:: 其中s为介电张量的九个张量元,由 于其对称性,只有六个独立张量元.对于 具有一定结构对称性的晶体,独立张量元 \\ 兜轴空气/真 ,』 , , ,. \. 图2波法线面作图法 线 和0光光线 的个数可能更少. 电能密度的表达式和坡印廷矢量(表征 电磁波能量传播的矢量,其方向即为光线 的方向)分别为: := ?EkgktE~(7)8不8不一 i=(云×(8) 4不 (7)式中等式左边若为一常数则可描述 一 椭球方程,介电张量的对称性使得可以 通过坐标变换,将电能密度变换到晶体中 的主轴坐标系中.在该主介电轴系中,物 质方程为如下形式: rD=gE, {D,(9) LD=g=E:, (g,) :(++)(1o)毽,,,.一 上式中,F称为主介电常数.可看 出与将具有不同的方向,除}云与主轴 之一的方向重合;或主介电常数都相等,此 时椭球退化为球,对应于各向同性介质或 结构对称性很高的晶体.一般说来,介电 张量的张量元通常也是频率的函数,但仅 限于讨论单色电磁波,则可以不考虑色散, 此时各张量元为介质常数. 考虑角频率=2;n,的单色平面波在晶 体中沿着波法线单位矢量方向传播,其 相位速度为c/n,门为介质在方向上的折 射率,矢量,,ii和按复数表示法都与 exp[im(--"(r'.)一,)】成正比 ,因此 C 挲:一斌i:棚(11),C 对于不含电流的区域,麦克斯韦方程 变为 ,西×H:-D'.?IS×E=(12) (12)式中消去,可得 科技创新导报ScienceandTechnologyInnovationHerald137 乙,.1l 勾 写 或简 一一柜 ,一肚,.?,,?l 垫塑Q:! ScienceandTechnOIOgyInnovationHerald (13) 表示在和的平面内垂直于的 矢量分量,如图l所示. 由(12)式可看出,矢量与,和均 垂直,因此,和共面,波法线垂直于波 阵面,而波阵面是的等相位面,波法线的 方向是传播的方向,与垂直,因此, 和三者相互垂直,光线矢量即能流密度 矢量方向的单位矢量用表示,垂直于 和.和之间的夹角与和厂之间的 夹角相同,用a表示.电各向异性媒质中, 波法线,场矢量和能流的方向标示于图l. 可以看出在各向异性媒质中,电磁场能量 一 般不沿波法线方向传播.因此还必须定 义由磁梳鼍输运的速度,也称为光线速 度.,t,即单位时间内通过垂直于能 流方向的面积的能量除以每单位体积的能 暑.相估速度表达式为 1,一vtt=1,,cosa,即相位速度是光线 速度在波法线方向上的投影.下面我们将 会看到,对于一个给定的波法线方向,一般 有两个相速度.,,因而也有两个光线方向, 这就是双折射产生的原因. 用(9)式代替(13)式中的,得出 ="!f一s(,?i)】,(=.J,,=)(14) 只有折射率,矢量【,:)和主介 电常数-=满足一定的关系,电场矢量 各分量的非零值才能满足(14)式.将(14) 写为 : (15) n'一s. (15)式乘以,然后将得到的三个分量方程 相加,除以公因子,利用++=1 又定义三个主传播速度1',Vt,-1'=,, v,11_:—,11_:(16)V'':q 可得 (17) (17)式是波法线的菲涅耳方程.(17)式 是的二次方程,相应于每一个方向,有 两个相速度v(一v对应相反的传播方向,因 此?v只算一个).对于单轴晶体,主介电 常数只有两个独立分量,取=,即光轴沿 Z轴方向,令1'=V=VV:=,(下标0,e代 表寻常光和非常光)将(20)式分母项同时两 边相乘,可得 设0表示波法线与z轴的夹角,则 +=sin:O.s=COS0,则代入(18)式后, (17)式方程的两个根为(记为V和) V=1,=1,coso"jsin0(19) 从(19)式可以看到,单轴晶体的波法线 面是两个相切的曲面,其一是半径v=v, 的球面,另一个是椭球面.这样,相应于任 一 特定的波法线方向的两个波之一是寻常 波,其速度与传播方向无关;另一个是非常 波,其速度依赖于波法线方向与光轴的夹 角.仅当波法线沿着光轴方向时,这两个 速度才相等.(19)式还表明,在单轴晶体中 沿着任意方向传播的波,其折射率并不一 定简单地等于或,,而是与方向有关. 当平面波从真空入射到各向异性媒质 的表面,将产生一个透射场和反射场.对 于透射场,将产生两个可能的波法线方向 1 ,即每个入射波将产生两个折射波;每一 个折射波对应于一个光线方向和一个光线 速度,二者描述介质内部的能量传播,这就 是双折射现象.双折射产生的两条折射光 线均位于入射面内.令,,'分别为入射 波波法线和两个透射波波法线与界面法线 的夹角,根据电磁场边界条件(界面处电场 矢量切向分量连续),有折射定律, (20) 而相速度依赖于0..单轴晶体中,波法 线面有一个球面,因此一个透射波的相速 度与0.无关,这就是寻常波;非常波的波法 线方向则由(19)式和(2o)式决定,但计算时 应注意各角度的定义. 由光线传播方向和光轴组成的平面称 为与该光线相对应的主平面,0光电矢量 的振动方向垂直于0光的主平面,e光电矢 量的振动方向位于e光的主平面内,o光 与e光均为偏振光.一般地,o光的主平面 与e光的主平面并不重合,但在大多数情 况下,两个主平面之间的夹角很小,o光与 e光的振动平面可以认为是互相垂直的1. 这里对双折射现象中的有关概念只作一些 说明,不再详细讨论. 因此,求解双折射的e光传播方向,可 以先根据折射定律求解.光和e光的波法 线方向,而波法线面上任一点处的切平面 的垂线方向就是该点波矢所属的e光的光 线方向b,1,如图2所示.以晶体内部一固定 点作为原点,在同一方向上画两个矢量,其 长度与两个相应的相速度成正比,矢量的 端点就构成了波法线面.从图2可看到, (22)式中的0定义为波法线与光轴的夹角, l38科技创新导报ScienceandTechnologyInnovationHerald 学术论坛 在(23)中则有—,可由(23)式求出O 光和e光的波法线方向,o光的光线方向与 波法线方向相同t对于e光过渡法线与法 线面的交点作该点的切平面,从图中.点 作切平面的垂线,垂线方向即为e光的光线 方向. 综上所述,我们看到,双折射实际上是 由于介质的电各向异性导致的,对应于一 个给定的入射波法线方向,有两个相速度 和两个光线方向,其中寻常光的相速度与 方向无关,其光线方向与波法线方向一致, 遵守光的折射定律;而非常光的相速度与 方向有关,尽管波法线方向遵守折射定律, 但其光线方向与波法线方向一般并不一 致,因此光线方向看起来并不遵守折射定 律.采用波法线面作图法可以简单地得到 寻常光和非常光的传播方向,但其物理图 像更清晰.各向异性是物质的基本性质, 在现代科技发展中起到重要作用,我们认 为,在教学中强调双折射现象产生的物理 原因,学生不但能够建立清晰的物理图像, 而且对新技术的了解和应用有一定帮助. 参考文献 I1】程守洙,江之永.普通物理学.北京:高等 教育出版社,1998. f2】张三慧.大学物理学第三册(电磁学).北 京:清华大学出版社,1999. f3】莫党.固体光学.北京:高等教育出版社, l996. f4】陈纲,廖理几.晶体物理学基础.北京:科 学出版社,1992. f5】BornM.,WolfE.,PrinciplesofOptics. 7thed.北京:世界图书出版公司北京公 司,2001. f6】羊国光,宋菲君.高等物理光学.合肥:中 国科学技术大学出版社,1991. I】 2 一 2 O ;- + ,- 一 ,- : + 2r ," ,_= 0O E , 一 lI砑 一 一 , 一 I】 一 × × .一 一 ll —D 三 . 一 —