三角函数的对称性问题

三角函数的对称性问题三角函数的对称性问题一、知识要点: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性问题如下图: (1)由基本三角函数的图象可以看出，正弦曲线、余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线;正切曲线只是中心对称曲线. (2)正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线的最高点或最低点，相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期;正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点(与x轴的交点)，相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期，并且对称轴、对称中心间隔排列着. 正切...

三角函数的对称性问题一、知识要点: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性问题如下图: (1)由基本三角函数的图象可以看出，正弦曲线、余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线;正切曲线只是中心对称曲线. (2)正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线的最高点或最低点，相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期;正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点(与x轴的交点)，相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期，并且对称轴、对称中心间隔排列着. 正切曲线的对称中心除去零点外还有使正切函数值不存在的点，用平行于x轴的直线去截正切曲线，相邻两交点之间的距离都相等并且都等于正切函数的周期. (3) 函数和函数的单调区间以及对称轴，对称中yAx,，sin(),,yAx,，cos(),, 心可利用整体代换法由正弦函数、余弦函数的单调区间、对称轴、对称中心求解. 二、典型例题: ,例1:若函数同时具有下列三个性质:(1)最小正周期为;(2)图象关于yfx,() ,,,，，,,直线对称;(3)在区间上是增函数(则的解析式可以是 ,yfx,()x,,633，， x,,,,A( B( C( D( y,，sin()yx,，cos(2)yx,,sin(2)yx,,cos(2)36266 ,,解析:由最小正周期为,可排除A, 由图象关于直线对称,可排除B, 由在区间,x3 ,,，，,,上是增函数可得答案应为C. ,,63，，评述:本题考查了三角函数的性质及其解析式的探求.三角的复习应充分利用数形结合的思想方法，即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的性质，同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象，揭示图形的代数本质. 是定义在上的奇函数，当时，的图象如图例2:已知函数fx()(,3,3)f(x)0,x,3所示，则不等式的解集是 ( ) f(x)cosx,0 ,,,,A( B( (3,)(0,1)(,3),,,,(,1)(0,1)(,3),,,,2222 ,C( D( (3,1)(0,1)(1,3),,,,(3,)(0,1)(1,3),,,,2 解析: ?y = cosx 是R上的偶函数，?是定义在上的奇函数， (,3,3)yfxx,()cos 故只须考察在区间上的函数值的取正取负的情况，根据函数 yfxx,()cos(0,3) 在区间上的零点，列表如下: yfxyx,,(),cos(0,3) ,, (0,1) (1,)(,3)22 yfx,(),，， yx,cos,，， yfxx,()cos,,， y Л Л O -1 13 x -3 , ЛЛ ЛЛЛ2yfxx,()cos ЛЛЛЛЛЛ ,,Л,,, 函数的图象如上所示，不等式的解集是三个分离的开区f(x)cosx,0yfxx,()cos,22222 2 ,,间的并集，即.故应选B. (,1)(0,1)(,3),,,, 22 评述:考纲要求“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+)的简图”.命题时将函数图象的叠加作为命题点,, 这也是近年来高考的一个热点. 三、举一反三: 1. 函数的图象 ( ) yx,，1cos x A. 关于轴对称 B.关于轴对称 y ,xC.关于原点对称 D.关于直线=对称 2 答案: B 解析:由于函数为偶函数，故其图象关于y轴对称.故应选B. yx,，cos1 2.将函数y=sinx,3cosx的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为( ) 7,,,, A( B( C( D( 6263答案:C ,,,解析:由 y,sinx,3cosx,2(sinx,cos,cosx,sin),,2sin(),x333 ,, 函数图象的周期且图象上一个对称中心,结合图象分析即yx,,2sin(),T,2,,(,0)33 ,,a知,图象再向右平移后，图象关于轴对称,所以的最小值为故选C. ,y66 π3. 若函数f(x),sin2x，acos2x的图象关于直线x,, 对称，则a, . 8答案: a,,1 ππ解析:?x,0，x,, 是定义域中关于x,, 对称的两点 1248 πππ?f(0),f(, ),即0，a,sin(, )，acos(, ), ?a,,1. 422 22fxxxxx()sin2sincos3cos,，，4.已知函数，. x,R (?)求函数图象的对称中心坐标; fx() x11(?)若，且，求的值. f(),0,x,,cosx,sinx25 1,cos2x3f(x),，sin2x，(1，cos2x)解析: 22 ,. ,2sin(2x，)，2,sin2x，cos2x，24 ,k,令知， . 2x，,k,x,,k,Z,284 k,故函数的图象的对称中心的坐标为 (). f(x)(,,2)k,Z,28 x11124(II)由, 得, 平方得 . f(),sincosx，,2sincosxx,,25525又故， x,(0,,).sinx,0cosx,0 247cossin12sincos1xxxx,,,,,,，,,? 255 7即 .cossinxx,,,5

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