用Mathematica求偏导数与多元函数的极值

用Mathematica求偏导数与多元 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的极值 ?10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 10.1 用Mathematica作三维函数图 在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。 1 常用的三维绘图函数 Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作的图形。 f(x,y) ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。 Show[f1,f2,f3,„]: 将多个图形组合重新显示。 2 常用的可选项 Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。 表10-1 常用的可选项 可选项 默认值 说明 是否绘制坐标轴 Axes True Axeslable 坐标轴的名称。zlabel为z轴的label,即z轴的None 标注，label{xlabel,ylabel,zlabel}分别为轴，x y轴,轴的标注 z AspectRatio 作图高、宽比例，可以说明为任意值 1 绘制外框。定义False则不绘制外框 Boxed True Displayfunction $Displayfunction 显示图形模式，定义Identity不显示图形 PlotRange Automatic 方向的绘图范围 z Shading 表面不上色或留白 True Viewpoint 观测点(眼睛观测的位置) {1.3,-2.4,2} 选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint值: 第 943 页 共 13 页 表10-2 典型的ViewPoint值 ViewPoint值 观测点的位置 {1.3,-2.4,2} 默认观测点 {0,-2,0} 从前方看 {0,0,2} 从上往下看 {0,-2,2} 从前方上面往下看 {0,-2,-2} 从前方下面往上看 {-2,-2,0} 从左前方看 {2,-2,0} 从右前方看 22z,sinx，y例10.1 画出函数图形，并使图形表面不上色。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}] 1 0.560 -0.54-1 00 222 44 066 Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,Shading->False] 第 944 页 共 13 页 1 0.560 -0.54-100 222 44 066 Out[2]= -SurfaceGraphics- 例10.2 画出函数图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。 z,sinxcosy 解 In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}] 1 0.5z60 -0.54-100y 222 44xx 066 Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,ViewPoint->{,1,-1,2}] 第 945 页 共 13 页 10.50-0.5z-1666 444 yxx222 000 Out[2]= -SurfaceGraphics- 例10.3 画一单位双曲面。 解 首先，写出单位双曲面的参数方程 x=Cosh[u]*Cos[v] y=Cosh[u]*Sin[v] z=u In[1]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,Pi}, {v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}] 2 1z0 -12 -20y-2-2 -200 xx22 Out[1]= -Graphics3D- 222xyz，，,1例10.4 画出函数图形。 4316 第 946 页 共 13 页 解 In[1]:=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u],{u,0,Pi}, {v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}] x-2-1220yy1200 -2-2 4 2 z0 -2 -4 Out[1]= -Graphics3D- In[2]=: Show[%,ViewVertical->{1,0,0}] 2 1 0x-1 -2-422-2000yy-2-22z 4 Out[2]=-Graphics3D- 22例10.5 画出由与所围的立体图形。 x,3y,0x，y,1 解 In[1]:= a1=Plot3D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisPlayFunction->Identity]; a2=PrametricPlot[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5}, DisPlayFunction->Identity]; a3=Plot3D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisPlayFunction->Identity]; Show[a1,a2,a3,AxesLabel->{“x”,”y”},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{0,4},DisplayFunction->$DisplayFunction] 第 947 页 共 13 页 4 32z2 110 -1-1y 000 11xx -122 Out[1]= -Graphics3D- 9.2 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 函数实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设n个不是x的函数，在,,Dtx^n,x DtMathematica中，它有一个函数，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都 ,fdf有联系。在Mathematica的说明中，代表了，而则代表了。可以认,,,,Df,xDtf,x,xdx Dt为表示了“全微分”。 例如: df1. 下面给出了一个全微分，其中n是x的函数，则代表了。 ,,Dtf,xdx In[1]:,Dt[x^n,x] nnOut[1],x(，Dt[n,x]log[x])x dx2. 下面是一个全微分。其中,,Dtf,x代表了。 In[2]:,Dt[x^n] nDt[x]nOut[2],x(，Dt[n]log[x])x 注:在Mathematica中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示: 表10-3 部分的微分函数 第 948 页 共 13 页 函数及其表达式 函数功能说明 关于的偏微分x ,,Df,x 偏微分 关于等的混合x1,x2或 Dfxx,1,2,L,,Dtf,x1,x2,？[] 分 关于的阶偏微xn轾或 Dfxn,,,,，，Dtf,x,n()臌 函数的全微分 ,,Dtf 微分 关于变量的全x ,,Dtf,x 例10.6 求下列函数对x的偏导数 x，y22，，u,lnx，x，y1. ; 2. ; u,arctg1,xy zysin,,xx,,3. ; 4. u=。 u,e,,y,,解In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ; Simplify[%] (*通常Mathematica不自动化简微 分结果，要借助于Simplify函数*) 1Out[1]= 22x，y 第 949 页 共 13 页 In[2]: = D[ArcTanh[(x+y)/(1-x*y)],x]; Simplify[%] 21，yOut[2]= 222)1,4xy,y，x(,1，y In[3]: = D[E^Sin[y/x],x]; Simplify[%] y，，Sin,,y，，x，，eyCos,,x，，Out[3]= ,2x In[4]: = D[(x/y)^z,x]; Simplify[%] zx,,z,,,,y,,Out[4]= x 26,z,z,z,z33例10.7 设，求，， ，。 z,xsiny，ysinx233x,1,,y,x,y,xyy,1 解 In[1]:= Clear[z,x,y]; z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函数.*/ D[z[x,y],y] 32Out[1]= xCos[y]，3ySin[x] In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变量赋值.*/ Out[2]= Cos[1]，3Sin[1] In[3]:= D[z[x,y],{x,2}] 3Out[3]= ,ySin[x]，6xSin[y] In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}] Out[4]= ,6Cos[x]，6Cos[y] 2,zu,z,z2z,xlny,x,,y,3u,2v例10.8 设，求，，。 2,u,v,vy 解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v; 第 950 页 共 13 页 y[u_,v_]:=3u-2v; z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Log[y[u,v]]; D[z[x,y],u]; Simplify[%] 3uu(，2Log[3u,2v])3u,2vOut[1]= 2v In[2]:= D[z[x,y],v];Simplify[%] v22u(,Log[3u,2v])3u,2vOut[2]= v3 In[3]:= D[z[x,y],{v,2}];Simplify[%] 222u(6u,5v)v，3(3u,2v)Log[3u,2v])Out[3]= 24(3u,2v)v 例10.9 设，其中函数二阶可导，具有二z,f(2x,y)，g(x,xy)ft()guv(,) 22,z,z,z阶连续的偏导数，求，，。 2,x,x,x,y 解 In[1]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x] (0,1)(0,1)Out[1]= 2f'[2x,y]，yg[x,xy]，g[x,xy] In[2]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],{x,2}] Out[2]= (1,1)(0,2)(1,1)(2,0) 4f''[2x,y]，yg[x,xy]，y(yg[x,xy]，g[x,xy])，g[x,xy]In[3]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x,y] (0,1)(0,2)(1,1)Out[3]= ,2f''[2x,y]，g[x,xy]，xyg[x,xy]，xg[x,xy]) ,g,g,g,g(2,0)(1,0)(0,1)(1,1)g[u,v]为g[u,v]为g[u,v]为g[u,v]为其中，，，，2,u,v,u,v,u ,g(0,2)g[u,v]为。 2,v y,z,zz,xy，xF()x，y,z，xy例10.10 已知函数，证明。 x,x,y 第 951 页 共 13 页 解 In[1]:= z=x*y+x*F[y/x]; D[z,x]*x+y*D[z,y]-z-x*y; Simplify[%] Out[1]= 0 例10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数: ydx22x，y,arctg1(， 求。 lnxdy vv,u,v,u,vx,ucos,y,usin2(，求，，，。 uu,x,x,y,y 解 In[1]:= eq1=Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]= = ArcTanh[y[x]/x]; D[eq1,x]; Solve[%,y′[x]]; Simplify[%] 3223,,,,，,，xxy[x]xy[x]y[x]Out[1]= , y'[x],,,,3223,，，xxy[x]xy[x]y[x],,,, In[2]:= D[{x==u[x]*Cos[v[x]/u[x]],y==u[x]*Sin[v[x]/u[x]]},x]; Simplify[Solve[%,{u′[x],v′[x]}]] ,,v[x],,Cos[]v[x],,,,v[x]v[x]u[x],,,,Out[2]= u'[x],Cos[],v'[x],,Sin[]，,,,,u[x]u[x]u[x],,,, ,,,,,,,, In[3]:= D[{x==u[y]*Cos[v[y]/u[y]],y==u[y]*Sin[v[y]/u[y]]},y]; Simplify[Solve[%,{u′[y],v′[y]}]] ,,v[y],,Sin[]v[y],,,,v[x]v[y]u[y],,,,u'[y],Sin[],v'[y],Cos[]，Out[3]= ,,,,u[x]u[y]u[y],,,, ,,,,,,,, 例10.12 求下列极值问题: 31(函数. f(x,y),x，3xy,15x,12y 第 952 页 共 13 页 22222(求函数，在上的最大最小值. f(x,y),x，y,12，16yx，y,25 解 1( In[1]:= Clear[x,y,z,a,b,c,d,t]; f[x_,y_]:=x^3+3*x*y^2-15x-12y; a=D[f[x,y],{x,2}]; b=D[f[x,y],x,y]; c=D[f[x,y],{y,2}]; d=a*c-b^2; t=Slove[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}]; l=Length[t]l For[i=1,i<=1,i++, Print[t[[i]]; d1=d/.t[[i]]; a1=a/.t[[i]]; z=f[x,y]/.t[[i]]; Which[d1>0&&a1<0,Print[“fmax=”,z], d1>0&&a1>0,Print[“fmin=”,z], d1= =0,Print[“NoSure”,z], d1= =0,Print[No]] ] Out[1]= {x->-2,y->-1} fmax=28 {x->-1,y->-2} No {x->1,y->2} No {x->-2,y->-1} fmin=-28 22fxy(,)2( 先求在圆域内的最大最小值: x，y,25 第 953 页 共 13 页 In[2]:= f[x_,y_]:=x^2+y^2-12x+16y; t=Solve[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}] Out[2]= {{x->6,y->-8}} (*驻点*) In[3]:= x^2+y^2-25/.t[[1]] Out[3]= 75 22该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。下面考虑圆上的最x，y,25 22值。这是在约束条下的条件极值,用Lagrange乘数法求解。 x，y,25 In[4]:= Clear[x,y,F,t]; F[x_,y_,t_]:=f[x,y]+t(x^2+y^2-25); s=Solve[{D[f[x,y,t]==0,D[f[x,y,t]==0,y],D[F[x,y,t]= =0,t]],{x,y,t}} Out[4]= {{t->-3,x->-3,y->4},{t->1,x->3,y->-4}} In[5]:= F[x,y]/.s[[1]] Out[5]= 25 In[6]:= F[x,y]/.s[[2]] Out[6]= -75 第 954 页 共 13 页 练习10.1 1 求下列函数的偏导数。 1xy(1) (2) z,ez,22x，y yzxz(3) (4) u,，,u,(xy)xxz 2 求下列函数的偏导数或导数。 dzx(1) 设，求。 z,arctg(xy),y,edx 33,z,z(2) 设求， z,xln(xy),22,xy,xy u,z,z2(3) 设z,xlny,x,,y,3u,2v,求，。 ,u,vv ,u,uxy,u(4) 设，求，，。 u,f(,),z,x,yyz x(5) 设，求z,z,z。 z,f(x，y,xy,)xxxxyy 3 求下列方程所确定的隐函数的导数。 dy223(1) ，求。 xy，3xy,4,0dx ,z,z,xyze,2z，e,0(2) ，求，。 ,x,y ,z,x,z(3) 求，，。 z,f(x，y，z,xyz),,x,y,y dydz222222(4) ，求，。 x，y，z,a,x，y,axdxdx 224 求函数的极值。 f(x,y),x，5y,6x，10y，6 22225 求函数，在范围内的最大最小值。 z,x,y{(x,y)|x，y,4} 第 955 页 共 13 页