二次根式提高培优1

海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄） 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1）， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、在、、、、中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2、使代数式 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式 有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　） A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3 2、若x、y都是实数，且y= ，求xy的值 3、当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值。 已知a是 整数部分，b是 的小数部分，求 的值。 若 的整数部分是a，小数部分是b，则 。 若 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性： 是一个非负数． 注意：此性质可作 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 记住，后面根式运算中经常用到． 2. ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4. 公式 与 的区别与联系 （1） 表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2） 表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3） 和 的运算结果都是非负的． 【典型例题】 【例4】若则 ． 举一反三： 1、若 ，则 的值为 。 2、已知 为实数，且 ，则 的值为（ ） A．3 B．– 3 C．1 D．– 1 3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋ ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若 与 互为相反数，则 。 （公式 的运用） 【例5】 化简：的结果为（ ） A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三： 在实数范围内分解因式: = ； = 化简： 已知直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边长为 （公式 的应用） 【例6】已知 ,则化简 的结果是 A、 B、 C、 D、 举一反三： 1、根式 的值是( ) A．-3 B．3或-3 C．3　 D．9 2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ） A．－a B．a C．－3a D．3a 3、若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 4、若a－3＜0，则化简 的结果是（ ） (A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a 5、化简 得（ ） （A）　2　（B） 　（C）－2　　（D） 6、当a＜l且a≠0时，化简 ＝ ． 7、已知 ，化简求值： 【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ） A．－2b B．2b C．－2a D．2a 举一反三： 实数 在数轴上的位置如图所示：化简： ． 【例8】化简 的结果是2x-5，则x的取值范围（ ） （A）x为任意实数 （B） ≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1 举一反三：若代数式 的值是常数 ，则 的取值范围是（　 　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 或 【例9】如果 ，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 举一反三： 1、如果 成立，那么实数a的取值范围是（ ） 2、若 ，则 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【例10】化简二次根式 的结果是 （A） (B) (C) (D) 1、把二次根式 化简，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2、把根号外的因式移到根号内：当 ＞0时， ＝ ； ＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；(分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 举一反三： 1、 中的最简二次根式是 。 2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3、下列根式不是最简二次根式的是(　) A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　D. 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5、把下列各式化为最简二次根式： (1) (2) (3) 【例12】下列根式中能与 是合并的是( ) A. B. C.2 D. 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、 2、在二次根式：① EMBED Equation.3 ；② ；③ ；④ EMBED Equation.3 中，能与 合并的二次根式是 。 3、如果最简二次根式 与 能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 来确定，如： ， ， 与 等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 与 ， ， 分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 （1） （2） （3） （4） 【例14】把下列各式分母有理化 （1） （2） （3） （4） 【例15】把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 举一反三： 1、已知 ， ，求下列各式的值：（1） （2） 2、把下列各式分母有理化： （1） （2） （3） 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与；              ②与； ③与；       ④与． 知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 = · （ ≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 · = （ ≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 = （a≥0，b＞0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 = （a≥0，b＞0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例16】化简 (1) (2) (3) (4) ( ) (5) × EMBED Equation.3 【例17】计算（1）  （2）   （3）   （4）   （5）        （6）   （7）      （8） 【例18】化简： (1) (2) (3) (4) 【例19】计算：(1) (2) (3) （4） 【例20】能使等式 成立的的x的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、无解 知识点六：二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】 【例20】计算（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【例21】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序； 　　2、灵活运用运算定律； 　　3、正确使用乘法公式； 　　4、大多数分母有理化要及时； 　　5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化； 【典型习题】 1、 2、 EQ \F(2,) (2+4 EQ \R(,) －3) 3、 EMBED Equation.DSMT4 ·（-4 ）÷ EMBED Equation.DSMT4 4、 5、 ） 6、 7、 8、 【例21】 1．已知：，求的值． 2．已知，求的值。 3．已知：，求的值． 4．求的值． 5．已知、是实数，且，求的值． 知识点八：根式比较大小 【知识要点】 1、根式变形法 当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则 。 2、平方法 当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则 。 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① EMBED Equation.DSMT4 ；② EMBED Equation.DSMT4 8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：① EMBED Equation.DSMT4 ； ② EMBED Equation.DSMT4 【典型例题】 【例22】 比较 与 的大小。（用两种方法解答） 【例23】比较 与 的大小。 【例24】比较 与 的大小。 【例25】比较 与 的大小。 【例26】比较 与 的大小 二次根式典型习题集 一、概念 （一）二次根式 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）． （二）最简二次根式 1．把二次根式 （y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A． （y>0） B． （y>0） C． （y>0） D．以上都不对 2．化简 =_________．（x≥0） 3．a 化简二次根式号后的结果是_________． 4. 已知 0，化简二次根式 的正确结果为_________． （三）同类二次根式 1．以下二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有______ 3．若最简根式 与根式 是同类二次根式，求a、b的值． 4.若最简二次根式 与是同类二次根式，求m、n的值． （四） “分母有理化”与“有理化因式” 1. + 的有理化因式是________； x- 的有理化因式是_________． - - 的有理化因式是_______． 2.把下列各式的分母有理化 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 二、二次根式有意义的条件： 1．（1）当x是多少时， 在实数范围内有意义？ （2）当x是多少时， + 在实数范围内有意义？ （3）当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？ （4）当 时， 有意义。 2. 使式子 有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 3．已知y= + +5，求 的值． 4．若 + 有意义，则 =_______． 5. 若 有意义，则 的取值范围是 。 6．要是下列式子有意义求字母的取值范围 （1） (2) (3) (4) (5) (6) 三、二次根式的非负数性 1．若 + =0，求a2004+b2004的值． 2．已知 +=0，求xy的 3.若 ，求 的值。 四、 的应用 1． a≥0时， 、 、- ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A． = ≥- B． > >- C． < <- D．- > = 2．先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a│+ =a，求a-19952的值． （提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值） 4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ + 。 5．化简a 的结果是（ ）． A． B． C．- D．- 6．把（a-1） 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A． B． C．- D．- 五、求值问题: 1.当x= + ,y= - ,求x2-xy+y2的值 2．已知a=3+2 ，b=3-2 ，则a2b-ab2=_________． 3.已知a= -1,求a3+2a2-a的值 4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2 ）-（x2-5x ）的值． 5．已知 ≈2.236，求（ - ）-（ +）的值．（结果精确到0.01） 6．先化简，再求值． （6x + ）-（4x +），其中x= ，y=27． 7．当x= 时，求 +的值．（结果用最简二次根式表示） 8. 已知 ，求 的值。 六、其他 1．等式 成立的条件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 2.已知 ，且x为偶数，求（1+x）的值． 3．计算（ + ）（ - ）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 4.如果 , 则x的取值范围是 。 5.如果 , 则x的取值范围是 。 6.若 ,则a的取值范围是 。 7.设a= ，b= ，c= ，则a、b、c的大小关系是 。 8.若 是一个整数，则整数n的最小值是 。 9.已知 的整数部分为a，小数部分为b，试求 的值 七、计算 1. ·（- ）÷ （m>0，n>0） 2.-3 ÷（ ）× （a>0） 3. 4. 5. 6. 应用 1．铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1： ，求路基下底宽AB的长度 2．如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到D，共经过多少路程？ 3．如图，方格纸中小正方形的边长为1， 是格点三角形，求：（1） 的面积（2） 的周长；（3）点C到AB的距离。 二次根式提高测 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一、选择题 1．使 有意义的 的取值范围是（ ） 2．一个自然数的算术平方根为 ，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ） （A） （B） （C） （D） 3．若 ，则 等于（ ） （A）0 （B） （C） （D）0或 4．若 ，则 化简得（ ） （A） （B） （C） （D） 5．若 ，则 的结果为（ ） （A） （B） （C） （D） 6．已知 是实数，且 ，则 与 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．已知下列命题： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 其中正确的有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 8．若 与 化成最简二次根式后的被开方数相同，则 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 9．当 时，化简 等于（ ） （A）2 （B） （C） （D）0 10．化简 得（ ） （A）2 （B） （C） （D） 二、填空题 11．若 的平方根是 ，则 ． 12．当 时，式子 有意义． 13．已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则 ． 14．若 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 ， ． 15．已知 ，且 ，则满足上式的整数对 有_____． 16．若 ，则 ． 17．若 ，且 成立的条件是_____． 18．若 ，则 等于_____． 三、解答题 1 9．计算下列各题：（1） ； （2） 20．已知 ，求 的值 ． 21．已知 是实数，且 ，求 的值. 22．若 与 互为相反数，求代数式 的值. 23．若 满足 ，求 的最大值和最小值. � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� a＜0　 a≥0 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� _1234568017.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568273.unknown _1234568305.unknown _1234568321.unknown _1234568337.unknown _1234568345.unknown _1234568353.unknown _1234568357.unknown _1234568361.unknown _1234568363.unknown _1234568364.unknown _1234568365.unknown _1234568362.unknown _1234568359.unknown _1234568360.unknown _1234568358.unknown _1234568355.unknown _1234568356.unknown _1234568354.unknown _1234568349.unknown _1234568351.unknown _1234568352.unknown _1234568350.unknown _1234568347.unknown _1234568348.unknown _1234568346.unknown _1234568341.unknown _1234568343.unknown _1234568344.unknown _1234568342.unknown _1234568339.unknown _1234568340.unknown _1234568338.unknown _1234568329.unknown _1234568333.unknown _1234568335.unknown _1234568336.unknown _1234568334.unknown _1234568331.unknown _1234568332.unknown _1234568330.unknown _1234568325.unknown _1234568327.unknown _1234568328.unknown _1234568326.unknown _1234568323.unknown _1234568324.unknown _1234568322.unknown _1234568313.unknown _1234568317.unknown _1234568319.unknown _1234568320.unknown _1234568318.unknown _1234568315.unknown _1234568316.unknown _1234568314.unknown _1234568309.unknown _1234568311.unknown _1234568312.unknown _1234568310.unknown _1234568307.unknown _1234568308.unknown _1234568306.unknown _1234568289.unknown _1234568297.unknown _1234568301.unknown _1234568303.unknown _1234568304.unknown _1234568302.unknown _1234568299.unknown _1234568300.unknown _1234568298.unknown _1234568293.unknown _1234568295.unknown _1234568296.unknown _1234568294.unknown _1234568291.unknown _1234568292.unknown _1234568290.unknown _1234568281.unknown _1234568285.unknown _1234568287.unknown _1234568288.unknown _1234568286.unknown _1234568283.unknown _1234568284.unknown 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