二次函数知识点

一、二次函数的定义 2xxabc，，1. yaxbxc,，，a,0一般地～形如,为常数～,的函数称为的二次函数～其中 yabc,,. 为自变量～为因变量～分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数这里需要强调:和一元二次方程类似～二次项系数～而可以为零(二次函数的定bc，a,0 义域是全体实数( 22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，， ? 等号左边是函数～右边是关于自变量的二次式～的最高次数是2( xx ? 是常数～是二次项系数～是一次项系数～是常数项( abc，，acb 二、二次函数的性质 21(二次函数的性质: yax,()a,0 2,1, 抛物线的顶点是坐标原点,0～0,～对称轴是, 轴,. yyax,x,0 2,2, 函数的图像与的符号关系. yax,a ? 当时抛物线开口向上顶点为其最低点, ,,a,0 ? 当时抛物线开口向下顶点为其最高点, ,,a,0 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时～随的增大而增大,时～yyxx,0x,0 轴 00，y，， 向上 a,0随的增大而减小,时～有最小值( yxx,00 时～随的增大而减小,时～yyxx,0x,0 轴 00，y ，，a,0向下 随的增大而增大,时～有最大值( yxx,00 22. 的性质: yaxc,， 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时～随的增大而增大,时～yyxx,0x,0 轴 0，cy ，，a,0向上 随的增大而减小,时～有最小值( yxcx,0 时～随的增大而减小,时～yyxx,0x,00，c 轴 y，， 向下 a,0随的增大而增大,时～有最大值( yxcx,0 23. 二次函数的相关性质 yaxbxc,，，()a,0 22若二次函数解析式为,或,()～则: yaxbxc,，，yaxhk,,，()a,0 a,,0向上,b,1, 开口方向:～ ,2, 对称轴:x,,,或,～ xh,,2aa,,0向下,2bacb4,,3, 顶点坐标:,或, (,)hk(,),24aa ,4, 最值: 24acb,时有最小值,或,,如图1,, a,0k4a24acb,时有最大值,或,,如图2,, a,0k4a 图1图2 2,5,单调性:二次函数,,的变化情况,增减性, yaxbxc,，，a,0 b? 如图1所示～当时～对称轴左侧～随着的增大而减小～在对称轴的x,,yxa,02a b右侧 ～随的增大而增大, x,,yx2a b时～对称轴左侧～ y随着x的增大而增大～在对称轴的? 如图2所示～当x,,a,02a b右侧～随的增大而减小, x,,yx2a2,6,与坐标轴的交点:?与轴的交点:,0～C,,?与轴的交点:使方程yxaxbxc，，,0 2,或,成立的值. axhk()0,，,x 23. 二次函数图象的画法 yaxbxc,，， 22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式～确定yaxbxc,，，yaxhk,,，()其开口方向、对称轴及顶点坐标～然后在对称轴两侧～左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、0，c0，c2hc，y，，，，，，与轴的交点～,若与轴没有交点～则取两组关于对称轴对称的点,. x，0x，0xx，，，，12 画草图时应抓住以下几点:开口方向～对称轴～顶点～与轴的交点～与轴的交点. yx 三、二次函数的图像与系数关系 a1. 决定抛物线的开口方向: 当时抛物线开口向上,当时抛物线开口向下 ,,a,0a,0 a 决定抛物线的开口大小: aa . 越大～抛物线开口越小,越小～抛物线开口越大 aa注:几条抛物线的解析式中～若相等～则其形状相同～即若相等～则开口及形状相同～a. 若互为相反数～则形状相同、开口相反 bax,,b2. 和共同决定抛物线对称轴的位置.(对称轴为:) 2a yb,0 当时～抛物线的对称轴为轴, yab, 当同号时～对称轴在轴的左侧, yab,. 当异号时～对称轴在轴的右侧 yyc0，c，，3. 的大小决定抛物线与轴交点的位置.(抛物线与轴的交点为) yc,0 当时～抛物线与轴的交点为原点, yc,0 当时～交点在轴的正半轴, yc,0当时～交点在轴的负半轴. 板块二 二次函数图像特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 200，,y轴, x,0，， yax,当时～开口向a,02,y轴, 0，k x,0，， yaxk,，上 2当时～开口向a,0h，0 ，，xh, yaxh,,，， 2下 hk，，， yaxhk,,，xh,，， 2,,bacb4,b2 ,， x,, yaxbxc,，，,,24aa2a,, 二、二次函数的三种表达方式 2,1,一般式: yaxbxca,，，,0，， 2,顶点式: ,2a,0yaxhk,,，，，，， ,3,双根式,交点式,: yaxxxxa,,,,0，，，，，，12 2.如何设点: ,,图像上的任意点可设为.其中时～该点为? 一次函数yaxb,，xaxb，，x,0a,0，，111直线与轴交点. y 22? 二次函数,,图像上的任意一点可设为.时～xaxbxc，，，yaxbxc,，，x,0a,0，，1111 b该点为抛物线与轴交点～当x,,时～该点为抛物线顶点( y12a ? 点关于的对称点为( xy，xx，22xxyy,,，，，，，，，11000101 4.如何设解析式: ? 已知任意3点坐标～可用一般式求解二次函数解析式, ? 已知顶点坐标或对称轴时～可用顶点式求解二次函数解析式, ? 已知抛物线与的两个交点坐标～可用交点式求解二次函数解析式. x ? 已知抛物线经过两点～且这两点的纵坐标相等时～可用对称点式求解函数解析式,交点 式可视为对称点式的特例, 注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式～但并非所有的二次函数都可以写成 2交点式～只有抛物线与轴有交点～即时～抛物线的解析式才可以用交点xbac,,40 式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. 一、二次函数与一次函数的联系 2一次函数ykxnk,，,0的图像与二次函数的图像的交点～yaxbxca,，，,0lG，，，， ykxn,，,由方程组的解的数目来确定: ,2yaxbxc,，，, ?方程组有两组不同的解时与有两个交点; ,lG ?方程组只有一组解时与只有一个交点, ,lG ?方程组无解时与没有交点. ,lG 二、二次函数与方程、不等式的联系 1.二次函数与一元二次方程的联系: 1.直线与抛物线的交点: 2 ,1,y轴与抛物线得交点为(0, ). yaxbxc,，，c 22 ,2,与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). yyaxbxc,，，ahbhc，，xh,h 2 ,3,抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、xxyaxbxc,，，x12～是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以xaxbxc，，,0x2 由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ?有两个交点抛物线与轴相交, ,,x,,0 ?有一个交点,顶点在轴上,抛物线与轴相切, x,,x,,0 ?没有交点抛物线与轴相离. ,,x,,0 ,4,平行于轴的直线与抛物线的交点 x 同,3,一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时～两交点的纵坐标 2相等～设纵坐标为～则横坐标是的两个实数根. axbxck，，,k 2,5,抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为yaxbxc,，，xx 2～由于、是方程的两个根～故 AxBx，，，00xxaxbxc，，,0，，，，1212 bcxxxx，,,,,,1212aa 22bcbac44,,22,, ABxxxxxxxx,,,,,,,,,,,,4，，，，,,12121212aaaa,, 2.二次函数常用解题方法 ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标～需转化为一元二次方程, x ? 求二次函数的最大,小,值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式, 2? 根据图象的位置判断二次函数中～～的符号～或由二次函数中～yaxbxc,，，acab ～的符号判断图象的位置～要数形结合, cb ? 二次函数的图象关于对称轴对称～可利用这一性质～求和已知一点对称的点坐标～或 已知与轴的一个交点坐标～可由对称性求出另一个交点坐标. x 2? 与二次函数有关的还有二次三项式～二次三项式本身就是所含字母axbxca，，,(0) 的二次函数,下面以时为例～揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的xa,0 内在联系: ,,0抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 x 两个交点 可零、可负 ,,0轴只二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与x 有一个交点 ,,0抛物线与轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. x 交点 3.二次函数与一元二次方程之根的分布(选讲) 所谓一元二次方程～实质就是其相应二次函数的零点,图象与轴的交点问题～因x此～二次方程的实根分布问题～即二次方程的实根在什么区间内的问题～借助于二次函 数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的( 22设的二实根为～～～～且xx,fxaxbcca,，，,0xx,,,bac4，，，，，，1212,,,,，,是预先给定的两个实数( ，， ? 当两根都在区间,,，内～方程系数所满足的充要条件: ，， ?～对应的二次函数fx的图象有下列两种情形: ,,,,,xx，，12 a>0 xx1,2,xOOx,x,2x1 b当时的充要条件是:～～～( f,,0f,,0,,,,,a,0,,0，，，，2a b时的充要条件是:～～～( 当f,,0f,,0,,,,,a,0,,0，，，，2a两种情形合并后的充要条件是: b,0,,,,,,,，, ……? 2a, ,ff00,,，，，，，,,,,, ? 当两根中有且仅有一根在区间内～方程系数所满足的充要条件, ,,,，，?或～对应的函数的图象有下列四种情形: fx,,,,x,,,,x，，12 , xO,x,x11,Ox , O,xxx1,1 O,x 从四种情形得充要条件是: ……? ff,,,,0，，，， ? 当两根都不在区间内方程系数所满足的充要条件: ,,，,, 当两根分别在区间的两旁时, ,,，,, ?对应的函数的图象有下列两种情形: xx,,,,,fx，，12 ,,x,xO,x1x2xO2x1 当时的充要条件是:f,,0～f,,0( a,0，，，，当时充要条件是:f,,0～f,,0( a,0，，，，两种情形合并后的充要条件是: ～ ……? ,,f()0,,,f()0, 当两根分别在区间之外的同侧时: [,],, fx?xx,,,,,或,,,,,xx～对应函数的图象有下列四种情形: ，，1212 ,,xO2Oxxx21x,,1x ,,xx1O2x1Oxx,,x2 当时的充要条件是: xx,,,12 b～～ ……? ,,f,0,,,,,0，，2a 当时的充要条件是: ,,,xx12 b～～ ……? ,,f,0,,,,,0，，2a 4区间根定理 如果在区间上有～则至少存在一个～使得( ab，fafb,,0xab,，fx,0，，，，，，，，，， 此定理即为区间根定理～又称作勘根定理～它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力( (a) b a (b) 二次函数与三角形 在直角坐标系中～已知三角形三个顶点的坐标～如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行～可以直接运用三角形面积 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行～则通常有以下方法: DCFCC DDAAA EEBBB DFE C DhB A:45 1.如图～过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线～将原三角形分割成两个满足一条边yx 与坐标轴平行的三角形～分别求出面积后相加( 11 SSSADyySSCExx,，,,,,，,,,,,,,,ABCACDADBCBACECEBAB22 其中,两点坐标可以通过或的直线方程以及或点坐标得到( EABADBCC2.如图～首先计算三角形的外接矩形的面积～然后再减去矩形内其他各块面积( . SSSSS,,,,,,,,ABCDEBFDACAEBCBF 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得( 3.如图～通过三个梯形的组合～可求出三角形的面积.该方法不常用( 111SSSSxxyyxxyyx,,，，,,，，,，，,，，，，，，，，，，，，,ABCADEBCFEBADFCABABBCBCA222 4.如图～作三角形的高～运用三角形的面积公式求解四边形的面积(该方法不常用～如果三 角形的一条边与平行～则可以快速求解( xy,,0 1( ShBC,,,ABC2 二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 2? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; hk～yaxhk,,，，，，， 2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: hk～yax,，， 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22=ax=ax+k 向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 22=a(x-h)=a(x-h)+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x 22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbx,，，yaxbx,,,,x 22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,,,,yaxhk,,，x，，，， 2. 关于轴对称 y 22 关于轴对称后，得到的解析式是; yyaxbx,，，yaxbx,,， 22关于轴对称后，得到的解析式是; yyaxhk,,，yaxhk,，，，，，， 3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbx,，，yaxbx,,，, 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxh,,，yaxh,,，,，，，， 4. 关于顶点对称 2b22 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc,,,，,; yaxbx,，，2a 22关于顶点对称后，得到的解析式是( yaxhk,,，yaxhk,,,，，，，， 5. 关于点对称 mn～，， 22关于点对称后，得到的解析式是 mn～yaxhmnk,,，,，,22yaxhk,,，，，，，，，