分解因式及在实数范围内分解因式

分解因式及在实数范围内分解因式 因式分解的常用方法 一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式    （二）分组后能直接运用公式 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式—— 进行分解。 （二）二次项系数不为1的二次三项式—— （三）二次项系数为1的齐次多项式 （四）二次项系数不为1的齐次多项式 五、换元法。 六、添项、拆项、配方法。 七、待定系数法。 八、在实数范围内分解因式 因式分解巩固提高 一．填空题 1．如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 即可）　_________　． 2．把x2+kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k可以取的整数是　_________　．（写出符合要求的三个整数）． 3．分解因式：（x+2）（x+4）+x2﹣4=　_________　． 4．因式分解（x+1）4+（x+3）4﹣272=　_________　． 5．分解因式：（1﹣7t﹣7t2﹣3t3）（1﹣2t﹣2t2﹣t3）﹣（t+1）6=　_________　． 6．分解因式：18ax2﹣21axy+5ay2=　_________　． 7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q=（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是　_________　． 8．在实数范围内分解因式：2x2﹣8x+5=2（x﹣ ）（x﹣ ）．此结论是：　__　的． 二．解答题 9．分解因式 （1）8a3b2﹣12ab3c          （2）﹣3ma3+6ma2﹣12ma （3）2（x﹣y）2﹣x（x﹣y）      （4）3ax2﹣6axy+3ay2        （5）p2﹣5p﹣36      （6）x5﹣x3    （7）（x﹣1）（x﹣2）﹣6          （8）a2﹣2ab+b2﹣c2 10．已知x2﹣7xy+12y2=0（y≠0），求x：y的值． 11．（1）因式分解 （2x+y）2﹣（x+2y）2      （2）在实数范围内分解因式x4﹣9． 12．把a4﹣6a2+9在实数范围内分解因式． 13．把多项式9mx4﹣6mx2+m在实数范围内因式分解． 14．已知x2﹣x﹣1=0，求﹣x3+2x2+2007的值． 15．已知四个实数a，b，c，d，且a≠b，c≠d．若四个关系式：a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8，d2+ad=8同时成立，试求a，c的值． 16．已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值． 17．试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除． 18．计算： ． 19．计算： ． 20．已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值． 21．证明：58﹣1能被20至30之间的两个整数整除． 22．用因式分解进行计算 （1） （2）2.5×19.7+3.24×25+2.5×47.9． 三．选择题 23．对二次三项式4x2﹣6xy﹣3y2分解因式正确的是（  ） A．     B．     C．     D． 24．将4x2﹣4x﹣1在实数范围内分解因式，下列结果正确的是（  ） A．     B． C．     D．             25．把4x4﹣9在实数范围内分解因式，结果正确的是（  ） A．（2x2+3）（2x2﹣3）    B． C．     D． 26．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值是（  ） A．2    B．3    C．4    D．6 27．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（  ） A．6    B．8    C．﹣6    D．﹣8 28．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（  ） A．0    B．﹣3    C．3    D． 29．△ABC的三边满足a2﹣2bc=c2﹣2ab，则△ABC是（  ） A．等腰三角形    B．直角三角形    C．等边三角形    D．锐角三角形 30．已知 ，那么多项式x3﹣x2﹣7x+5的值是（  ） A．11    B．9    C．7    D．5 因式分解答案 1．答案不唯一． 2．k的值是±17，±10，±8． 3．解：（x十2）（x+4）十x2﹣4=x2十6x+8十x2﹣4=2x2+6x+4=2（x2+3x+2）=2（x+2）（x+1）． 4．解：令x+2=t，∴原式=（t﹣1）4+（t+1）4﹣272=2（t4+6t2﹣135）=2（t2+15）（t2﹣9）=2（t2+15）（t+3）（t﹣3） 将x+2=t代入：原式=2[（x+2）2+15]（x+2+3）（x+2﹣3）=2（x2+4x+19）（x+5）（x﹣1）． 5．解：设（t+1）3=x，y=t2+t+2，则 原式=[（2t2+t+2）﹣3（1+3t+3t2+t3）]﹣[（t2+t+2）﹣（1+3t+3t2+t3）]﹣[（t+1）3]2=（2y﹣3x）（y﹣x）﹣x2=2x2﹣5xy+2y2=（2x﹣y）（x﹣2y）=[2（t3+3t2+3t+1）﹣（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）﹣2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t﹣3）=t（2t2+5t+5）（t﹣1）（2t2+2t+3）． 6．解：18ax2﹣21axy+5ay2=a（18x2﹣21xy+5y2 ）=a（3x﹣y）（6x﹣5y）． 7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q=（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是　9　． 8．解：∵2x2﹣8x+5=0，∴x1= ，x2= ，∴2x2﹣8x+5=2（x﹣ ）（x﹣ ）， 9．解：（1）8a3b2﹣12ab3c=4ab2（2a2﹣3bc）； （2）﹣3ma3+6ma2﹣12ma=﹣3ma（a2﹣2a+4）=﹣3ma（a﹣2）2； （3）2（x﹣y）2﹣x（x﹣y）=（x﹣y）（2x﹣2y﹣x）=（x﹣y）（x﹣2y）； （4）3ax2﹣6axy+3ay2=3a（x2﹣2xy+y2）=3a（x﹣y）2； （5）p2﹣5p﹣36=（p﹣9）（p+4）；（6）x5﹣x3=x3（x2﹣1）=x3（x+1）（x﹣1）； （7）（x﹣1）（x﹣2）﹣6=x2﹣3x+2﹣6=（x﹣4）（x+1）； （8）a2﹣2ab+b2﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）． 10．解：∵x2﹣7xy+12y2=0，∴（x﹣3y）（x﹣4y）=0，∴x=3y或x=4y，∴x：y=3或x：y=4． 11解：（1）原式=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）=3（x+y）（x﹣y）． （2）原式=（x2+3）（x2﹣3）=（x+ ）（x﹣ ）． 12．解：a4﹣6a2+9=（a2﹣3）2．=（a+ ）2（a﹣ ）2． 13．解：原式=m（9x4﹣6x2+1）=m（3x2﹣1）2=m（ x+1）2（ x﹣1）2． 14．解：∵﹣x3+2x2+2007=﹣x3+x2+x2+2007=x（﹣x2+x）+x2+2007①；又∵x2﹣x﹣1=0， ∴﹣x2+x=﹣1②，将②代入①得，原式=x（﹣1）+x2+2007=﹣x+x2+2007=﹣（﹣x2+x）+2007③； 将②代入③得，原式=﹣（﹣1）+2007=2008． 15．解：由（a2+ac）﹣（b2+bc）=4﹣4=0，（c2+ac）﹣（d2+ad）=8﹣8=0， 得 （a﹣b）（a+b+c）=0，（c﹣d）（a+c+d）=0，∵a≠b，c≠d，∴a+b+c=0，a+c+d=0，∴b=d=﹣（a+c）．又（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，（a2+ac）﹣（c2+ac）=4﹣8=﹣4，得 ，（a﹣c）（a+c）=﹣4．当 时， ，解得 ， ， 当 ， ，解得 ， ． 16．解：由6ab=9a﹣10b+16，得  6ab﹣9a+10b﹣15=16﹣15∴（3a+5）（2b﹣3）=1．∵3a+5，2b﹣3都为整数， ∴ ，或 ，∴ ，或 ．∵a，b为整数∴取 ，故a+b=﹣1． 17．解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2﹣（2n）2=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=（4n+2）×2=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，不是8的倍数．故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除． 18．解： ， = × × × ×…× × × × = × = ． 19.解：原式= =298﹣100= ． 20．解：∵a3+a2+a+1=0，∴1+a+a2+a3+…+a2012=1+a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）=1． 21．解：∵58﹣1=（54+1）（54﹣1）=（54+1）（52+1）（52﹣1）=（54+1）×26×24． ∴58﹣1能被20至30之间的26和24两个整数整除． 22．解：（1）原式= = ；（2）原式=2.5×（19.7+32.4+47.9）=2.5×100=250． 23．解：4x2﹣6xy﹣3y2=4[x2﹣ xy+（ y）2]﹣3y2﹣ y2=4（x﹣ y）2﹣ y2 =（2x﹣ y﹣ y）（2x﹣ y+ y）=（2x﹣ y）（2x﹣ ） 24．解：因为4x2﹣4x﹣1=0的根为x1= ，x2= ，所以4x2﹣4x﹣1= ． 25．解：4x4﹣9=（2x2+3）（2x2﹣3）=（2x2+3）（ x+ ）（ x﹣ ）． 26．解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b=（a﹣b）（a+b）+4b=2（a﹣b）+4b=2a﹣2b+4b=2（a+b）=2×2=4． 27解：由x2+x﹣1=0得x2+x=1，∴x3+2x2﹣7=x3+x2+x2﹣7=x（x2+x）+x2﹣7=x+x2﹣7=﹣6． 28．解：当x2+3x﹣3=0时，x3+3x2﹣3x+3=x（x2+3x﹣3）+3=3． 29解：对等式可变形为：a2﹣2bc﹣c2+2ab=0，（a2﹣c2）+（2ab﹣2bc）=0，（a+c）（a﹣c）+2b（a﹣c）=0，（a﹣c）（a+c+2b）=0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+c+2b＞0，∴a﹣c=0，∴a=c． 30．解：∵ ∴x2﹣3x=1 x3﹣x2﹣7x+5=x（x2﹣3x）+2x2﹣7x+5=2x2﹣6x+5=2（x2﹣3x）+5=2+5=7