数值计算
方法
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复习（40学时）
第一章 误差
1、了解误差的概念，来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差；
2、掌握绝对误差、相对误差与有效数字；
3、知道数值运算中误差传播的规律及应注意的问题。
例1：问
，
，
分别作为
的近似值各具有几位有效数字？
例2：设计算球体体积允许其相对误差限为1%，问测量球半径的相对误差限最大为多少？
例3：1）经过四舍五入得出
，
。试问它们分别具有几位有效数字？
2）求
的绝对误差限。
3)若
是x的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限.
第二章 插值法
1、 了解插值问题的提法，差商与差分的概念与求法；
2、 掌握Lagrange插值多项式与Newton插制多项式的求法；
3、 了解分段低次插值，样条插值；
4、 了解数值微分。
例1：已知
，
，
，用抛物线插值求
的近似值，并
估计误差。
例2：设
，试利用拉格朗日插值余项定理写出以
为插值节点的三次
插值多项式。
例3：已知
，求
.
例4：已知
的数值表如下，试写出三阶(向前)差分表.
X
0.4
0.5
0.6
0.7
sinx
0.38942
0.47943
0.56464
0.64422
例5：已知
对应的函数值为
，做三次Newton插值多项式. 如再增加
时的函数值为6，作四次Newton插值多项式。
例6：判断函数
是否为三次样条函数.
第三章 曲线拟合
了解最小二乘法的提法，掌握最小二乘法
例：用最小二乘法建立下表的经验
公式
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x
1
2
4
6
8
10
Y
1.8
3.7
8.2
12.0
15.8
20.2
第四章 矩阵的特征值与特征向量
了解乘幂法与反幂法，雅可比方法；会求主特征值和相应的特征向量。
例：用幂法求矩阵
的主特征值和对应的特征向量.
（取
，精度为0.1）
第五章 数值积分
1、 掌握构造数值积分公式的基本方法；
2、 会求数值积分公式的代数精度
3、 了解Newton-Cotes公式；复和求积公式，龙贝格算法。
例1：用梯形公式和辛普森公式计算积分
，并估计误差。
例2：求近似公式
的代数精度。
例3：求三个不同的节点
和常数c，使求积公式
具有尽可能高的代数精度.
例4：推导求积公式
.
第六章 非线性方程与非线性方程组
1、了解二分法；简单迭代法；
2、掌握迭代法收敛的充分条件；
3、掌握Newton迭代法及局部收敛条件；了解弦割法；
例1：叙述二分法的优缺点。
例2：用二分法和迭代法求方程
的根。
例3：判别下列方程能否用迭代法求解：
（1）
(2)
例4：证明用迭代公式
，
产生序列，对于
均收敛于
.
例5：设
，试建立求
的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算.
第七章 解方程组的数值方法
1、 了解Gauss消去法，掌握列主元素消去法
2、 直接三角分解法，掌握Doolittle分解法，了解追赶法
3、 掌握向量与矩阵的范数；了解条件数，病态方程组的性态；
4、 掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法；
5、 掌握迭代法的收敛的充分条件、充要条件与误差估计。
例1：用Gauss消去法、列主元素消去法和矩阵的三角分解法（
分解）分别解方程组
.
例2： （1）设
，求
，
，
.
（2）已知
，求
，
；并求
，
.
例3：给定线性方程组
，写出雅可比迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式；并考察它们的敛散性。
例4：设A为n阶非奇异矩阵，
表示矩阵的任何一种算子范数，试证
.
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
1、 掌握显、隐式Euler方法、梯形公式与改进Euler方法；
2、 掌握二阶、四阶龙格-库塔方法；
3、 会
分析
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局部截断误差与整体截断误差；
4、 了解数值方法的收敛性与稳定性，会求绝对稳定区域。
例1：试分别用欧拉方法
、改进欧拉方法
以及经典R-K方法
求初值问题
的数值解。
例2：对初值问题
，证明用梯形公式求得的近似解为
。
例3：求向后欧拉方法的绝对稳定区域。
题 型
填空题（30分）， 简答题（20分），
计算题（42分）， 证明题（8分）.
注：除有精度要求外，试题中所有迭代方法至多要求迭代3次。
浙公网安备 33021202002483