带有VaR方法的模糊NPV模型及其混合智能算法

带有VaR方法的模糊NPV模型及其混合智能算法 Computer Engineering andApplications计算机工程与应用 带有VaR方法的模糊NPV模型及其混合智能算法 袁国强 ，刘晓俊 ，朱建林 YUAN Guoqiang ，LIU Xiaojun ，ZHU Jianlin 1(河北金融学院 基础科学部 ，河北 保定 071051 2(中国人民大学 信息学院 ，北京 100083 1(Department of Fundamental Science，Hebei Finance University,Baoding，Hebei 07 1 05 1，China (School ofInformation，Renmin University ofChina，Beijing 100083，2 China YUAN Guoqiang，LIU Xiaojun，ZHU Jianlin(Fuzzy NPV model with VaR method and its hybrid intelligent algo- rithm(Computer Engineering and Applications，2015，51(14):35-39( Abstract:Based on credibility theory,this paper establishes a class of NPV model with fuzzy VaR method and designs hybrid intelligent algorithm，which contains approximation approach， neuron network and genetic algorithm，to solve the proposed mode1(A numerical example is presented to illustrate the effectiveness of the model and algorithm(The sensitivity analysis of optimal solution will be done through changing the credibility level of the obj ective function and credibility cons仃aint( Key words:capital budgeting problem;Net Present Value(NPV)model; fuzzy VaR method;approximation approach; hybrid intelligent algorithm 摘 要:基于可信性理论建立一类带有模糊VaR方法的NPV模型，并设计含 有逼近方法、神经网络和遗传算法的混 合智能算法对提出的模型进行求解。给出一个数值例子表明模型和算法的有 效性。通过改变目标函数和可信性约 束 中的可信性水平对最优解进行灵敏度分析。 关键词:资金预算问题;净现值(NPV)模型;模糊VaR方法;逼近方法;混 合智能算法 文献标志码:A 中图分类号:O159 doi:10(3778,j(issn(1002—8331(1407 —0442 1 背景介绍 净现值(Net Present Value，NPV)是投资项目按基 准收益率或设定的折现率(当未制定基准收益率时)将 各年的净现金流折现到投资起点的现值代数总和。 NPV方法是现代资金预算方法中的核心 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，它是判断 投资项目是否可行的最主要方法之一。 传统的资 金预算 问题是 由Lorie和 Savage” 提 出 的，进而Weingartner 通过数学规划方法和NPV方法 有效地发展了资金预算理论。进一步地 ，Myers 对 Weingartnerd在NPV方面的研究工作又进行了必要地 完善与发展。Willemt4J利用统计学相关理论对确定环境 下投资项 目的NPV变动风险问题进行了全面研究。 Padberg 应用数学规划和NPV方法获得了确定环境下 资金预算问题中的最优决策准则。总之，经典的NPV 理论通常是将初期投资以及项目完成后的现金支出与 流入看作确定的值，但是实践表明这种假设通常情况下 并不符合现实的项 目投资决策环境。 实践表明在现实的资金预算问题中，由于市场环境 和宏观经济的影响，投资者一般很难把握投资项目的初 期投资额以及完工后的资金支出与流入数额。正是鉴 于这种实际的情况，许多学者发现经典的NPV理论已 经不能很好地处理当前的资金预算问题。因此 ，一些学 者致力于进一步改进现有确定环境下的NPV问题，而 另一些学者开始寻求有效的方法研究不确定环境下的 基金项 目:河北省自然科学基金(No(A2013410011);河北省高等学校科学技术研究项 目(No(Q2012048);河北省科技计划项目 (No(134076180D);河北金融学院应用数学优秀基础学科基金项 目。 作者简介:袁国强(1978一)，男，副教授，主研领域为不确定规划理论及混合智能算法;刘晓俊(1959一)，女，教授，主研领域为金 融数学与金融工程;朱建林(1979一 )，男，博士研究生，讲师 ，主研领域为算法理论及应用。E mail:Ygg@1264>>(com (07(28 修回日期:2014(12(02 文章编号:1002—收稿 日期:20l4 8331(2015)14(0035(05 CNKI网络优先出版:2014—12(30(http:,,(cnki(net,kcms,detail,11(2127(TP(20141230(1117(001(html Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 NPV问题。其中，Gerhardt 1提出了一类现金流量是随机 变量的资金预算问题，并通过经典算法对模型进行了求 解。Reuvent 描述了一种通过顺序求解 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的随机资金 预算模型。Huang 提出了一类带有NPV方法的资金预 算模糊机会约束问题，并设计了相应的算法进行了求 解。Tsao~ 设计了一系列实用算法来求解随机资金投资 的NPV问题 。Sayadi等 利用神经网络技术来预测采 矿项 目的NPV问题。 综上所述，虽然不确定环境下的NPV问题已经有 大量的研究成果，但是现有文献中建立的NPV模型与 求解方法还不能全面研究资金预算 的NPV问题 。目 前，基于模糊VaR方法uu的资金预算NPV问题并未有学 者进行研究。因此，如何应用模糊VaR方法建模资金预 算的NPV问题将会成为一个新的研究领域。为了建立 带有VaR准则的资金预算NPV模型，项目的投资支出 与净现金流一般被看作带有已知可能性分布的模糊变 量。但是，先前大部分模糊NPV问题一般是在可能性 理论的框架下进行研究。然而，缺少自对偶性是可能性 理论的一个主要弱点。原因在于 自对偶性对于模糊优 化起着非常重要的作用。为了征服这个缺点，本文首先 基于可信性理论 在学者 Weingartner 的工作基础上利 用模糊VaR方法 ”建立项目投资的模糊NPV模型。其 次 ，针对带有 VaR准则的模糊NPV模型在求解时通常 具有一定的复杂性，本文将设计基于逼近方法u 、神经 网络和遗传算法的混合智能算法来求解本文建立的项 目投 资NPV模型 。最后 ，本文还将设计一个具体的项 目决策问题算例来表明模型的实用性与算法的有效性 ， 并对混合智能算法进行鲁棒性分析。 2 模型的建立 2(1 经典NPV模型 为了建立模糊环境下的资金预算 NPV模型 ，首 先介绍一些具体的符号和变量说明，并且回顾一下 Weingartner 研究的经典NPV模型。 符号说明: i表示投资期中第i个投资年年初，i=1，2，??，P。 k表示回收期中第k个回收年年末， =1，2，??，t。 ，表示要投资的项目，，=1，2，??，，z。 a 表示在第i个投资年年初，项目(，的投资支出。 a 表示投资期中第i年可用于投资的资金。 d 表示回收期中第k年年末的净现金流。 ，表示基准收益率。 变量和约束说明: x =1表示选择项目J，X =0表示不选择项目‘，。 n a ，?n 表示第 i年所有要投资的项目资金总和 不超过可用于投资的资金数。 在投资总额不超过可用于投资的资金总数前提下， 投资者将会选择能给自己带来最大净现值的投资项 目。因此 ，Weingartner 建立了下面经典的NPV模型 : n t d m ax — 二竺 x (1+，() ?口 xj?口f xj?{0，1) (1) i=1，2，?一，P 2，?? ，n = 1， 2(2 带有VaR准则的模糊NPV模型 在现实的项目投资决策中，由于市场环境和宏观经 济的影响，投资者很难把握项目的初期投资额 a 以及 回收期中的净现金流 d 为了合理有效地处理以上这 些不确定性因素，投资者通常借助于相关项 目投资的历 史数据和其他一些辅助方法(随机方法或模糊方法)对 项目投资中的不确定性因素进行处理。当传统的NPV 模型中含有随机变量或模糊变量时，目标函数也随之转 化为不确定形式。本文通过模糊变量和VaR准则 ”处 理项目决策中的各种不确定性因素，下面将项目的初期 投资额 a 以及回收期中的净现金流 d 进行模糊化处 理，相应的符号为 和 ，然后建立下面带有VaR准则 的模糊NPV模型: max VaR1 ) {， ? }? = 1 J x，?{0，1}，2,>0 (2) i=1，2，?? ，P J=1，2，?--，n 这里 ，项 目投资 I_口]题 中的 目标函数 : ' 1-~(x)=supVaR =SUpt 21c 毫 1>21 r{?? a} 【 U ’ J J 表示模糊事件毫毫 ? 的可信性不小于投资 者事先给定的可信性水平 的最大的 值 ;可信性约束 {? ? f}? 表示第 年所要投资项目的资金总 和? 不超过第i年可用于投资的资金口 的可信性 不小于事先给定的可信性水平 。 3 模型的求解与数值例子 在带有 VaR准则的模糊NPV模型(2)中，一些约束 条件中融入模糊变量会使得此时的模糊NPV模型不可 能像经典的约束条件一样，给出一个确定的可行集，并 袁国强，刘晓俊，朱建林:带有VaR方法的模糊NPV模型及其混合智能算法 且目标函数也变得不明确。另一方面，随着模糊向量的 维数增加计算量会逐渐增大并且模型(2)是一个复杂的 优化问题，这样导致利用传统的算法较难进行求解。为 此在这一部分中，本文将通过离散化的模糊变量来逼近 带有连续型模糊变量的目标函数 VaR 一 )和可信性约 r ] 束 {? ?口 ? (f:1，2，??，p)，目的在于将无穷维 L 1 J 的优化问题(2)转化为一个有限维的优化问题，从而降 低模型的复杂性。然后，设计一个含有逼近方法、神经 网络和遗传算法的混合智能算法来求解模型(2)。 3(1 目标函数和可信性约束的逼近方法 由于模糊 NPV模型 中的模糊变量均是连续型的， 因此本文的问题是一个无穷维的优化问题。为了征服 无穷维优化问题的困难，本文采用逼近方法来计算模糊 NPV模型中的两个不确定函数，具体应用离散型逼近序 列将其转化成有限维优化问题。 下面将具体讨论带有无限支撑连续型模糊向量的 逼近方法。关于模糊向量的逼近方法在模糊优化中应 用的更多细节内容，有兴趣的读者可以参阅文献[13】。 为了讨论的方便 ，下面只分析 目标函数 VaR 一 (x) r 1 的情形。类似地，可以分析可信性约束 {? _?口f}? 1 J fl(i=1，2，??， )的情形。假设模糊NPV问题(2)中目标 函数的模糊向量 =(叩 ，，7 ，??， ，)=(叩 12，??，叩 ，)(其 中r=nt)且带有无限的支撑三=n ，be]，这里 ，bi] 是连续型模糊变量 的支撑。若模糊变量 rl ，叩 ，??，叩， 相互独立，则可以利用一列模糊向量{ }的可能性分布 来逼近模糊向量 叩，这里的模糊向量 ’=( ， :，??， ，)。 对于任意的 i?{l，2，??，，(}和 m=1，2，??，定义模 糊变量 =g ( ( )，这里: (ui)-sup{鲁 ?Z'S(t ki f} 其中，Z表示整数集合且 U ?【 ，b ]。 需要指出的是，，7 的取值范围是 ，bi]，而 仅在 点 a 和 上取值，其中: kf=[ma 】+1，[maf】+2，??，[maf]+ 这里 t表示数值t的整数部分，另外，[ma ]+ 的取值 是 mb 一1还是 [mb 要取决于mb 是不是整数。对每个 整数 ki，模糊变量 取值 , 当且仅当 在区间 [ki,m，(ki+1),m)内取值。因此，模糊变量 的可能性 分布 v 可以表示为: Vmi(ki,m)=Pos{yIkt,m?叩 ?<( +1),m} 其中，ki= 口f]+1，[maf]+2，??，[maf]+ ，从 f的构成 方式上看，可以得到对所有的y?厂和i?{1，2，??，，(>，有: 叩f(y)一 < ? (y) 或 ( 一 I<吉 由于 和 都是 ，维的模糊向量， 和 分别是 它们相应的第i个分量，故对任意的y?，，有: y) y) ( ? ?) d _Lr 是 上的欧几里德模。因此，上式表明模糊 其中， 向量序列{ }一致收敛到模糊向量 。 现在利用模糊向量 各分量的可能性分布取代模 糊向量 叩各分量的可能性分布，并且应用到下面的逼近 函数: c ，=sup 毫 }? 逼近模型(2)中的目标函数 VaR。一 ( )，这里模糊变 量己 (y)是下面模糊向量: = (本 。O)，??，】=}目O)，??，7} ，O)) :( 一， ，??， ) (1?移?，()的一个分量 ，并且: ( (y)，礼(y)，??，J9 (y)) =(g 。 ( )，g ， ( l2)，??，g ， (叩 ，)) 这里，r=nt，假设 : = j =lk =1 ~1+r) 然后 (vaR 一 ) ( )可以通过下面的公式: (VaRl一 ) ( )=max ?6c} (3) 计算，这里: c = (1+ { I ? )一 m，ax,、v(1~< )) (4) 下面将以上的逼近方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 如下: 目标函数的逼近方法: 步骤 1从 的支撑 日中产生 S个点 =( 。， ?? ， ~Smr)，S=1，2，?? ，S。 步骤2计算: =g ( )=(g ， 1( 1)，g ， 2( 2)，??，g ， ，(叩 )) 步骤 3对于任意的 (1?S? )，选取: 1， =min{v 1( 1)，Vm2 2)，??，Vmr( ，)} 步骤4对于任意的 s(1?S? )通过公式(4)计算 刮。 步骤 5通过公式(3)返 回目标函数 VaR。 一 ( )的逼 近值 (VaR 一 ) ( )。 利用上面的逼近方法，可以将模型(2)转化为下面 ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用 的形式(模型(5)中只针对目标函数进行了逼近，可信性 和 约束可以 似逼 : Cr{ o<~a ，f:1，2，??，p max(VaR ) ( ) L川 J c { ? 【 = 1 J xj?{0，1}， ?0 (5) i=1，2，?一，P ，=1，2，-一，n 这里，项目投资问题中的目标函数: r : ，、 ] 1 cVaR1_a)m(X)~supt ICr{ 毫 其中， )是下面模糊向量: (y)=( (y)，??， )，?? ， )) = (g ， 1(叩1)，?? ，g ( 杆(叩 )，?? ，g ， ，(叩 )) 的一个分量，并且是定义在可信性空间 (厂，P(厂)，Cr)上 的模糊变量。 3(2 混合智能算法 上一部分本文已经讨论了带有VaR准则的模糊 NPV问题中目标函数和可信性约束的逼近方法，由于问 题 (2)的目标函数一般是复杂的优化问题 ，因此不能运 用传统的优化算法求解这个模糊优化问题。另外，本文 首先利用逼近方法将无穷维优化问题转化为一个有限 维优化问题。但是若在逼近方法中离散点选取的个数 较少，则最终得到的最优解质量就会受到一定程度的影 响。为了提高最优解的质量，选取的离散点个数就要达 到一定的数量，而离散点的数量多就会直接导致最优解 的搜寻时间过长。因此，本文在混合智能算法中设计了 神经网络来缩短最优解的搜索时间。本文 中采用快速 BP算法来训练一个前馈神经网络逼近下面的不确定函 数。最后，本文将基于逼近方法、神经网络和遗传算法 构建一个混合智能算法来求解模糊NPV问题。众所周 知，近几十年来，遗传算法在复杂的工程优化方面得到 了广泛的研究和应用[14-16]~因此 ，本文将逼近方法嵌套 到遗传算法中产生一个混合智能算法来求解上面提出 的带有 VaR准则的模糊 NPV问题(2)。基于逼近方法 和神经网络的混合智能算法如下: 步骤 1通过3。1节中提出的逼近方法为下面的函数: f f ” 1 1 一 s印{ ICr{ }? } 分别产生一组输入(输出数据。 步骤2通过步骤 1产生的数据训练一个神经网络 来逼近 目标函数和可信性约束。 步骤 3初始产生 pop size个染色体。 步骤4通过交叉和变异操作对染色体进行更新。 步骤 5利用上面训练的神经网络计算所有染色体 的目标函数值。 步骤6根据得到的目标函数值 ，计算每个染色体的 适应度。 步骤7通过旋转赌轮的方式选择染色体。 步骤8重复步骤4至步骤7到给定的循环次数。 步骤9最好的染色体作为最优解。 3(3 数值例子 为了验证以上所设计的逼近方法和混合智能算法 的可行性和有效性，下面将给出一个项目投资问题的数 值例子进行验证。这里，假设有5个相互独立的投资周 期均为 1年的项 目，投资预算的总额度为 1 000万元，基 准收益率为每年 6,。另一方面 ，表 1给出了每个项 目 的期初模糊投资额以及投资回收期的模糊年净现金流， 并且回收期中每年年末的模糊净现金流是相同的模糊 变量。若投资者选择的可信性水平 a=0(92， =0(8，则 可以建立下面带有VaR准则的模糊NPV模型 : max VaR1 一 ) f 1 C { ??10 0(8 = 1 J x ?{0，1 21>0 (6) i= 1，2，?? ，P J:1，2，??，n 这里 ，项目投资问题中的 目标函数: s叩 倭 6 q嚣 +砉导嚣 ，+ k~=1 t ,1+4- 84 + '~ 15-‖95扣卜 2 其中，模糊变量 r,。。 表示回收期中每年年末的模糊净 表 1 模糊NPV模型的相关数据 袁国强，刘晓俊。朱建林:带有VaR方法的模糊NPV模型及其混合智能算法 现金流是相同，即 r,lI ，721 ’ ，781 类似地，可以定义 l2 ，，7l3坷，叩14 和 叩l5 。 为了用逼近方法求解(6)，对于每一个 ( ， ，， ， ， )，通过逼近方法产生6 000个样本点 估计目标 函数和可信性约束。重复上述过程为目标函数和可信 性约束产生一组输入(输出数据集，通过产生的训练数 据训练一个神经网络逼近目标函数和可信性约束(5个 输入神经元，分别表示决策变量 ，X，， ， 和 的输 入值;6个隐藏神经元;2个输出神经元，分别表示目标 函数 一 ( )和可信性约束函数U(x)的输出值)。最 后，将训练好的神经网络嵌入到遗传算法中得到混合智 能算法用于寻找模型(6)的最优解。 有关混合智能算法中的参数设置如下:种群规模为 30，交叉概率为0(3，变异概率为0(2，基于序的评价函数 中，参数a:0(05。最后，混合智能算法运行 1 500代得 到的最优解为( ， ;， ;， :，X5’)=(1，0，0，0，1)，对应的最 大目标值为37(916 092，即投资者选择项目1和项目5进 行投资可以获得最大的收益净现值为3 791(609 2万元。 下面通过数值实验说明混合智能算法的有效性。 首先，改变可信性水平 a的值并得到图1有关最优值的 变化结果。从图1中可以看出，随着可信性水平6c的值 不断增加 ，最优值逐渐减小 ，这表明可信性水平 a越大， 目标函数值越小，投资的风险性越低，也意味着投资者 获得的利润就越低。其次，改变可信性水平 的值并得 到图2有关最优值的变化结果。从图2中可以看出，随 着可信性水平 的值不断增加，最优值逐渐减小，这表 明可信性水平 越大，约束条件成立的可信度越高，投 趔 堪 g 瓤 闰 蠖 皿 可信性水平 图 1 当可信性水平 不变，a变化时目标函数的收敛性 趔 餐 糕 圈 蜷 皿 可信性水平 图2 当可信性水平 a不变， 变化时目标函数的收敛性 资的风险性就越低，同时意味着投资者获得的利润就 越低。 另一方面，由于遗传算法中交叉概率和变异概率的 变化，通常会影响最优解的质量。但是，本文通过具体 的数值实验已经表明交叉概率和变异概率的变化，在一 定程度上并未影响最优解的质量。同时，表2给出了交 叉概率和变异概率变化后的最优解并进行了相应的比 较。其中，表2中最后一列是目标函数值得相对误差， 具体的计算方法是(目标函数值一最优目标值),最优目 标值×100。 表 2 模糊NPV模型最优解的比较结果 从表2的分析结果可以看出，当交叉概率和变异概 率变化时，最优值的相对误差没有超过 2(56,。因此 ， 本文设计的混合智能算法具有可行性和有效性。 4 结束语 本文 的主要成就在于通过一种新的模糊 VaR准则 和NPV方法研究了资金预算问题，并设计了包含逼近方 法、神经网络和遗传算法的混合智能算法对带有VaR准 则的模糊NPV模型进行了求解。最后，给出了一个资金 预算问题的实例并对混合智能算法进行了灵敏度分析， 从而表明了本文所设计模型与算法的可行性与有效性。 另一方面，本文的主要不足之处在于只运用遗传算 法对问题进行了求解，而没有考虑其他的算法。因此， 今后的研究工作中将讨论运用其他优化算法(例如，粒 子群算法、文化基因算法以及模拟退火算法等)对模型 进行求解，并比较各种算法的优缺点，从而确定最佳的 求解方案。 参考文献: [1】Lone J H，Savage L J(Three problems in capital ration— ing[J1(Journal of Business，1995，28:229—239( [2】Weingartner H M(Mathematical programming and the anal- ysis of capital budgeting problem[M](Prentice Hall:Engle— wood Press，1963( [3】Myers S C(A note on linear programming and capital budgeting[J](Journal of Finance，1 972，27(1):89—92( f4】Willem J H(Estimating NPV variability for deterministic models[J](European Journal of Operational Research，1 998， lo7(1):202(213( (下转5O页) O O 0 O 0 O O 0 0 O O O 卯, 如 50 2015，51(14) ComputerEngineering andApplications计算机工程与应 用 样可 以基于 XYZ,SE完成对 BRClient组件 、连接件 MP、 GNServer组件等的部分正确性验证。 4 结论 针对软件形式化描述和部分正确性验证难以统一 的问题，提出了一种基于XYZ,SE进行软件可信性研究 的统一框架。该框架实现了对软件的形式化描述和部 分正确性验证 的统一。文 中给出了应用该框架进行软 件形式化描述和部分正确性验证的完整流程。同时，结 合已有研究，以TIPS为对象分析了该框架的具体应用 过程。分析整个分析过程，可以发现，XYZ,SE具备对不 同抽象层次进行规范描述的能力，能实现从抽象(静态 语义)到具体(动态语义)的平滑过渡。同时，XYZ,SE还 能在统一框架下表达出Hoare逻辑推演规则 ，是程序正 确性验证的重要方法。 参考文献: 【1】梅宏 ，曹东刚揿件可信性:互联网带来的挑战[J】冲 国计算 机学会通讯，2010，6(2):20(27( [2】Abowd G D，Allen R，Garlan D(Formalizing style to understand descriptions of software architecture[J](ACM Transactions on Software Engineering and M ethodology (TOSEM)，1995，4(4):319—364( [3】Shaw M ，Garlan D(Software architecture:perspectives on an emerging discipline[M]([S(1。]:Prentice Hall，1 996( [4】焦文品 ，史忠植(用XYZ,E形式化体系结构风格【J】(软件学 报 ，2000，11(3):410(415( 【5】Hoare C A R(An axiomatic basis for computer program— ming[J](Communications of the ACM，1969，12(10):576—580( [6】Sasse R，Meseguer J(Java+ITP:a verification tool based on Hoare logic and algebraic semantics[J](Electronic Notes in Theoretical Computer Science，2007，176(4):29—46( [7】Frade M J，Pinto J S(Verification conditions for source— level imperative programs[J](Computer Science Review， 2011，5(3):252(277( f8]8 闫安，唐稚松(在 XYZ,E中实现混成实时系统——蒸气锅 炉控制 问题的解决 (英文 )[J](软件学报 ，2000，11(6): 7l1(719( [9]唐小平，唐稚松(XYZ系统在动画设计中的应用[J](软件学 报 ，1998，9(1):1-6( [1O]沈武威，唐稚松(XYZ系统在电信领域中的应用[J](软件 学报 ，1996，7(6):321—330( 【11】唐稚松(时序逻辑程序设计与软件工程(下册 )[M】(北京: 科学出版社，2002( [12】唐稚松(时序逻辑程序设计与软件工程(上册)[M】(北京: 科学出版社，1999( [13]Kroger F(Temporal logic of programming[M](New York: Springer-Verlag，1 984( [14]刘建勋 ，杨鑫，李恒华(SOAP在税银联网方案中的应用[J]( 计算机工程，2003，29(15):173(175( 【15]高兆乾(基于安全机制的财税库银联网系统的设计与实 现[J](计算机系统应用，2010，19(8):128—1 32( [16】Liu Manxia，Zhang Jin(XYZ,E and its application to the TIPS[C]H2012 International Conference or,Soft— ware and Computer Applications (ICSCA 2O 1 2)，Sin— gapore，2012，41:122—126( (上接 39页) 【5】Padberg M(Optimal project selection when bo~owing and lending rates differ[J](Mathematical and Computer Modelling，1999，29:63—78( [6]Gerhard S(A linear approach for solving stochastic capi— tal budgeting problems[J]，Engineering Costs and Produc— tion Economics，1982，6:215-224( 【7]Reuven R L(A sequential solution procedure to stochastic capital budgeting models[J](Computers& Industrial Engi— neering，1988，14(4):337-380( [8】Huang X X(Chance-consgained programming models for capital budgeting with NPV as fuzzy parameters[J](Jour- nal of Computational and Applied Mathematics，2007， 198(1):149(159( [9]Tsao C T(Fuzzy net present values for capital invest— ments in an uncertain environment[J](Computers& Oper— ations Research，2O12，39(8):1885—1892( 【10]Sayadi A R，Tavassoli S M M，Monjezi M，et a1(Appli— cation of neural netw orks to predict net present value in mining projects[J](Arabian Journal of Geosciences， 2014(7(3):1067(1072( 【1 1]Wang S，Watada J，Pedrycz W(Value—at—risk—based two— stage fuzzy facility location problem[J](IEEE Transac— tions on Industrial Informatics，2009，5(4):465—482( Liu B，Liu Y K(Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value model[J](IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2002，10(4):445—450( Liu Y K(Convergent results about the use of fuzzy simu— lation in fuzzy optimization problems[J](IEEE Transac— tions on Fuzzy Systems，2006，14(2):295—304( Gen M ，Cheng R(Genetic algorithms and engineering design[M](New York:John Wiley and Sons，1997( Lova A，Tormos P，Cervantes M ，et a1(An efficient hybrid genetic algorithm for scheduling projects with resource constraints and multiplle execution modes[J](International Joumal of Production Economics，2009，l17(2):302—316( Esmaeili R，Dashtbayazi M R(Modeling and optimiza— tion for microstructnral properties of AI,SiC nanocom— posite by artificial neural netw ork and genetic algo- rithm[J](Expert Systems with Applications，2014，41(13): 5817(583】( 印 n ?