最新数学证明方法

最新数学证明方法最新数学证明方法数学证明方法摘要:数学证明是数学学习中非常重要的一部分～数学证明有核实作用～理解作用～发现作用和思维训练作用～数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。关键词:数学证明,意义,方法数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢,许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一...

最新数学证明方法数学证明方法摘要:数学证明是数学学习中非常重要的一部分～数学证明有核实作用～理解作用～发现作用和思维训练作用～数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。关键词:数学证明,意义,方法数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢,许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同方法。数学证明的方法 (一)综合法和分析法综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。 ,,1,cossin sin,1，cos,例1 求证= 2,sin,sin sin,(1，cos,)1，cos,方法1: 左边 ===右边所以得证。 ,,sin(1,cos),,,sin(1,cos)sin 2(1，cos,)(1,cos,)1，cos,1,cos, 方法2:右边=== ,,,sin(1,cos)1,cos 2sin,sin, = ==左边所以得证。 2,,,2sincos2sin2222,,,1,cossin,,,2cos2sincossin,21，cos,222 方法3:==tan== 所以得证。 ,,1,cossin (1,cos,)(1，cos,),sin,sin,sin,1，cos, 方法4:要证=只需要证 221,cos,,sin,即要证，显然，这个命题成立，故得证。上述例题的四种解法中，前三种是用综合法解的，而第四种解法是用分析法解的。在证明的过程中，我们用到了同角三角函数的关系，半角公式等等。所以，通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性，还知道了为什么正确，同时还增进了对同角三角函数的关系，半角公式等等的理解。从例1我们可以看出，综合法的特点是从“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看，综合法是由已知的寻找未知的，即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由结论慢慢推出所需要的条件，这样比较容易解决问题。就表述证明的过程而论，综合法的形式比较简洁，条理清晰，分析法由于倒过来叙述，因而比较繁琐，文辞冗长。这也就是说，分析法有利于思考解决问题，综合法宜于表达问题。因此在解题时，可以把分析法和综合法结合起来使用，先以分析法为主，寻找解题思路，再用综合法有条理的表述证明过程。 (二)反证法通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。反证法的一般步骤如下: 假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。据排中律，最后肯定原命题成立。反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。 2例 2求证是无理数。 2pp 2qq2证明:假设是有理数，且为既约分数，(p>0,q>0)，则=2，22p,2q，由此可见p是偶数，记为2r。同理又可得q也是偶数，这 p q2与是既约分数相矛盾。从而是无理数。 2在这道题目中，只有两种可能，是无理数或者不是无理数。所以，命题的否定方面只有一种可能情况。因而，我们可以假即设其为有理数，然后推出矛盾证得该题。 ABCD例 3在四边形中，对角线AC和BD相交于点O，已知OB=OD，，BAD,，BCD。 DC C'ABCD求证:四边形是平行四边形。 OBA ABCD证明:如图，假设四边形不是平行四边形，则由于OB=OD，所 ,以必有OAOC，即OAOC。 C'C'C'C'若OAOC。所以，在利用反证法证明时要把这两种否定情况都驳倒才可以。通过这道题的证明，可以增进人们对平行四边形特征的理解，使自己的思维更加严谨，缜密。反证法是一种重要的证明方法，不但在初等数学中有很多的应用，就是在高等数学中也有着很重要的应用，数学中的一些重要的结论，从最基本的性质，定理到某些难度较大的世界难题，往往是用反证法得到的。在证明该题的过程中，用到了勾股定理，全等三角形的知识。所以，通过该题，也可以使人们加强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。需要指出的是，同一法和反正法的适用范围是不同的，同一法的局限性较大，通常只适用于符合同一原理的命题，反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。 (三)数学归纳法 p(n)我们采用记号表示一个与自然数n有关的命题，把它们都写出来 p(1)p(2),p(3)，„„ 事实上，如果满足下面两个条件: p(1)n,1(1)成立(即当时命题成立) p(k)p(k，1)k(2)只要假设成立(归纳假设)，由此就可得也成立(是 p(1)p(2),p(3)自然数)就能保证这一大串(无数多个)命题，„„都成立。我们把此叫做数学归纳法原理。根据数学归纳法原理，我们在证明时可以相应的按照以下两步进行: p(1)(1) 验证是成立的。 p(k)p(k，1)(2) 假设成立，证明出也成立。 p(n)n由(1)，(2)可得对于任意的自然数，命题都成立。这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。 2(2n,1)n例5 证明1+3+5+„„+= 2n1证明:(1)当=1时，左边=1，右边==1 等式成立。 2(2k,1)kkkn,(2) 假设当=(1)时等式成立，即1+3+5+„„+= (2n,1)(2k,1)(k，1)kn则=+1时1+3+5+„„+=1+3+5+„„++[2-1] (2k,1)(2k，1)=1+3+5+„„++ 22(2k，1)(k，1)k+= = kn所以，当=+1时，等式也成立。 n由(1)，(2)可知，对于任意自然数，等式都成立。所以得证。总之，一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。参考文献 [1] 李士锜 PME:数学教育心理学华东师范大学出版社 [2] 蒋文蔚杨延龄数学归纳法北京师范大学出版社 [3] 侯敏义数学思维与数学方法论东北师范大学出版社

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