第21讲 一元一次方程解的讨论 教师版第21讲 一元一次方程解的讨论
【内容讲解】
1、 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2、 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：
当a≠0时，有唯一的解 x=
；
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值...
第21讲 一元一次方程解的讨论
【内容讲解】
1、 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2、 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：
当a≠0时，有唯一的解 x=
；
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3、求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
【典型例题】
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；
③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=
,∴只要a与4同号，
即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。
例2 k取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？
②（1－x）k=6的解是负整数？
解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数
∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k－6，
当k≠0时x=
=1－
，
只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数
当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？
解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b
∵方程无解，∴a－b=0且b≠0
∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，
根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知
当
时，原方程有无数多解。
解这个方程组得
答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
【巩固练习】
1、根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
1 (x+1)=0 ②x2=9 ③|x|=9
④|x|=－3 ⑤3x+1=3x－1 ⑥x+2=2+x
2、关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3、在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；当a＿＿＿时无解；
当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；当a＿＿＿＿时,解是负数。
4、k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
a) x=
②x=
③x=
④x=
5、k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6、m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7、己知方程
的根是正数，那么a、b应满足什么关系？
8、m取什么整数值时，方程
的解是整数?
9、己知方程
有无数多解，求a、b的值。
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