《近世代数基础》讲义

《近世代数基础》讲义 《 近世 代数 基 础》 讲义 谭 友军 四 川大 学数 学 学院 目录 第零 章 课程 简介 与预 备知 识 0.1 课程 简介 0.2 集合 与映 射 0.3 集合 上的 等价 关系 与 划分 0.4 整数的性质 0.5 模n 剩余 类加 群 0.6 选择公理、Zorn 引理 和良 序 定理 第 一章 代 数基 本概 念 1.1 群的 定义 和简 单 性质 1.2 重要例子 :置换群 对称群 1.3 重要 例子 :二 面 体群Dihedral groups 1.4 子群subgroups 和陪集cosets 1.5 群同态与群同构 1.6 正规 子群 、商 群、 同 态定 理 1.7 环、 子环 、环 同态 、 同构 1.8 各种 特殊 类 型的 环 1.9 环的 理想 、商 环 1.10 域的 特 征 第 二章 群 2.1 群的 同态 定 理 2.2 循环 群 2.3 单群 与 的单性 A n 2.4 可解群 2.5 群的 自同 构 群 2.6 群作用 2.7 Sylow 定理 2.8 有限 Abel 群的 分类 定理0.1 课 程 简介 “ 抽象 代数 学是 在初 等代 数学 的基 础 上, 通过 对 数 系的 概念 的进 一步 推广 或者 可 以实 施 代数 运 算的 对 象的 范围 的进 一 步扩 大 , 逐 渐发 展而 形成 的; 它自 18 、19 世纪 之 交萌 芽, 不断 成 长而 于 20 世纪 20 年代建立起来. 抽象代数学研究的 对象是非特定的任意元素集 合和 定义 在这 些元 素 之间 的 、 满足 若干 条 件或 公 理的 代 数运 算 , 也 就是 说 , 它以 各种 代数 结 构 (或 称系 统) 的性 质 的研 究 为中 心 问题. 抽象 代数 学的 研究 方法 主 要是 公 理化 的. 自 20 世纪 40 年代 中 期起 , 由各 种代数结构 的 公理 出 发研 究 它们 的 性质 , 发 展了 所 谓抽 象 代数 学. 抽 象代 数学 就是 以研 究 数字 、 文字 和 更一 般 元素 的 代数 运 算的 规 律和 由 这些 运算 适合 的公 理 而定 义 的 各种 代数 结 构 (群 、 环、 域、 模、 代 数、 格 等) 的性 质为 其 中心 问 题的. 由于 代 数运 算 贯穿 在 任何 数 学理 论 和应 用问 题里 , 也由 于代 数 结构 及 其元 素 的一 般 性, 抽 象代 数 学的 研 究在 数学中是具有基本性的. 它 的 方 法 和 结 果 渗 透 到 那 一 些 与 它 相 接 近 的各 个 不同 的数 学领 域中 , 成为 一些 有新 面貌 和新 内 容的 数学 领域 , 例如 代数 数 论、 代 数几 何、 拓 扑代 数、 李群 和 李代 数 以至 代 数拓 扑 学、 泛函 分析 等. 这 样, 抽 象代 数 学就 对 于全 部 现代 数 学的 发 展有 着 显著 的相 互影 响, 并 且 对于 一 些其 他的 科学 领 域, 如理 论物 理、 结晶 学 等, 也有 重要 的影 响. ”---------- 摘 自《 中 国大 百 科全 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 》 “The modern treatment of abstract algebra begins with abstract definition of a group. This simple definition quickly leads to difficult questions involving the structure of such objects. There are many specific examples of groups and the power of the abstract point of view becomes apparent when results for all of these examples are obtained by proving a single result for the abstract groupThe notion of a group did not simply spring into existence, however, but is rather the culmination of a long period of mathematical investigation, the first formal definition of an abstract group in the form in which we use it appearing in 1882. The definition of an abstract group has its origins in extremely old problems in algebraic equations, number theory, and geometry, and arose because very similar techniques were found to be applicable in a variety of situations. As Otto H?lder 1859-1937 observed, one of the essential characteristics of mathematics is that after applying a certain algorithm or method of proof one then considers the scope and limits of the method. As a result, properties possessed by a number of interesting objects are frequently abstracted and the question raised: can one determine all the objects possessing these properties? Attempting to answer such a question also frequently adds considerable understanding of the original objects under consideration. It is in this fashion that a definition of an abstract group evolved into what is, for us, the starting point of abstract algebraWe illustrate with a few of the disparate situations in which the ideas later formalized into the notion of an abstract group were used1 In number theory the very object of study, the set of integers, is an example of a group. Consider for example what we refer to as "Euler's 40 Theorem", one extremely simple example of which is that a has last a two digits 01 if is any integer not divisible by 2 or by 5. This was proved in 1761 by Leonhard Euler 1707-1783 using "group-theoretic" ideas of Joseph Louis Lagrange 1736-1813, long before the first formal definition of a group. From our perspective, one now proves "Lagrange's Theorem", applying these techniques abstracted to an arbitrary group, and then recovers Euler's Theorem and many others as a special case 2 Investigations into the question of rational solutions to algebraic 23 equations of the form y x 2x there are infinitely many, for example 0, 0, -1, 1, 2, 2, 9/4, -21/8, -1/169, 239/2197 showed that connecting any two solutions by a straight line and computing the 23 intersection of this line with the curve y x 2x produces another solution. Such “Diopantine equations,” among others were considered by Pierre de Fermat 1601-1655 this one was solved by him in 1644, by Euler, by Lagrange around 1777, and others. In 1730 Euler raised the 4 question of determining the indefinite integral dx 1x of the 4 "lemniscatic differential" , used in determining the arc length 1x dx along an ellipse the question had also been considered by Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 and Johannes Bernoulli 1667-1748. In 1752 Euler proved a "multiplication formula" for such elliptic integrals using ideas of G.c. di Fagnano 1682-1766, received by Euler in 1751, which shows how two elliptic integrals give rise to a third, bringing into existence the theory of elliptic functions in analysis. In 1834 Carl Gustav Jacob Jacobi 1804-1851 observed that the work of Euler on solving certain Diophantine equations amounted to writing the multiplication formula for certain elliptic integrals. Today the curve above is referred to as an "elliptic curve" and these questions are viewed as two different aspects of the same thing - the fact that this geometric operation on points can be used to give the set of points on an elliptic curve the structure of a group. The study of the "arithmetic" of these groups is an active area of current research3 By 1824 it was known that there are formulas giving the roots of quadratic, cubic and quartic equations extending the familiar quadratic 2 formula for the roots of axbxc0 . In 1824, however, Niels Henrik Abel 1802-1829 proved that such a formula for the roots of a quintic is impossible. The proof is based on the idea of examining what happens when the roots are permuted amongst themselves for example, interchanging two of the roots. The collection of such permutations has the structure of a group called, naturally enough, a "permutation group"This idea culminated in the beautiful work of Evariste Galois 1811-1832 in 1830-32, working with explicit groups of "substitutions." Today this work is referred to as Galois Theory. Similar explicit groups were being used in geometry as collections of geometric transformations translations, reflections, etc. by Arthur Cayley 1821-1895 around 1850, Camille Jordan 1838-1922 around 1867, Felix Klein 1849-1925 around 1870, etc., and the application of groups to geometry is still extremely active in current research into the structure of 3-space, 4-space, etc. The same group arising in the study of the solvability of the quintic arises in the study of the rigid motions of an icosahedron in geometry and in the study of elliptic functions in analysisThe precursors of today's abstract group can be traced back many years, even before the groups of "substitutions" of Galois. The formal definition of an abstract group which is our starting point appeared in 1882 in the work of Walter Dyck 1856-1934, an assistant to Felix Klein, and also in the work of Heinrich Weber 1842-1913 in the same yearIt is frequently the case in mathematics research to find specific application of an idea before having that idea extracted and presented as an item of interest in its own right for example, Galois used the notion of a "quotient group" implicitly in his investigations in 1830 and the definition of an abstract quotient group is due to H?lder in 1889. It is important to realize, with or without the historical context, that the reason the abstract definitions are made is because it is useful to isolate specific characteristics and consider what structure is imposed on an object having these characteristics. ” rd -------- 摘自《Abstract Algebra, 3 Edition 》By D. S. Dummit, R. M. FooteJohn Wiley and sons, Inc. 2004. 0.2 集 合与 映 射 , , ?, ?, 1 集合 的描 述, 运算 , 笛卡 尔 积, , 集合 的 幂, cardA 2 集合 之间 的映 射 ,映 射 的复 合 ?1 f : AB AA i 像与原像: : ,BB, f A , f B 1 1 11ii 单射 ,满 射, 双射 , 左 右 逆, 逆 f : ABiii 命题 :设 是映射. 则 f f a 是单 射 当且 仅 当 有左逆b f 是满 射当 且 仅当 f 有右逆f g :BA c 是双 射 当且 仅 当存 在 映射 使得:gfid fgid 且 A B |AB | ?| | f d 设AB , 都是 有限 集且则 是双射当且 f f 仅当 是单 射, 当 且仅 当 是满射0.3 集 合上 的等 价 关系 与划 分 A R AAa Ra 1 非空集合 上的 一个 二元 关 系 是 的一 个子 集: 当 12 a ,a A A a Ra aa 且仅当 ; 通常 记为 : 12 12 12 A R R 2 非空集合 上的 一个 二元 关 系 是一 个等 价 关系 , 如果 满足 反身 性, 对称 性 ,传 递 性. 等价 类与 代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 元 ;商 集 A A A I 3 非空集合 上的一个划分 是 的一 组非 空 子集 , 其中I AA AA 是一 个指 标集 , 满足 : 且 ,对任意 ?I IA 4 命题 : 非空 集合 上的 一个 等价 关系 确 定一 个 划分 ; 一个 划分 确定 一个 等价 关 系 0.4 整 数的 性质 1 最大 公因 数, 带余 除 法,Euclid 算法 ,素 数 2 算术基本定理? n 3 Euler 函数 , n? : p ?pp ??1 i 如果 是素数则 ab , 1 ?ab?a ?b ii 如果 ,则 aa a 12 s ap p p iii 如果 是标 准分 解 ,则 12 s aa 11 a ?1 12 s ?ap p ?1p p ?1 ?p p ?11 1 2 2 ss 0.5 模 n 剩 余 类加 群 n | ab1 设n 在上定义二元关系:ab当且仅当则是上的 一个 等 价关 系 ; 相应 的商 集 记为/ n 或 , 称 n 之为模 n 剩余 类加 群, 其元 素是 代表 元 ,记 为 a 2 命题 :在 上有 如 下良 定 的运 算 , n ab :ab, ab :ab? a3 的乘法群 由 中满 足 如下 条 件的 组成: n n n c? ac1 存在 使得可以证明: n? a: a,n ?1 . 进一步, 对上 述乘 法封 闭n n ? n an , 1 4定理Euler-Fermat :设则 在 中有: a1 n 0.6 选 择公 理、Zorn 引 理 和良 序定 理 1 偏序集:偏序,全 序,链 , 极小 元素, 极大元 素,偏 序集的 子集 的下 界、 上 界 、最 小元 素 、最 大元 素 ;良 序集 T A :I I 2 选 择公 理Zermelo:设 , 其中 是一 个 指标 集 , A T 是非 空集 合. 则,存在 上的 一 个函 f? I 数 ,使 得 对任 意 都有: f AA 3 良 序定 理 :每个集合都存在一 个良序4 Zorn引理 : 若偏 序集 S 的每 个 链都 有 上界 , 则 S 有一 个极 大元 素第 一章 代 数基 本概 念 1.1 群 的定 义和 简 单性 质 1 二元运算: i 非空集合G 上的 一个 二元 运 算是一个影射:: GG G 记 号:对任意 a,b ?G ,记 ?ab , 为abii “ 结合 律、 交换 律 ”的 含义iii 例子:a 任意 数 域上 的 加法 、 乘法 运 算, 且满 足交 换律 和结合律 b 减法不是 上的运算3 c上的 外积 运算 是 二元 运 算, 不 满足 交 换律 和结合律 d M上的 矩 阵乘 法 运算n 2 群的定义 i 定义 : 如果 非空 集合 G 上有 一个 二元 运 算 满足 如下 的 条件 : G1满足 结合 律, G2 存在eG使得对任意aG都有 eaa , G3 对任意aG都存在bG使得 bae ,就称G 关于是一个群. 或者 G, ? 是一 个 群 记号 : 如果 G, ? 是一 个 群, G 的运 算通 常记 为 abab. ii 定义 : 如果群 G, ? 的运算还满 足交 换律 , 就称 G, ? 是一个 交换群; 交换 群 也称 为Abel 群或 加群 , 其运 算通 常 记 为ab iii 定义 :如果G 是一 个有 限集 , 那么 群 G, ? 是一 个 有限 群iv 例子:a 任意 数域 关 于数 的 加法 是 一个 交 换群 ; 任意 数 域 上的 线性 空间 关 于加 法 是一 个 交换 群b 对任意数域,设 0 ,则关于 数的 乘法 运算 是一 个群 ,称 为的乘法群 c 对任意 n? ,剩 余类 加群关于 剩余 类的 加 法 n 运算是一个有限的 交换群;的乘法群关于n n 剩余类的乘法是一 个群d 一般 线性 群 : 对任意数域 和任意n? , 设 GL为所有 上的可逆 n 阶方 阵 组成 的 集合n 则 GL关于 矩 阵的 乘 法是 一 个 非交 换 群n T Se 集合上的 变 换群 :对 任意 非空 集合 S ,设 为 所有从 S 到自 身 的一 一映 射 成为 S 上的 变 换 组 成的 集合 , 则 T S 关于 映射 的 复合 运 算是 一 个群f 群的 直积 : 设GG , 是两 个群 , 那 么笛 卡 尔积 GG12 12自然 地成 为一 个群2 基本性质: i 命题 群的 定义 的左 右 对称 性 :设G 是一个群 ,eG满足G2a 如果 bae ,那么 abe b 对任意 都有aGaea c 若eG '也满足G2, 那么ee' d 对任意aG,存 在唯 一 的bG使得abba e注 :由此命题,称 e 为 G 的单 位元 ; 对任 意aG,称d1 中的bG为 a 的逆 元 , 记为ab. 对任意 有: a,b ?G ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 a a; ab b a ii 命题:设 G 是一 个 群, 则 G 的乘 法满 足 左、 右 消 去律 3 群的 元素 的阶order设G 是一 个 群n i 对任意aG和任意整数 n 有幂 a n ii 设aG. 称满足ae的最 小正 整数 n 为 a 的阶 ,记 为 oa 或|| a约定 :如 果 这样 的 整数 不 存在 , 就记 oa ?1 例子:a 设 G 是一个群. 则对 任 意 x, g ?G 有| x | ?| x gx | , 从而 | gx | ?| xg || ab | ?| a || b | b 一般地,c 设 G 是一个群,xG满足||xn如果nst ,则 s ||xt4 定义 : 如果G n Gg , g , , g G 是一 个 阶为 的有限群: 12 n ,则 的nnij , gg 乘法表是一个 的“ 矩阵 ”, 其 - 元为 ij 5 群 的生 成子generating set 和 生成 关 系generating relations S G G a 定义: 设 是群 的一 个非 空子 集. 如果 的任意元素都可以写为 S 中的 元 素和 它 们的 逆的 乘积, 则称 S 是 G 的一个生成集, 记为GS例如:1 n b 设GS在G 中任 意一 个关 于 S 的元 素 的等 式 称为 一个 关系. 如果GS 的若 干关 系 满足: 中的任意 R , R , ?, R G 12 m S 的元 素之 间的 关 系都 可 以由 R , R , ?, R 导出,则称 12 m R , R , ?, R 是G 的一组生成关系 , 记为 :G?S |R , R , ?, R,12 m 12 m 这是 G 的一个表现presentation. 例如: 2 2 2x, y|xyxy ?1是一个4 阶群 的表 现 1.2 重 要例 子: 置 换群 对 称群1 回忆 一般 集合 上的 变 换群, 集合 S 上的 变 换群 T S 也称为 S上的对称群2 定义: 对于 n? , 集合? 1,2, ?,n 上的 变 换群 对称 群 称为 n 元对称群 置换 群, 记为 SS 是一 个 阶为 n! 的非 交换 群;n n 12n任意?S 可以记为: , 其中n12 n? i ; 所以, 任意?S 等同 于 一个 的一个排列1,2, ?,n i n 3 注: mn ,? 且mn. 则任意?S 可 以扩 充 为 S 中的 一 个 元: n m保持 n1,n 2, ?,m 不动 4 定义: 如果 S 中的 一个 元把映为11 ?im? , 把映 n i i ?1 m为, 而把1,2, ?,n 中其 余的 元 素映 为 自身, 则是一个 1 m m? ,, , m-轮换 -cycle, 记为 ; 称为 该轮 换 的长 12 m度. 两个轮换? ,, , 与? ,, , 称为不相交 12 m 12 l的, 如果? , 对任意im ?1,2, ?, ; j1,2, ?,lij 5 注: a 设mn ,? 且mn. 则 S 中的 轮换 也 是 S 中的轮换n m b 长度为2 的 轮换 称 为一 个 对换transition c 轮换 的写 法可 以 不唯 一:,, ?,,, ?, ?,, ,, ?, 12mm 2 3 1 3 4 1 2 一般把最小的数写 在第一 个位置 d 不相 交的 轮换 在 S 中是 可交 换 的n e 任意轮换? ,, , 在 S 中的逆为 12 m n ?1? ,, ,, mm ?12 1 f 任意?S 都可 以 写成 若 干轮 换的 积, 即, 轮 换组 成 的集 n 合是S 的一 个 生成 集; 但一 般 地,的轮 换分 解不 唯 一,n 例如: 在 S 中, 123 1223 1313213. 但是我们有如 3 下的 6 命题: 任意?S 都可 以 唯一 地 分解 为 互不 相 交的 轮 换的 乘 积 n 不记 顺序 的 意义 下; 这种 分 解称 为的轮 换 分解7 推论 :任意?S 的阶 是它 的 轮换 分 解中 轮 换长 度 的最 小公 倍 n 数 1.3 重 要例 子: 二 面体 群Dihedral groups F 1 定义: 对于 平面 上给 定 的正 n 边形 , 设 D 表示 平 面上 的 保持 n F 不动 的正 交 变换 的 集合. 则 D 关于 变换 的 复合 运 算是 一 个n 群, 称为二面体群2 引理: | D |2nn n F D 证明: 把正 边形 的顶 点编 号为1,2, ?,n注意到 中的任 n 意元素由它在顶点1,2 处的 作 用唯 一 确定. 设? D 使得n 1i, 则2 只可 能 是 i ?1 或i ?1. 这里约定, 如果in, 那么 ?2 ?1 或 ?2n 1; 如果 i1, 则 ?2n 或 ?22 所以, 对每个顶点i , 有且 仅有 两个 D 中的 元素 与 之对 应 n 3 命题: 对于任意正整数 n3 和任意正 n 边形 F , 令T 表示 平面 上 2 的绕 F 的中 心 的旋 转 角为 的旋转, 令 S 表示 平面 上 的以 过 n 中心和顶点1 的 直线 的 反射 变 换. 则 D 的全 部 元素 为 n 12nn DT,T , ?,T ?1, ST,ST , ,STS, n ii 而且其乘法满足: T SST 证明: 显然, T,SD所以 只需 证明 一下 的事 实: n 2 n n 2 a T,T , ?,T 两两 不同 且TS1; 1; ij b 如果ij则 STST? i c ST 从而由上面的引理 得到 D 的全部元素. 至 于后 面 的结 论, 用 n 归纳法即得n 214 推论: D 有如 下的 表 现: D?T,S|T ?1S ,TSSTn n 1.4 子群subgroups 和 陪集cosets 1 定义: 如果群G 的非空子集 H 关于 G 的运 算也 是一 个 群, 则 称 H 是 G 的一个子群, 记为HG2 命题: 设 H 是 群 G 的一 个非 空 子集. 则: HGH G a 当且仅当 对 的乘 法运 算 和求 逆 运算 封 闭?1 HGh hH b 当且 仅当 对任 意 h ,hH 都有 12 123 例子 :a 任意群G 都有 平凡 子群 : G 自己和 eG 的非 平凡 子群 H 称为 真子 群, 记 为HGn b 设G 为群. 对任意gG, g | n? G, 称为 G 的由 g 生 成的子群, 记为g c 正交群;特 殊线 性群 d n 元交错群 A n e 子群 的子 群是 子 群 f 如果 H 是群 G 的非 空有 限子 群 , 则HG当且仅当 H 对乘法封闭 g 中心 化子centralizer: 设 A 是群G 的任 意 非空 子集 , 定1 义: C Ag ?G|g aga, 对 任 意aA. 则 是 A 在 CA G G G 中的 中心 化 子, 而且 C AG特别, CG 称为 G 的 G G 中心, 简记为CG 或ZG h 正规 化子normalizer: 设 A 是群 G 的任 意非 空 子集 , 定? 11 ?1 义: g Agg ag|a A. 称 N Ag ?G|g AgA 为 A G G 在 中的 正规 化子. 进一步, C AN A G GG i 任意 子群 的交 仍然 是 子群; 两 个子 群 的并 HGaGaHah|h H G 4 定义: 设对任意 , 称集合 为 的一个 关于 H 的 左陪集left coset, aH 的 任意 元素 称为 它 的 代表元; 称集合 Haha|h H 为 G 的一个 关于 H 的 右陪集 Haright coset, 的任意 元 素称 为 它的 代 表元1注: a 设HG. 则 aHbH 的充 要条 件 是 b a ?H对右陪 集有类似的结论 b 左 右 陪集 aH Ha 与 H 之间 有一 一 对应 c 如果G 是abel 群,HG, 则G 的关于 H 的左 陪集 和 右陪 集是 一致 的; 通常 记 为gH, gG 例: 对于加群及其 任意 子群 nan|a , n? ,的关 于 的陪 集正 好 是模 的剩余类nn 5 命题: 设HG. 则G 的全 部关 于 H 左 右 陪集构成 G 的一个 划分 || G || H || G 6 定理Lagrange: 设HG且则 是 的因子注: Lagrange 定理 的逆 不 成立7 推论: 设G 是有限群. 则 对任 意xG有ox 是|| G 的因子例: 设||Gp是素数, 则G 必然 是 由一 个 元素 生 成的 交 换群1.5 群 同态 与群 同 构 1 定义: 设GG , 是两 个 群, 如果 一个 从 G 到G 的映射满足:12 1 2 ?xy?x ?y , 任意 x, y ?G , 则称 是从 G 到G 的一个同 1 1 2 态2 例子: a 平凡同态b 线性空间作为加群 ,它们 之间的 线性映 射是加 群之间 的同态 c 行列式映射 det :GL 是同态n d 从 到 的符 号 映射 是 群同 态Sn 2 3 基 本性 质 : 设 是群 同 态? :GG12 a保单位元 和逆 元?1 b 对任意HG有 ?HG; 对任意HG有HG 11 12 22 21 ?1 特别,的核 ker? eG ;的像 im? G 21 2 c是单 射当 且仅 当 ker? e 14 定义: 如果群同态:GG是双射, 则称是从 G 到G 的一个 12 1 2 同构. 如果 存在 从 G 到G 的一 个同 构, 则称 G 与G 同构,1 2 1 2 记为GG12 注: 群的 同构 关系 是 一个 等 价关 系 5 定理Caylay: 任意 群都 同 构于 某 个变换群 的子群 6 定理: 任意 有限 群都 同 构于 某 个置换群 的子群 7 群上的左平移, 右平 移 1.6 正 规子 群 、商 群、 同态 定 理 1 回忆上的乘法结构n 2 记号: 设 H, KG , 记: HKhk ?G |h ?H ,k ?K ;11 ?1 Hh |h H. 例如: HG当且 仅 当 HHH 3 设HG. 考虑左陪集. 由命题 知, 我们 得到 商 集GH / , 其元 素为 G 的关于 H 的左陪集. 我们 有 如下 的 引理: 设HG. 则 aHbHabH 对任意 a,b ?G 都成立 的 充分必要条件是, 对任 意gG有 gHHg同样, HaHbHab 对任意 a,b ?G 都成立的 充分必要条件是, 对任 意gG有 gHHg 4 定义: 设HG. 如果对任意gG有 gHHg , 则称 H 为G 的 一个 正规 子群, 记为: HG 5 命题: 设HG. 则GH / 关于左 右 陪集 的乘 法 运算 成 为一 个 群, 称为G 的 关于 H 的商群, 其元 素 可简 写 为 g , 即:ggH Hg ; 其 单位 元 为eH; g 的逆元为1 ?1 ?1 gg H Hg 6 例子: a 交换 群的 任意 子 群都 是 正规 子 群. 特别,? / ?n? ,其中 n n b 设HG. 则HG当且仅当 N HG G c 设HG. 商集GH / 的元素个数 |GH / | 称为 H 在 G 中的指数index, 记为 [GH : ]. 注意到, 如果 || G [GH : ] || G | G | ?| H |[G: H] , 则 是 的因子: 一般地, 我们 有 如下 的 结论: 设HG且 [GH : ]2 HG, 则特别, ASnnd 正规 子群 的交 是 正规 子 群; 正规 子群 不 具有 传 递 性: 一般地, HG G 推不出HG1 1 G /eG G / Gee 对任意群G 有 ;7 命题: 设HG. 则映射 ?:/ GG H : gg是满同态, 称为 自然满态 8 命题: 设HG. 则HG的充 分 必要 条 件是 H 是 某个群同 态 的核f : GG 19 定理 群 同态 基 本定 理: 设 是 满 同态, 则 :GG1 GG / ker 110 推论: 设:GG是群同态. 则 G / ker? im 11.7 环 、子 环 、环 同态 、同 构 EndV V1 回忆: 或者 , 其中, 是数域 上的 线性 空间n 2 定义: 设 R 是一个abel 群, 其加 法运 算 记为+ 零元 素记 为0 ;R 还有 另一 个满 足 结合 律 的运 算, 称为 乘法, 记为 ab ,如果 这两 种运 算 满足 左 、右 分 配律:a,b ?R abcacbc, bcabaca , 任意 a,, b c ?R , 则称 R 关于 这两 种 运算 是 一个 环ring进一步, 如果环 R 的 乘法 有单 位元, 则称 R 是有 单位 元的 环, 其单 位元 记 为1; 如 果环 R 的乘 法满 足 交换 律, 则称 R 是一个交换环? 3 例子: a; m m? ; 任 意数 域; ?[] x ;上的 , m 一个区间 I 上的 全 体实 函 数 组成 的集 合 ? I 关 于函 数的 加法 和 乘法 是 一个 交 换环 b ; End V n c 任意abel 群 可以 看 成一 个 平凡 的 环d 一个环关于它的乘 法运 算 未必有 单位元R R e 设 是一个环. 设 ? R 是所 有元 素为 中的元 n素的 n 阶方 阵组 成 的集 合. 则 ? R 关于 矩阵 的加 n 法和 乘法 是一 个 环, 称为 R 上的矩阵环 4 基本 性质: 设 R 是一个 环 a 对任意aR有 0aa0 0 b 对任意 有 ?aba ?b?ab ; ?a ?bab a,bR c 对任意aR和 n? 定义 naaa a ; 定义 n ?nan ?a ; 00 a. 则, 对任意 a,bR 和mn ,? 有 mn amana nmamna mna n abnanb ; ;n aRaaa ?a aR d 对任意 和 n? , 定义则对任意? n 和 有 mn ,? n m m ?n n m mna aa , aa0 R R由于 未必有1, 所以 一般 地不 定 义 a ; 由于 的乘n法未必 保证逆元 的存 在性, 所以 一 般不 定 义 a5 定义: 设 S 是环 R 的非 空子 集. 如果 S 关于 R 的运算也是一 个环, 则称 S 为 R 的一 个子 环. 即: 非空 子集 S 是 R 的 子环 当且 仅当 S 关于 R 的运算 包括 加 法的 求 逆运 算 R 封闭: 即: 的关 于 加法 的 子群 S 是一 个子 环 当且 仅 当 S 对乘 法 封闭 6 例子: a 对任意 n? , n? 是的子环; 区间 I 上的全体 n n 阶 可微 实 函数 组 成的 集 合CI 是 I 上的 实函 数 I 环 的一 个 子环b 对于数域, 全体 n 阶对 角 阵组 成 的一个 n子环; 全体 n 阶数 量 阵组 成 的一 个 子环;n 全体 n 阶上 下 三角 阵组 成 的一个子环 n c 对任意数域和 a?, 令 Va ? f x?[x]| f a0. 则Va 是 ?[] x 的一 个子环 ab d 集合 ,, ab? 是 的一个子环2 ?ba e 集合 ,,? 是 的一 个 子环2? t f 给定正整数ss ,,使得 sn. 则准对角矩阵 1 ti i ?1 A 0 0 0 1 ss11 0 A 0 0 2 ss22 组成 的集 合是? 0 00 0 0 0 A t s ?s tt 的一 个子 环 n 7 定义: 设 是环. 如果 映 射 满足: 对任意 RR , f : RR 12 12 f abf af b f abf a f b a,bR 有 , , 则 1 称 f 为一 个 从 R 到 R 的环同态 1 2 8 例子: a 对任意的两个环RR , , 从 R 到 R 总是有0同态12 1 2 b 从 R 到 R 的任 意环 同态 f , 必然是从abel 群 R 1 2 1 f 00 到abel 群 R 的群 同 态. 从而, ,2 f nanf a , aR, n? ; 环 同态 f : RR 1 12 kerf0 是单 态当 且仅 当 c 行列式映射 det : ?? 保乘法运算, 但 不是 n一个 环同 态 d 给定上的 一个 区间 I 和aI, 赋值映射? : ?I?: f xf a 是一 个环 同 态e 对任意 n? , abel 群的 自然 满 态:? 也是 n 一个 环同 态 f 环的直积. 设RR ,,是环. 在笛 卡尔 集 1 n 上定 义加 法运 算 为:RR R 12 na , ?,a b , ?,b :ab , ?,ab 1 n 1 n 1 1 n n 和乘 法运 算为: a , ?,a b , ?,b :a b , ?,a b 1 n 1 n 1 1 n n 则 RR R 关于 这 两个 运 算是 一 个环, 成 12 n 为 的直积. 对每 个1??in , 嵌入映射 RR ,,1 n? : RR R : a0, ?,0,a ,0, ?,0 i i 1 n i i 和投影 :RR RR : a ,a , ?,a a i 1 2 n i 1 2 n i 分别 是单 的和 满 的环 同 态f 9 定义: 如果环同态 f : RR 是双射, 则称 为一个从 R 到 12 1 R 的同构. 如果 存 在从 R 到 R 的同构, 则 称环 R 与 2 1 2 1 环 R 同构, 记为: RR. 环的 同构 关 系是 一 个等 价 2 12 关系ab 例子: 设C|, a b. 则C 是一个环 见前?ba:? C 面的例子. 定义映射 为 ab abi?ba则是一个同构1.8 各 种特 殊类 型 的环如 无特 别 说明, 以 下讨 论的 环 都是 有单 位 元1 的环 1 定义: 设 R 是环. 如果 a,bR 满足 ab ?1, 则称 a 是 b 的一个