12年高考真题——理科数学(湖南卷)

PAGE82012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的）1．设集合，，则（）（A）（B）（C）（D）2．命题“若，则”的逆否命题是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）4．设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（）（A）与具有正的线性相关关系（B）回归直线过样本点的中心（C）若该大学某女生身高增加1，则其体重约增加（D）若该大学某女生身高为170，则可断定其体重必为5．已知双曲线：的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（）（A）（B）（C）（D）6．函数的值域为（）（A）（B）（C）（D）7．在中，，，，则（）（A）（B）（C）（D）8．已知直线：和：，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于。记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值为（）（A）（B）（C）（D）二．填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分）（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9．在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数）与曲线：（为参数，）有一个公共点在轴上，则__________。10．不等式的解集为__________。11．如图2，过点的直线与圆相交于两点，若，，，则圆的半径等于。（二）必做题（12-16题）12．已知复数(为虚数单位)，则_____。13．的二项展开式中的常数项为________（用数字作答）。14．如果执行如图3所示的程序框图，输入，，则输出的数__________。15．函数的导函数的部分图像如图4所示，其中为图像与轴的交点，为图像与轴的两个交点，为图像的最低点。=1\*GB2⑴若，点的坐标为，则___________；若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为_______。16．设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换，将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段变换，得到。例如，当时，，此时位于中的第4个位置。=1\*GB2⑴当时，位于中的第_______个位置；=2\*GB2⑵当时，位于中的第______个位置。三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示。已知这100位顾客中的一一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）123次购物量超过8件的顾客占55％。=1\*GB2⑴确定的值，并求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；=2\*GB2⑵若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率。（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点。=1\*GB2⑴证明：⊥平面；=2\*GB2⑵若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积。19．（本小题满分12分）数列的各项均为正数，记，，，=1\*GB2⑴若，，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；=2\*GB2⑵证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为（单位：件）。已知每个工人每天可生产部件6件，或部件3件，或部件2件。该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）。=1\*GB2⑴设生产部件的人数为，分别写出完成三种部件生产需要的时间；=2\*GB2⑵假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。21．（本小题满分13分）在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。=1\*GB2⑴求曲线的方程；=2\*GB2⑵设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和。证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值。22．（本小题满分13分）已知函数，其中。=1\*GB2⑴若对一切，恒成立，求a的取值集合；=2\*GB2⑵在函数的图像上取定两点，，记直线的斜率为，问是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。2012年普通高校招生全国统考数学试卷（湖南卷）解答一．BCDDABAB二．9．；10．；11．；12．10；13．；14．；15．=1\*GB2⑴3，=2\*GB2⑵；16．=1\*GB2⑴6，=2\*GB2⑵17．解：=1\*GB2⑴由题，得。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，故100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率123视为概率得，，，，。故的分布列如右表所示，其期望为；=2\*GB2⑵记为事件“该顾客结算前的等候时间不超过分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间。因顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，故。即所求概率为。18．解：=1\*GB2⑴连接，因，，，故。又，是的中点，所以。因平面，平面，故。而是平面内的两条相交直线，所以⊥平面；=2\*GB2⑵以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。设，则，，，，。故，，。由题知，分别是平面，平面的法向量，因与平面和平面所成角相等，故，即，故，解得。又，故。19．解：=1\*GB2⑴由题可得，即，亦即，故数列是首项为1，公差为4的等差数列，并且；=2\*GB2⑵=1\*GB3①必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有。由知，均大于0，故，，故，因此组成公比为的等比数列；=2\*GB3②充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，，于是，得，即。由有，即，从而。因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。综上得证。20．解：=1\*GB2⑴设完成三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为，由题，，，其中均为1到200之间的正整数；=2\*GB2⑵完成订单任务的时间为，其定义域为。易知，为减函数，为增函数。=1\*GB3①当时，，此时，由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。由于，而，，，故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为；=2\*GB3②当时，，由于为正整数，故。令，，易知为增函数，则。由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。由于，而，，此时完成订单任务的最短时间大于；=3\*GB3③当时，，由于为正整数，故，此时。由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。类似=1\*GB3①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于。综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产三种部件的人数分别为。21．解：=1\*GB2⑴由题知，曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离，故曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为；=2\*GB2⑵设，因，故过且与圆相切的直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点。设切线方程为即，则，整理得①。设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故②。由得③，设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以④。同理⑤。于是由②，④，⑤得。故当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400。22．解：=1\*GB2⑴若，则，矛盾，故。因，令得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。故当时，取最小值。于是对一切，恒成立，当且仅当①。令，则。当时，，单调递增；当时，，单调递减。故当时，取最大值。因此，当且仅当即时，①式成立。综上所述，的取值集合为；=2\*GB2⑵，令，则，。令，则。当时，，单调递减；当时，，单调递增。故当，即。从而，。又，，所以，。因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使。因，单调递增，故这样的是唯一的，且。故当且仅当时，。综上所述，存在使成立，且的取值范围为。